1、浙江省温州市龙湾区浙江省温州市龙湾区 2021-2022 学年八年级学年八年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若不等式3x1，两边同时除以3，得（ ） A. x13 B. x13 C. x13 D. x13 3. 两边长为 4和 8等腰三角形的周长为（ ） A. 16 B. 20 C. 16 或 20 D. 16 或 18 4. 如图，已知 ADBC，添加下列条件还不能判定ABCBAD是（ ） A. ACBD B. CABD
2、BA C. ABCBAD D. ABD 的周长ABC的周长 5. 若 mn，则下列不等式成立的是（ ） A. m5n5 B. 55mn C. 5m5n D. 55mn 6. 可以用来说明命题“x2y2，则 xy”是假命题的反例是（ ） A. x4，y3 B. x1，y2 C. x2，y1 D. x2，y3 7. 满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（ ） A. A：B：C3：4：5 B. A：B：C2：3：5 C. A+BC D. 一个外角等于和它相邻的一个内角 8. 如图，在ABC中，ABAC9，点 E在边 AC上，AE中垂线交 BC于点 D，若ADEB，CD3BD，则 CE等于（ ）
3、 A. 3 B. 2 C. 94 D. 92 9. 如图所示的 24 的正方形网格中， ABC的顶点都在小正方形的格点上， 这样的三角形称为格点三角形，则点 A到 BC的距离等于（ ） A. 2 B. 22 C. 410 D. 210 10. 如图，OAOB，OB4，P是射线 OA 上一动点，连接 BP，以 B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在 OA上取一点 D，使CDO45，当 P在射线 OA 上自 O向 A 运动时，PD的长度的变化（ ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大后减小 D. 保持不变 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 8 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共
4、 24 分）分） 11. 命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_ 12. 边长为 1等边三角形的面积是_ 13. 等腰三角形的一个底角为 35，则顶角的度数是_度 14. 如图，ABC 是等边三角形，点 D 为 AC边上一点，以 BD 为边作等边BDE，连接 CE若 BC4，CD1，则 CE_ 15. 已知不等式（a1）xa1解集是 x1，则 a的取值范围为_ 16. 如图，在等腰OAB中，OAOB2，OAB90，以 AB为边向右侧作等腰 RtABC，则 OC的长为 _ 17. 如图， 点 B为线段 AQ上的动点， AQ83， 以 AB为边作正ABC， 以 BC为底边作等腰三角形 PCB，则
5、 PQ的最小值为 _ 18. 如图，在ABC中，ACB90，以 AC，BC和 AB为边向上作正方形 ACED 和正方形 BCMI和正方形 ABGF，点 G落在 MI 上，若 AC+BC7，空白部分面积为 16，则图中阴影部分的面积是 _ 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，第小题，第 19-21 每题每题 6 分，第分，第 22-23 题题 8 分，第分，第 24 题题 12 分，共分，共 46分）分） 19. 解不等式： （1）2（x1）3（3x+2）x+5 （2）221235xx 20. 已知：如图，ABDE，ACDF，ABDE求证：BECF 21. 如图，在所给的 66方
6、格中，点 A，B，P 都在小方格的格点上，按下列要求画图，所画的点都必须落在方格纸的格点上 （1）请画出两个等腰直角三角形 ABC，使点 P 在ABC内部（分别在图 1、2 中画出示意图，不能重复） （2）请画一个等腰三角形 ABC，使点 P 落在ABC的对称轴上（在图 3 中画出示意图） 22. 在几何原本著作中，命题 47：在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上的正方形的和古代人还没有发明勾股定理，他们如何证明这个命题是真命题已知ABC，BAC90；求证：以 BC为边正方形的面积以 BA 为边正方形的面积+以 AC 为边正方形的面积 23. 如图，ACB90，CDAB于点
7、D，AF平分CAB 交 CD于点 E，交 BC于点 F，作 EGAB交 CB于点 G （1）求证：CEF是等腰三角形； （2）求证：CFBG； （3）若 F 是 CG的中点，EF1，求 AB的长 24. 如图：已知BCD是等腰直角三角形，且DCB90，过点 D作 ADBC，使 ADBC，在 AD上取一点 E，连结 CE，点 B 关于 CE的对称点为 B1，连结 B1D，并延长 B1D交 BA的延长线于点 F，延长 CE交B1F于点 G，连结 BG （1）求证：CBGCDB1； （2）若 AEDE，BC10，求 BG 长； （3）在（2）的条件下，H为直线 BG上一点，使HCG 为等腰三角形，则
