1、5. 5.3 3 用待定系数法确定二次函数表达式用待定系数法确定二次函数表达式 专项练习专项练习 一、单选题一、单选题 1已知二次函数 yax24xc，当 x 等于2 时，函数值是1；当 x1 时，函数值是 5则此二次函数的表达式为（ ） Ay2x24x1 Byx24x2 Cy-2x24x+1 Dy2x24x+1 2已知抛物线与x轴交点的横坐标为3和2，且过点(1, 8)，它对应的函数解析式为（ ） A26yxx B26yxx C22212yxx D22212yxx 3如图，已知抛物线顶点M在y轴上，抛物线与直线1yx相交于A、B两点点A在x轴上，点B的横坐标为2，那么抛物线顶点M的坐标是（
2、） A( 1,0) B(1,0) C(0,1) D(0, 1) 4已知二次函数 yx2+bx+c 的最小值是6，它的图像经过点（4，c） ，则 c 的值是（ ） A4 B2 C2 D6 5下表中所列的x，y的 6 对值是二次函数2yaxbxc的图像上的点所对应的坐标： x 2 1 0 3 4 y 11 6 3 6 11 若11,x y，22,x y是该函数图像上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（ ） A当12xx时，12yy B当12yy时，12xx C该函数的最小值为 3 D当11xn ，21xn 时（n为常数） ，12yy 6已知二次函数 y2x+bx+c 的图像经过（1，0）与（5
3、，0）两点，且关于 x 的方程x2+bx+c+d0有两个根，其中一个根是 6，则 d 的值为（ ） A5 B7 C12 D7 7已知二次函数2yaxbxc的y与x的部分对应值如下表： x 2 0 2 6 y 6 2 6 2 当8x 时，y的值是（ ） A6 B2 C2 D6 8 在“探索函数2yaxbxc的系数a，b，c与图像的关系”活动中， 老师给出了直角坐标系中的四个点：0,2A，10B ,，3,1C，2,3D，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图像，发现这些图像对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ） A52 B32 C56 D12 9已知抛物线 yx2+bx+c 的
4、部分图像如图所示，以下结论：abc0； 方程 x2+bx+c0 的根是 x11，x23； 抛物线上有三点（1，y1） ， （1，y2） ， （4，y3） ，则 y1y3y2；若1x2，则 y 的取值范围是4y0；其中正确的有（ ） A B C D 10如图，抛物线21:12G ya x与抛物线22:21Hyx 交于点1, 2B，且它们分别与y轴交于点D、E过点B作x轴的平行线，分别与两抛物线交于点A、C，则以下结论： 无论x取何值，2y总是负数； 抛物线H可由抛物线G向右平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位得到； 当31x 时，随着x的增大，12yy的值先增大后减小； 四边形AECD为正方
5、形其中正确的是（ ） A B C D 11在平面直角坐标系中，如果点 P 的横坐标与纵坐标相等，则称点 P 为和谐点，例如：点 P（1，1） 、 （2，2） 、 （0.5，0.5），都是和谐点，若二次函数 yax2+7x+c（a0）的图像上有且只有一个和谐点（1，1） ，则此二次函数的解析式为（ ） Ay3x2+7x+3 By2x2+7x+4 Cyx2+7x+5 Dy4x2+7x+2 12 已知抛物线2yaxbx经过点( 3, 3)A ， 且该抛物线的对称轴经过点 A， 则该抛物线的解析式为 （ ） A2123yxx B2123yxx C2123yxx=- D2123yxx 二、填空题二、填空
6、题 13若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”根据该约定，下列关于 x 的函数：2yx；0mymx；31yx；2yx=其中是“H 函数”的为_ （填上序号即可） 14 如图， 二次函数2(0)yxm m 的图像经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点， 则m_ 15若二次函数21yaxbx的图像经过点(2,1)，则代数式2018 2ab的值等于_ 16二次函数22yxbx的图像与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得b_ 17如图，在平面直角坐标系中，抛物线2230yaxaxa与 y 轴交于点 A，过点 A 作 x