8、所有满足要求的 BH的长是 （直接写出答案） 浙江省温州市龙湾区浙江省温州市龙湾区 2021-2022 学年八年级学年八年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选：C 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，判断
9、轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合 2. 若不等式3x1，两边同时除以3，得（ ） A. x13 B. x13 C. x13 D. x13 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意直接利用不等式的性质进行计算即可得出答案 【详解】解：不等式3x1，两边同时除以3，得 x13 故选：A 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质解不等式依据不等式的性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变特别是在系数化为 1这一个过程中要注意不等号的方向的变化
10、3. 两边长为 4和 8 的等腰三角形的周长为（ ） A. 16 B. 20 C. 16 或 20 D. 16 或 18 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当腰长为 4时，当腰长为 8时，再结合三角形的三边关系可得答案. 【详解】解：当腰长为 4时，4+48，不符合三角形三边关系，故舍去； 当腰长为 8 时，符合三边关系，其周长为 8+8+420 故该等腰三角形的周长为 20 故选：B 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边的关系，掌握“等腰三角形的定义与三角形的三边关系”是解本题的关键. 4. 如图，已知 ADBC，添加下列条件还不能判定ABCBAD的是（ ） A. A
11、CBD B. CABDBA C. ABCBAD D. ABD的周长ABC的周长 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理依次判断即可 【详解】解：AADBC，ACBD，ABBA，符合全等三角形的判定定理 SSS，能推出ABCBAD，故本选项不符合题意； BADBC，ABBA，CABDBA，不符合全等三角形的判定定理，不能推出ABCBAD，故本选项符合题意； CADBC，ABCBAD，ABBA，符合全等三角形的判定定理 SAS，能推出ABCBAD，故本选项不符合题意； DABD的周长ABC 的周长， AD+BD+ABBC+AC+BA， ADBC，ABBA， ACBD， 条件 ADB
12、C，ACBD，ABBA，符合全等三角形的判定定理 SSS，能推出ABCBAD，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，属于基础题 5. 若 mn，则下列不等式成立的是（ ） A. m5n5 B. 55mn C. 5m5n D. 55mn 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案 【详解】解：A、在不等式 mn 的两边同时减去 5，不等式仍然成立，即 m5n5，原变形错误，故此选项不
13、符合题意； B、在不等式 mn的两边同时除以 5，不等式仍然成立，即55mn，原变形错误，故此选项不符合题意； C、在不等式 mn的两边同时乘以5，不等式号方向改变，即5m5n，原变形错误，故此选项不符合题意； D、在不等式 mn的两边同时乘以5，不等式号方向改变，即55mn ，原变形正确，故此选项符合题意 故选：D 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于 0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变 6
14、. 可以用来说明命题“x2y2，则 xy”是假命题的反例是（ ） A. x4，y3 B. x1，y2 C. x2，y1 D. x2，y3 【答案】D 【解析】 【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题 【详解】解：当 x2，y3时，x2y2，但 xy， 故选：D 【点睛】此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法 7. 满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（ ） A. A：B：C3：4：5 B. A：B：C2：3：5 C. A+BC D. 一个外角等于和它相邻的一个内角 【答案】A 【解析】 【分析】根据