7、轴的平行线交抛物线于点 M，P 为抛物线的顶点，若直线 OP 交直线 AM 于点 B，且 M 为线段 AB 的中点，则 a 的值为_ 18把抛物线22yxbxc平移后经过点（1，1）和（-1，-5） ，则平移后的抛物线解析式为_ 19如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2-4ax+3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 D，点 C 的坐标为（2，-4） ；当 CD 最短时，则抛物线顶点纵坐标为_ 20一次函数4ykx与二次函数2yaxc的图像的一个交点坐标为(1,2)，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则k _，a_，c_ 21“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色
8、小吃，臭豆腐级小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”。在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：min）近似满足的函数关系为：2Patbtc（0a；a，b，c是常数） ，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数关系和实验数据，可以得到P与t的解析式为_；并得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为_ 22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰直角三角形 OAB 的斜边 OA 在 x 轴上，且 OA4，如果抛物线yax2+bx+c 向下平移 4 个单位后恰好能同时经过 O、A、B 三点，那么 a+b+c_ 23有一个二次函数2y
9、a xk的图像，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：开口向下；乙：对称轴是直线2x；丙：与y轴的交点到原点的距离为 2，满足上述全部特点的二次函数的解析式为_ 24当1x1 时，函数 yx22mx2n1 的最小值是4，最大值是 0，则 m、n 的值分别是_ 三、解答题三、解答题 25已知二次函数 yax2bx+3（a0）的图像过点 A(2，3)，交 y 轴于点 B （1）求点 B 的坐标及二次函数图像的对称轴； （2）若抛物线最高点的纵坐标为 4，求二次函数的表达式； （3）已知点(m，y1)，(n，y2)在函数图像上且 0mn1，试比较 y1和 y2的大小 26如图，抛物线 yax2+bx（
10、a0，b0）交 x 轴于 O，A 两点，顶点为 B（2，4） （1）求抛物线的解析式； （2）直线 ykx+m（k0）过点 B，且与抛物线交于另一点 D（点 D 与点 A 不重合） ，交 y 轴于点 C过点D 作 DEx 轴于点 E，连接 AB，CE 若 k1，求CDE 的面积； 求证：CEAB 27已知抛物线 yax2bx1（a0）经过点(1，2)、(2，19)， （1）求 a、b 的值； （2）若 A(m，p)和 B(n，p)是抛物线上不同的两点，且12mn，求 m、n 的值 28已知 yy1+y2，其中 y1与 x3 成正比例，y2与 x2+1 成正比例，且当 x0 时，y4，当 x1
11、时，y6 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）判断点 A（1，4）是否在此函数图像上，并说明理由 参考答案参考答案 1A 【分析】将 2 组 x、y 值代入函数，得到关于 a、c 的二元一次方程，求解可得函数表达式 解：根据题意得48145acac ， 解得：21ac ， 抛物线解析式为 y2x24x1 故选：A 【点拨】本题考查根据二次函数经过的点的信息，求得函数中的位置参数 2D 【分析】设函数解析式为(3)(2)ya xx，将点(1, 8)代入即可求得 a 的值，可得结果 解：设抛物线函数解析式为：(3)(2)ya xx， 抛物线经过点(1, 8)， 8(1 3)(1 2)a ，
12、 解得：2a， 抛物线解析式为：2(3)(2)yxx， 整理得：22212yxx， 故选：D 【点拨】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，设出二次函数的交点式是解题的关键 3D 【分析】根据直线的解析式求出点 A 和点 B 的坐标，再求出抛物线的解析式，即可求出顶点 M 的坐标 解：点 A 在 x 轴上， 取 y0，得：0 x1， x1， A（1，0） ， 点 B 的横坐标为 2， 取 x2，得 y213， B（2，3） 又抛物线的顶点在 y 轴上，设 yax2b， 代入 A（1，0） ，B（2，3） ， 得034abab， 解得11ab ， yx21， M（0，1） ， 故选：D 【点
13、拨】本题主要考查二次函数的性质，关键是要会用待定系数法求出抛物线的解析式，然后根据解析式求出顶点 4B 【分析】把点（4，c）代入 yx2+bx+c 即可得 b-4，再把 yx2+bx+c，化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得 c 解：二次函数 yx2+bx+c 的图像经过点（4，c） ， c16+4b+c， b-4 224(2)4yxxcxc ， 最小值是6 -4+c=-6 c=-2 故选：B 【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数 yx2+bx+c 的解析式化成顶点式是解题的关键 5D 【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函
14、数的图像与系数之间的关系以及二次函数的性质进行判断即可 解： （1）把（-1，6） ， （0，3） ， （3，6）代入 y=ax2+bx+c， 得63936abccabc ， 解得123abc ， 所以抛物线解析式为 y=x2-2x+3=212x， 10a ， 当1x ， 该函数的最小值为 2，故选项 C 不符合题意； 当121xx时，则12yy，故选项 A 不符合题意； 当12yy时，不能比较1x与2x的大小，故选项 B 不符合题意； 当11xn 时，2211122ynn， 21xn 时，2221122ynn， 12yy，故选项 D 符合题意； 故选：D 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函
15、数的解析式以及二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质 6B 【分析】先利用待定系数法确定二次函数解析式，从而确定 b,c 的值，化简给出的方程，利用一元二次方程根的定义求解即可 解：二次函数 y2x+bx+c 的图像经过（1，0）与（5，0）两点， 102550bcbc ， 解得：45bc， 将 b4，c5 代入方程2x+bx+c+d0， 得：2x+4x+5+d0， 又关于 x 的方程2x+4x+5+d0 有两个根，其中一个根是 6， 把 x6 代入方程2x+4x+5+d0， 得：36+4 6+5+d0， 解得：d7， 经验证 d7 时， 0，符合
16、题意， d7 故选：B 【点拨】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一元二次方程根的定义，根的判别式，熟练掌握待定系数法和一元二次方程根的定义是解题的关键 7A 【分析】运用待定系数法求出函数解析式，再把8x 代入求出y的值即可 解：把（2，-6） ， （0，2） ， （2，6）三点坐标代入2yaxbxc，得 4262426abccabc 解得，1232abc 二次函数解析式为21322yxx 当8x 时，21=83 8262y 故选：A 【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求出函数解析式，以及二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 8A 【分析】分
17、四种情况讨论，利用待定系数法，求过0,2A，10B ,，3,1C，2,3D中的三个点的二次函数解析式，继而解题 解：设过三个点0,2A，10B ,，3,1C的抛物线解析式为：2yaxbxc 分别代入0,2A，10B ,，3,1C得 20931cabcabc 解得561762abc ； 设过三个点0,2A，10B ,，2,3D的抛物线解析式为：2yaxbxc 分别代入0,2A，10B ,，2,3D得 20423cabcabc 解得52922abc ； 设过三个点0,2A，3,1C，2,3D的抛物线解析式为：2yaxbxc 分别代入0,2A，3,1C，2,3D得 2931423cabcabc 解得
18、561362abc ； 设过三个点10B ,，3,1C，2,3D的抛物线解析式为：2yaxbxc 分别代入10B ,，3,1C，2,3D得 0931423abcabcabc 解得522128abc ； 55552662 Q a最大为52， 故选：A 【点拨】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 9C 【分析】根据函数图像经过（1，0）和（0，3）两点，求出函数解析式，然后进行逐一判断即可得到答案. 解：把（1，0）和（0，3）代入 yx2+bx+c 得： 2103cbc 解得：23bc yx22x3， a1，b2，c3， abc1 （2） （3）0