15、三角形内角和的性质以及外角的定义，对选项逐个判断即可 【详解】解：AA：B：C3：4：5，A+B+C180， 三角形中最大角51807590345C ， 满足条件的三角形为锐角三角形，选项 A 符合题意； BA：B：C2：3：5，A+B+C180， 三角形中最大角518090235C?窗=?+， 满足条件的三角形为直角三角形，选项 B 不符合题意； CA+BC，A+B+C180， 三角形中最大角1180902C ， 满足条件的三角形为直角三角形，选项 C 不符合题意； D一个外角等于和它相邻的一个内角， 该内角1180029 ， 满足条件的三角形为直角三角形，选项 D 不符合题意 故选：A 【
16、点睛】此题考查了三角形内角和的性质以及外角的定义，掌握三角形的内角和为180是解题的关键 8. 如图，在ABC中，ABAC9，点 E在边 AC上，AE 的中垂线交 BC于点 D，若ADEB，CD3BD，则 CE等于（ ） A. 3 B. 2 C. 94 D. 92 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到BC，推出BADCDE，根据线段垂直平分线的性质得到 ADED，根据全等三角形的性质得到 CDAB9，BDCE，即可得到结论 【详解】解：ABAC9， BC， ADEB，BAD180BADB，CDE180ADEADB， BADCDE， AE 的中垂线交 BC于点 D， ADED，
17、 在ABD与DCE 中， BADCDEBCADED， ABDDCE（AAS） ， CDAB9，BDCE， CD3BD， CEBD3 故选：A 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题 9. 如图所示的 24 的正方形网格中， ABC的顶点都在小正方形的格点上， 这样的三角形称为格点三角形，则点 A到 BC的距离等于（ ） A. 2 B. 22 C. 410 D. 210 【答案】C 【解析】 【 分 析 】 过 点A 作ADBC 于D ， 由 网 格 特 征 和 勾 股 定 理 可 得 ，BC的 长 ， 再 利12BCMECFABMBECAFCSB
18、CADSSSSA即可求解 【详解】解：如图：过点 A作 ADBC于 D， 由网格特征和勾股定理可得，2221310BC ， 10BC MECFABMBECAFCSSSSSQABC 1112 31 11 32 2222 2 QSABC12BCAD， 122BC ADg， AD410， 故选：C 【点睛】本题考查了三角形面积的求法，结合网格的特点求出三角形的面积是解题关键 10. 如图，OAOB，OB4，P是射线 OA 上一动点，连接 BP，以 B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在 OA上取一点 D，使CDO45，当 P在射线 OA 上自 O向 A 运动时，PD的长度的变化（ ） A. 一直增大
19、B. 一直减小 C. 先增大后减小 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【 分 析 】 过 点C作CHOB于H，CGOA于G， 先 根 据 矩 形 的 判 定 与 性 质 可 得,OGCH CGOHOBHB，再根据三角形全等的判定定理证出OBPHCBVV，根据全等三角形的性质可得4,OBCHOPHB， 然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得DGCGOBHB，最后根据线段的和差、等量代换即可得出结论 【详解】解：如图，过点C作CHOB于H，CGOA于G， 则四边形OHCG是矩形， ,OGCH CGOHOBHB， CBPV是等腰直角三角形， ,90BCBPCBP， 90HBCOBP， CHOB，
20、 90HBCHCB， OBPHCB， 在OBPV和HCBV中，90OBPHCBOBHCBPCB ， ()OBPHCB AASVV， 4,OBCHOPHB， OGOB， 45 ,CDOCGOD， OCDV是等腰直角三角形， DGCGOBHB， ()()28PDDGPGOBHBOPOGOBHBHBOBOB， PD的长度保持不变， 故选：D 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 8 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 24 分）分） 11. 命题“等腰三角形两底角相等”的逆命
21、题是_ 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件写出即可. 【详解】原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形” 故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 【点睛】本题考查命题与逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题 12. 边长为 1的等边三角形的面积是_ 【答案】34 【解析】 【分析】根据题意