19、，故正确； 令 y0，则 x22x30， 解得：x11，x23，故正确； 把（1，y1） ， （1，y2） ， （4，y3）分别代入 yx22x3 得：y10，y24，y35， y3y1y2，故错误； 1x2，对称轴为 x1， y 的最小值为4， 当 x1 时，y0，当 x2 时，y3， y 的取值范围为4y0，故，正确； 故选 C 【点拨】本题主要考查了二次函数的相关知识点，解题的关键在于能够准确求出二次函数解析式，然后进行判断求解. 10B 【分析】根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；先求抛物线G的解析式，再根据抛物线,G H的顶点坐标， 判断平移方向和平移距离即可判断； 先根据题意
20、得出31x 时， 观察图像可知12yy，然后计算12yy，进而根据一次函数的性质即可判断；分别计算出,A E C D的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可 解：2(2)0 xQ， 2(2)0 x， 22211yx ， 无论x取何值，2y总是负数， 故正确； Q抛物线21:12G ya x与抛物线22:21Hyx 交于点1, 2B， 1,2xy， 即22(1 1)2a ， 解得1a， 抛物线21:12G yx ， 抛物线G的顶点( 1,2)，抛物线H的顶点为(2, 1)， 将( 1,2)向右平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位即为(2, 1)， 即将抛物线G向右平移 3 个单位，再向下平移
21、 3 个单位可得到抛物线H， 故正确； Q1, 2B， Q将2y 代入抛物线21:12G yx ， 解得123,1xx ， ( 3, 2)A ， 将2y 代入抛物线22:21Hyx ， 解得123,1xx， (3, 2)C， Q31x ，从图像可知抛物线G的图像在抛物线H图像的上方， 12yy 2212(1)2 (2)166yyxxx Q 当31x ，随着x的增大，12yy的值减小， 故不正确； 设AC与y轴交于点F， Q1, 2B， (0, 2)F， 由可知 ( 3, 2)A ，(3, 2)C， AFCF，6AC ， 当0 x时，121,5yy ， 即(0,1),(0, 5)DE， 6DE，
22、3DFEF， 四边形AECD是平行四边形， ,ACDE ACDEQ， 四边形AECD是正方形， 故正确， 综上所述，正确的有， 故选 B 【点拨】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，综合运用以上知识是解题的关键 11A 【分析】设和谐点为（t，t） ，把（t，t）代入 yax2+7x+c 得 at2+7t+ct，则 624ac0，所以 ac9，再把（1，1）代入 yax2+7x+c 得 c6a，然后解关于 a、c 的方程组即可 解：设和谐点为（t，t） ， 把（t，t）代入 yax2+7x+c 得 at2+7t+ct， 整理得 at2+6t+c0， t 有且只
23、有一个值， 624ac0，即 ac9， 把（1，1）代入 yax2+7x+c 得 a7+c1，即 c6a， 把 c6a 代入 ac9 得 a（6a）9，解得 a3， c633， 此二次函数的解析式为 y3x2+7x+3 故选：A 【点拨】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，把和谐点（t，t）代入 yax2+7x+c 得到关于 t的方程有两相等的实数根是解题关键 12D 【分析】根据抛物线图像性质可得 A 点是抛物线顶点坐标，再根据顶点坐标公式进行求解即可. 解：抛物线2yaxbx经过点( 3, 3)A ，且该抛物线的对称轴经过点 A， 函数的顶点坐标是( 3, 3)， 232034ba
24、ba ， 解得132ab， 经检验均符合 该抛物线的解析式为2123yxx. 故选 D. 【点拨】本题主要考查抛物线的性质和顶点坐标公式，解决本题的关键是要熟练掌握抛物线的性质和顶点坐标公式. 13 【分析】设函数上一个点的坐标为( , )a b，先根据关于原点对称的点坐标变换规律可得对称点的坐标为(,)ab，再代入函数的解析式逐个检验即可得 解：设函数上一个点的坐标为( , )a b，则其关于原点对称的点坐标为(,)ab， 将点( , )a b代入2yx得：2ba， 当xa 时，2yab ，即点(,)ab在函数2yx上， 则函数2yx是“H函数”； 将点( , )a b代入0mymx得：mb
25、a， 当xa 时，myba ，即点(,)ab在函数0mymx上， 则函数0mymx是“H函数”； 将点( , )a b代入31yx得：31ba，即31ab ， 当xa 时，312yab ， 则点(,)ab不在函数31yx上，此函数不是“H函数”； 将点( , )a b代入2yx=得：2ba， 当xa 时，22()yaab ， 则点(,)ab不在函数2yx=上，此函数不是“H函数”； 综上，是“H函数”的为， 故答案为： 【点拨】本题考查了关于原点对称的点坐标变换规律，理解“H函数”的定义是解题关键 142 【分析】如图，由题意易得点 A、B 关于 y 轴对称，点0,Cm，进而根据正方形的性质可
26、得点,22m mA，然后代入二次函数解析式进行求解即可 解：如图， A、B 关于 y 轴对称， 四边形 AOBC 是正方形， ,ABOC ABOC，AB 与 OC 相互平分， 令 x=0 时，则有ym， 点0,Cm， OCABm， 点,22m mA， 把点 A 代入得：222mmm，解得：122,0mm， 0m， 2m； 故答案为2 【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与正方形的性质是解题的关键 152017 【分析】由题意可把点(2,1)代入二次函数解析式得1421ab，则有21a b ，进而整体代入求值即可 解：二次函数21yaxbx的图像经过点(2,1)， 1421
27、ab， 21a b ， 20182201822018 12017abab ； 故答案为 2017 【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键 163 【分析】由图像得，抛物线22yxbx过点（1，0） ，将点代入即可得出答案 解：抛物线22yxbx过点（1，0） ， 1b+20， b3 故答案为：3 【点拨】本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题，还考查了学生的识图能力，要熟练掌握 1794 【分析】求出 A 点坐标和对称轴，根据对称性求出 M 点坐标，利用中点，求出 B 点坐标，进而求出 P 点坐标，代入求 a 即可 解：由题意得：对称轴为直线212ax
28、a ，P 点横坐标为 1， 当 x=0 时，y=3, A 点坐标为：0,3，根据对称性可知，M 点坐标为2,3 ， M 为 AB 中点， B 点坐标为：4,3 设 OB 解析式为 y=kx， 把 B4,3代入得， 3=4k 解得，k=34， 直线 OB 解析式为34yx， 把1x 代入34yx得，34y ， P 点坐标为31,4， 代入抛物线得：3234aa， 解得，94a ， 故答案为：94 【点拨】本题考查了一次函数和二次函数的综合，解题关键是根据二次函数的性质求出 B 点坐标，求出一次函数解析式 18y=2x +3x-4 【分析】根据函数图像平移不改变图像的形状，可得二次项的系数不变，根
29、据待定系数法，可得函数解析式 解：设抛物线22yxbxc平移后经过点（1，1）和（-1，-5）的解析式为22yxmxn 2125mnmn ， 34mn ， 平移后的抛物线解析式为2234yxx 故答案为：2234yxx 【点拨】考查了求二次函数图像的解析式和平移，解题关键是利用函数图像平移不改变图像的形状得出二次项的系数不变 1943 【分析】当 CDy 轴时，线段 CD 最短根据点 C 的坐标求得点 D 的坐标，将点 D 的坐标代入二次函数解析式来求 a 的值；最后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，可以直接得到抛物线的顶点纵坐标 解：根题意知，当 CDy 轴时，线段 CD 最短 点 C
30、 的坐标为（2，4） ， 点 D 的坐标为（0，4） 将其代入243yaxaxa，得 3a=-4， 解得43a 该抛物线解析式是：2416433yxx ， 2241644423333yxxx 该抛物线的顶点坐标是（2，43） 抛物线顶点纵坐标为43 故答案是：43 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，求抛物线顶点坐标时，也可以直接利用顶点坐标公式求解 20-2 -2 4 【分析】把(1,2)代入一次函数可求 k，把抛物线顶点（0，c）代入一次函数解析式可求 c，再代入(1,2)可求a 解：把(1,2)代入得，42k ， 解得2k ， 一次函数解析式为24yx ， 又二次函数顶点为(0, )