22、利用等边三角形的“三线合一”的性质作辅助线 ADBC，然后在 RtABD 中由勾股定理求得高线 AD 的长度，最后根据三角形的面积公式求该三角形的面积即可 【详解】解：如图，等边ABC 的边长是 1 过点 A作 ADBC于点 D则 BDDC12BC12， 在 RtABD中，AD22ABBD32； SABC12BCAD1213234 故答案为：34 【点睛】 本题考查等边三角形的性质注意掌握等边三角形的底边上的高线、中线与顶角的角平分线三线合一 13. 等腰三角形的一个底角为 35，则顶角的度数是_度 【答案】110 【解析】 【分析】根据等腰三角形的特点，两个底角相等，可知另一个底角为 35
23、，再根据三角形的内角和为 180计算出顶角的度数 【详解】180 -35 -35 =145 -35 =110 答：顶角为 110 故答案为 110 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用 14. 如图，ABC 是等边三角形，点 D 为 AC边上一点，以 BD 为边作等边BDE，连接 CE若 BC4，CD1，则 CE_ 【答案】3 【解析】 【分析】证明ABDCBE，可得ADCE，即可求解 【详解】解：ABC和BDE 是等边三角形， ABBC，BDBE，ABCDBE60， ABDCBE， 在ABD与CBE中， ABBCABDCBEBDBE ， ABDCBE（SAS） ， AD
24、CE， ACBC4， CEAD413， 故答案为：3 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键 15. 已知不等式（a1）xa1 的解集是 x1，则 a 的取值范围为_ 【答案】a1 【解析】 【分析】根据不等式的性质 3，可得答案 【详解】解：（a1）xa1 的解集是 x1，不等号方向发生了改变， a10， a1 故答案为：a1 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向改变 16. 如图，在等腰OAB中，OAOB2，OAB90，以 AB为边向右侧作等腰 RtABC，则 OC的长为 _ 【答案】2
25、2或 25# 2 5或2 2 【解析】 【分析】如图 1，以 AB 为斜边作等腰 RtABC，根据等腰直角三角形的性质得到OAB=ABO=45，CAB=CBA=45，ACB=90，推出四边形 AOBC 是正方形，根据勾股定理得到 OC=AB；如图 2，以AB 为直角边作等腰 RtABC，求得ABC=45，根据等腰直角三角形的性质得到ABO=45，根据勾股定理得到 BC，于是得到结论 【详解】解：如图 1，以 AB 为斜边作等腰 RtABC， OAOB2，OAB90， OABABO45， ABC是等腰直角三角形， CABCBA45，ACB90， AOBOACACBCBO90， 四边形 AOBC是
26、正方形， OCAB22OAOB22； 如图 2，以 AB 为直角边作等腰 RtABC， ABC45， OAOB2，OAB90， ABO45，AB22， CBO90， ABC是等腰直角三角形， BC22ABAC4， OC2222242 5OBBC， 当以 AB、BC为直角边作等腰直角三角形时，与图 2 的解法相同； 综上所述，OC的长为 22或 25， 故答案为：22或 25 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形以及正方形的判定，正确的作出图形，进行分类讨论是解题的关键 17. 如图， 点 B为线段 AQ上的动点， AQ83， 以 AB为边作正ABC， 以 BC为底边作等腰三角形 PCB，
27、则 PQ的最小值为 _ 【答案】4 3 【解析】 【分析】连接 AP，PQ，由 ABC 是等边三角形，得到 ABAC，CAB60 ，再由 BCP是以 BC 为底的等腰三角形，得到 PC=PB，即可证明 ABPACP，得到PAQ30 ，再根据点到直线的距离垂线段最短和含 30 度角的直角三角形的性质求解即可 【详解】解：连接 AP，PQ， ABC是等边三角形， ABAC，CAB60 ， BCP是以 BC 为底的等腰三角形， PC=PB， 在 ABP和 ACP中， ABACBPPCAPAP， ABPACP（SSS） ， CAPBAP， PAQ30 ， 点 P在射线 AP上运动， 当 QPAP时，P
28、Q的值最小， 14 32PQAQ， 故答案为：4 3 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的定义，全等三角形的性质与判定，含 30度角的直角三角形的性质，垂线段最短，解题的关键在于能够求出PAQ30 18. 如图，在ABC中，ACB90，以 AC，BC和 AB为边向上作正方形 ACED 和正方形 BCMI和正方形 ABGF，点 G落在 MI 上，若 AC+BC7，空白部分面积为 16，则图中阴影部分的面积是 _ 【答案】995 【解析】 【分析】根据余角的性质得到FACABC ，根据全等三角形的性质得到FAHABNSSVV，推出ABCFNCHSS四边形，根据勾股定理得到222AC