31、c， 代入24yx 得， 4c ， 把(1,2)代入二次函数表达式得2ac， 解得2a ， 故答案为：2,2,4kac 【点拨】本题考查了一次函数与二次函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，根据抛物线的特征确定顶点坐标 2120.21.51.9Ptt 3.75 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，确定顶点横坐标的值即为加工煎炸臭豆腐的最佳时间 解：将（3,0.8） ， （4,0.9） ， （5,0.6）代入2Patbtc中，得 930.81640.92550.6abcabcabc， 解得0.21.51.9abc ， 20.21.51.9Ptt ， 当1.53.75220.2bt
32、a 时，P 有最大值， 加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 3.75， 故答案为：20.21.51.9Ptt ，3.75 【点拨】此题考查待定系数法求二次函数解析式，函数的顶点坐标的计算，二次函数的实际应用，正确理解题意正确计算是解题的关键 2252 【分析】根据等腰直角三角形的性质求得 A（4，0） ，B（2，2） ，抛物线 yax2+bx+c 向下平移 4 个单位后得到 yax2+bx+c4，然后把 O、A、B 的坐标代入，根据待定系数法即可求得 a、b、c 的值，进而即可求得 a+b+c 的值 解：等腰直角三角形 OAB 的斜边 OA 在 x 轴上，且 OA4， A（4，0） ，B（2，2） ，
33、 抛物线 yax2+bx+c 向下平移 4 个单位后得到 yax2+bx+c4， 平移后恰好能同时经过 O、A、B 三点， 40164404242cabcabc ， 解得1224abc ， a+b+c122+452， 故答案为52 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的图像与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键 2321(2)2yx 【分析】由开口向下，可知 a0，对称轴是直线 x=2，可得 k=2，与 y 轴的交点到原点的距离为 2，可得与y 轴的交点的坐标为（0， 2） ，利用待定系数法求出解析式 解：二次函数 y=a（x-k）2的图像开口向下， a
34、0， 对称轴为直线 x=2， k=2， 二次函数 y=a（x-k）2的解析式为 y=a（x-2）2， 与 y 轴的交点到原点的距离为 2， 与 y 轴交于点（0，2）或（0，-2） ， 把（0，2）代入得，2=4a， 12a （舍去） ， 把（0，-2）代入得，-2=4a， 12a ， 解析式为：21(2)2yx 故答案为：21(2)2yx 【点拨】本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式，此题是开放题，解题的关键理解题意注意利用待定系数法求函数解析式 241，1 或 1，1 【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以求得 m、n 的值 解：函数22222121yxmxnxm
35、mn ， 该函数图像开口向下，对称轴为直线xm ， 当11x 时，函数2221yxmxn 的最小值是-4，最大值是 0， 当1m时，即1m 时，则有当1x时，0y ，当1x 时，4y ， 即1 22101 2214mnmn ，解得11mn ，不符合1m ，故此种情况不存在； 当11m 时，11m ， xm时，0y ，当1x时，4y 或1x 时，4y ， 即22101 2214mnmn 或22101 2214mnmn ，解得11mn 或11mn ； 当1m时，1m，当1x 时，0y ，1x时，4y ， 即1 22101 2214mnmn ，解得11mn ，不符合1m，故此种情况不存在； 由上可得
36、，m、n 的值分别是-1，1 或 1，-1， 故答案为：-1，1 或 1，-1 【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 25 （1）(0,3),1Bx ； （2）2yx2x3 ； （3）当0a时，12yy，当0a时，12yy 【分析】 （1）将将0 x代入解析式即可求得点B的坐标，将A点的坐标代入，即可求得对称轴； （2）根据（1）的结论可得顶点坐标，设顶点式，将A点的坐标代入，求得a即可求得解析式； （3）分类讨论，根据开口方向及二次函数图像与性质即可比较 y1和 y2的大小 解： （1）Q23yaxbx交 y 轴于点 B， 将0 x
37、代入，解得3y ， (0,3)B， Q23yaxbx过(2 3)A ， 3423ab， 即2ba， 122bbxaa ； （2）Q对称轴为1x ， 若抛物线最高点的纵坐标为 4， 则顶点坐标为：(1,4)， 设二次函数的表达式为2(1)4ya x， 将(0,3)B代入， 解得1a， 22(1)423yxxx ， 即2yx2x3 ； （3）分情况讨论，当0a 时，抛物线的开口朝上，在对称轴的左侧是y随x的增加而减小， Q点(m，y1)，(n，y2)在函数图像上，且01mn， 12yy， 当0a 时，抛物线的开口朝下，在对称轴的左侧是y随x的增加而增大， Q点(m，y1)，(n，y2)在函数图像上
38、，且01mn， 12yy， 综上所述，当0a时，12yy，当0a时，12yy 【点拨】本题考查了二次函数图像与性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数图像与性质是解题的关键 26 （1）y=x2-4x； （2）92；见解析 【分析】 （1）先求出 A 点的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）先求出直线 BD 的解析式，然后得到 D 点的坐标，由此求解即可； 过点 B 作 BFx 轴于 F， 则AFB=COE=90 ， 由 （1） 得 A （4， 0） ， B （2， -4） ， 则 AF=2， BF=4，12AFBF，联立24ykxmyxx得240 xk xm，BDxxm g，求得2
39、Dmx ，从而可以得到122mOEOCm，即可证明 AFBEOC，得到FAB=OEC，由此即可证明 解： （1）抛物线 yax2+bx（a0，b0）交 x 轴于 O，A 两点，顶点为 B（2，4） 抛物线的对称轴为2x， A（4，0） 1640424abab ， 解得14ab ， 抛物线的解析式为：24yxx； （2）当 k=1 时，直线的解析式为yxm， 直线经过 B（2，-4） ， 24m， 6m， 直线的解析式为6yx， 264yxyxx， 解得33xy 或24xy （舍去） D（3，-3） ， DE=3，OE=3， 19=22CDESDE OE g； 如图，过点 B 作 BFx 轴于
40、F， AFB=COE=90 ， 由（1）得 A（4，0） ，B（2，-4） ， F（2，0） ， AF=2，BF=4， 12AFBF 联立24ykxmyxx得240 xk xm， BDxxm g， 2Dmx ， OE=2m， C 是直线ykxm与 y 轴的交点， C（0，m） ， OC=-m， 122mOEOCm， OEAFOCBF， AFBEOC， FAB=OEC， AB/CE 【点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定， 平行线的判定，一元二次方程根与系数的关系等等， 解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 27 （1）25ab ；
41、（2）3,12mn 【分析】 （1）把点(1, 2)，( 2,19)代入21yaxbx解方程组即可得到结论； （2）把( , ), ( , )A m p B n p分别代入2251yxx得到52mn，联立5212mnmn即可求解 解： （1）把点(1, 2)，( 2,19)代入21yaxbx得，2119421abab ， 解得：25ab ； （2）由（1）得函数解析式为2251yxx， 把( , ), ( , )A m p B n p分别代入2251yxx得， 22251251pmmpnn， 得：2202()5()mnmn， 0()(225)mnmn ， 12mnQ， 2250mn ， 52m
42、n， 联立5212mnmn， 解得：3,12mn 【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解方程组，解题的关键是正确的理解题意 28 （1）yx2+x4； （2）在，见解析 【分析】 （1）根据题意设出关系式，利用待定系数法求出即可； （2）把 A 的坐标代入检验即可 解： （1）设 y1k1（x3） ，y2k（x2+1） ， yy1+y2， yk1（x3）+k（x2+1） ， 把 x0，y4；x1，y6 分别代入 yk1（x3）+k（x2+1） ， 得：1134426kkkk， 解得：111kk ， 则 yx3（x2+1）x2+x4； （2）点 A（1，4）在此函数图像上，理由如下： 把 x1 代入 yx2+x4， 得：y1+144， A（1，4）在此函数图像上 【点拨】 此题考查了待定系数法求函数解析式， 正比例函数的定义， 熟练掌握待定系数法是解本题的关键
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