29、BCAB，解方程组得到665ABCSV，接着由图可知空白部分为重叠部分，阴影部分为非重叠部分，所以 2 倍的空白部分与阴影部分面积和等于三个正方形与三角形面积和结合665BC AC g即可得出结论 依此即可求解 【详解】解：如图， Q四边形ABGF是正方形， 90FABAFGACB ， 90FACBACFACABC ， FACABC ， ()FAHABN ASAVV， FAHABNSSVV， 3=ABCFNCHSSSV四边形， 316ABGFSSS正方形空白，即216ABCABSV， 21162ABAC BC， 在ABCV中，90ACB， 222ACBCAB， 7ACBCQ， 222()249
30、ACBCACBCAC BC， 2249ABAC BC， 665BC AC， 阴影部分的面积和= 三个正方形面积+三角形面积-2 倍空白部分面积 =2222112()22ABACBCAC BCABAC BCgg 32AC BCg 36625 995 故答案为：995 【点睛】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，第小题，第 19-21 每题每题 6 分，第分，第 22-23 题题 8 分，第分，第 24 题题 12 分，共分，共 46分）分） 19. 解不等式： （1）2（x1）3（3x
31、+2）x+5 （2）221235xx 【答案】 （1）138x （2）43x 【解析】 【分析】 （1）去括号，移项合并同类项，求解不等式即可； （2）去分母，去括号，移项合并同类项，求解不等式即可 【详解】解： （1）去括号，得：2x29x6x+5， 移项，得：2x9xx5+2+6， 合并，得：8x13， 系数化为 1，得：138x ； （2）去分母，得：5（2+x）3（2x1）30， 去括号，得：10+5x6x330， 移项，得：5x6x33010， 合并同类项，得：x43， 系数化为 1，得：x43 【点睛】此题考查了一元一次不等式的求解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解步骤 20
32、已知：如图，ABDE，ACDF，ABDE求证：BECF 【答案】见解析 【解析】 分析】证明ABCDEF 即可 【详解】解：ABDE，ACDF， BDEC，ACBF， ABC 和DEF 中， ACBFBDECABDE ， ABCDEF（AAS） ， BCEF， BECF 【点睛】 本题考查全等三角形判定和性质， 平行线的性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型 21. 如图，在所给的 66方格中，点 A，B，P 都在小方格的格点上，按下列要求画图，所画的点都必须落在方格纸的格点上 （1）请画出两个等腰直角三角形 ABC，使点 P 在ABC内部（分别在图 1、2 中画出示意
33、图，不能重复） （2）请画一个等腰三角形 ABC，使点 P 落在ABC的对称轴上（在图 3 中画出示意图） 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用等腰直角三角形的判定和性质画出图像即可； （2）利用等腰三角形的性质画出图形即可； 【详解】解： （1）如图，图 1，图 2 中，ABC即为所求； （2）如图，ABC，即为所求 【点睛】本题考查作图应用与设计，等腰三角形判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用数形结合思想解决问题 22. 在几何原本著作中，命题 47：在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上的正方形的和古代人还没有
34、发明勾股定理，他们如何证明这个命题是真命题已知ABC，BAC90；求证：以 BC为边正方形的面积以 BA 为边正方形的面积+以 AC 为边正方形的面积 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接 AF,由旋转的性质可得 SABD=SFBC，由平行线的性质可得 SFBC=SABF=12S正方形ABFG，可得 S正方形ABFG=S 矩形BDLM，同理可得 S 正方形ACKH=S 矩形CELM，即可得结论 【详解】 证明： 如图， ABC为直角三角形， 且BAC90， 分别以 AB、 AC、 BC为边向外做正方形 ABFG，正方形 ACKH和正方形 BCED，连接 FC、AD，并作 ALED于 L，交
35、BC 于 M，连接 AF， 由旋转知识可得：ABDFBC， SABDSFBC， 四边形 ABFG 是正方形， AGBF， SFBCSABF12S正方形ABFG， 同理，SADB12S正方形ABFG， S正方形ABFGS 矩形BDLM， 同理，S 正方形ACKHS 矩形CELM， S正方形ABFG+S 正方形ACKHS 矩形BDLM+S 矩形CELM， 可得：S正方形ABFG+S正方形ACKHS正方形BCED 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，正方形的性质，平行线的性质，灵活运用这些的性质是本题的关键 23. 如图，ACB90，CDAB于点 D，AF平分CAB 交 CD于点 E，交
36、 BC于点 F，作 EGAB交 CB于点 G （1）求证：CEF是等腰三角形； （2）求证：CFBG； （3）若 F 是 CG的中点，EF1，求 AB的长 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）2 3AB 【解析】 【分析】 （1）由余角的性质可得3=7=4，可得 CE=CF，可得CEF 为等腰三角形； （2）过 E作 EMBC交 AB 于 M，得出平行四边形 EMBG，推出 BG=EM，由“AAS”可证CAEMAE，推出 CE=EM，由三角形的面积关系可求 GB 的长； （3）证明CEF 是等边三角形，求出 BC，可得结论 【详解】 （1）证明：过 E作 EMBC交 AB于 M，
37、EGAB， 四边形 EMBG是平行四边形， BGEM，BEMD， CDAB， ADCACB90， 1+790，2+390， AE 平分CAB， 12， 34， 47， CECF， CEF是等腰三角形； （2）证明： 过 E 作 EMBC交 AB于 M，则四边形 EMBG是平行四边形， BG=EM， ADCACB90， CAD+B90，CAD+ACD90， ACDBEMD， 在CAE 和MAE中 12ACEAMEAEAE ， CAEMAE（AAS） ， CEEM， CECF，EMBG， CFBG （3）CDAB，EGAB， EGCD， CEG90， CFFG， EFCFFG， CECF， CEC
38、FEF1， CEF是等边三角形， ECF60， BC3，B30， 12ACAB RtABC中222ACBCAB 2221()32ABAB 解得2 3AB 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度 24. 如图：已知BCD是等腰直角三角形，且DCB90，过点 D作 ADBC，使 ADBC，在 AD上取一点 E，连结 CE，点 B 关于 CE的对称点为 B1，连结 B1D，并延长 B1D交 BA的延长线于点 F，延长 CE交B1F于点 G，连结 BG （1）求证：CBG
39、CDB1； （2）若 AEDE，BC10，求 BG 长； （3）在（2）的条件下，H为直线 BG上一点，使HCG 为等腰三角形，则所有满足要求的 BH的长是 （直接写出答案） 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）BG 的长为 410； （3）210或 65410或10或 65+410 【解析】 【分析】 （1）连结 BB1交 CG 于点 M，交 CD 于点 Q，证明四边形 ABCD 是正方形，再根据对称的性质得到CE 垂直平分 BB1，得到BCGB1CG（SSS） ，即可得解； （2）设 BG交 AD于点 N，得到BCQCDE（ASA） ，得到 CQDE5，BQCE55，再根据勾股定理得到
40、 BM，最后利用勾股定理计算即可； （3）根据点 G的位置不同分 4种情况进行讨论计算即可； 【详解】 （1）证明：如图 1，连结 BB1交 CG于点 M，交 CD 于点 Q， ADBC，ADBC， 四边形 ABCD是平行四边形， BCDC，BCD90， 四边形 ABCD是正方形， 点 B1与点 B 关于 CE 对称， CE垂直平分 BB1， BCB1C，BGB1G， CGCG， BCGB1CG（SSS） ， CBGCB1G， DCB1C， CDB1CB1G， CBGCDB1 （2）解：如图 1，设 BG交 AD 于点 N， BCCDAD10， DE12AD5， CDE90， CE221055
41、 5， BCQCDEBMC90， CBQ90BCMDCE， BCQCDE（ASA） ， CQDE5，BQCE55， CMBQ， SBCQ12BQCM12BCCQ， 115 510 522CM， CM25， BM22102 54 5， ABCBAN90， GDN+CDB190，ABN+CBG90， GDNABN， GNDANB， GDN+GNDABN+ANB90， BGB190， BGMB1GM12BGB145， BMG90， BMGBGM45， GMBM45， BG224 54 54 10， BG的长为 410 （3）解：如图 1，由（2）得 CM25，GM45， CG25+4565， 如图
42、2，CHCG65，则CHGCGH45， GCH90， GH226 56 56 10， BHGHBG610410210； 如图 3，HGCG65，且点 H 与点 B 在直线 FB1的同侧， BHHGBG65410； 如图 4，CHGH，则HCGHGC45， CHG90， CH2+GH2CG2， 2GH2（65）2， GH310， BHBGGH41031010； 如图 5，HGCG65，且点 H 与点 B 在直线 FB1的异侧， BHHG+BG65+410， 综上所述，BH的长为 210或 65410或10或 65+410， 故答案为：210或 65410或10或 65+410 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，正方形的性质，准确分析计算是解题的关键
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