1、导数与函数的单调性导数与函数的单调性 一、单选题 1（2021 江苏高三其他模拟）函数2( )1xf xx的单调递增区间是（ ） A(, 1) B( 1,1) C(1,) D(, 1) 和(1,) 2（2021 全国高三专题练习（理）若函数2( )lnf xxaxx在区间1,e上单调递增，则a的取值范围是（ ） A3, B,3 C23,1e D21,3e 3（2021 浙江高二单元测试）函数4( )3lnf xxxx的单调递减区间是（ ） A( 1,4) B(0,1) C(4,) D(0,4) 4（2020 江西省宜春实验中学高二月考（文）设函数 f x在定义域内可导， yf x的图象如图所示
2、，则导函数 yfx的图象可能为（ ） A B C D 5（2020 肇州县实验高中高二期中（理）如图是函数( )yf x的导函数( )yfx的图象，给出下列命题： -2 是函数( )yf x的极值点； 1 是函数( )yf x的极值点； ( )yf x的图象在0 x处切线的斜率小于零； 函数( )yf x在区间( 2,2)上单调递增. 则正确命题的序号是 A B C D 6（2020 全国高二课时练习（理）若函数 lnf xkxx在区间1,上单调递增，则实数k的取值范围是 A, 2 B, 1 C2, D1, 7（2021 安徽省泗县第一中学高三其他模拟 （理） ） 设 32:2p f xxxm
3、x在R上单调递增，:1q m ，则p是q的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8（2021 湖南长沙市 雅礼中学高三其他模拟）设函数 sinxxg xxeex，则满足 3 20g xgx的x取值范围是（ ） A3, B1, C,1 D,3 9（2021 陕西宝鸡市 高三二模 （理） ） 下列函数中， 值域为0,且在定义域上为单调递增函数的是 （ ） A2ln1yx B0.5lg1yx C2xxyee D以上都正确 10（2021 甘肃高三一模（理）已知函数( )eexxf xx，则( )f x（ ） A是奇函数，且在(0,)单调递减 B是奇函数，
4、且在(0,)单调递增 C是偶函数，且在(0,)单调递减 D是偶函数，且在(0,)单调递增 11（2021 宁夏固原市 固原一中高三一模（理）已知函数2( )121xf x ，且41(3)xff，则实数x的取值范围是（ ） A(2,) B(,2) C(1,) D(,1) 12（2020 吉林长春市 东北师大附中高三其他模拟）若函数( )cossinf xxax=+在区间 ,4 2是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A(,0 B(,1 C(,2 D 1,1 13（2017 福建高考真题（理）已知对任意实数x，有()( )()( )fxf xgxg x ，且0 x时，( )0( )0fxg x，
5、则0 x时 A( )0( )0fxg x， B( )0( )0fxg x， C( ) 0( ) 0fxg x， D( )0( )0fxg x， 14（2018 安徽高考真题（理）设函数1( )21(0),f xxxx则( )f x（ ） A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数 15 （2017 浙江高考真题） 函数y( )y( )f xfx，的导函数的图象如图所示，则函数y( )f x的图象可能是 A B C D 16（2017 山东高考真题（理）若函数 exf x(e=2.71828L,是自然对数的底数)在 f x的定义域上单调递增,则称函数 f x具有 M 性质,下列函数中具有 M
6、 性质的是 A 2xf x B 2f xx C -3xf x D cosf xx 17（2019 全国高考真题（理）若函数21( )f xxaxx在1(,)2是增函数，则 a 的取值范围是 A 1,0 B 1,) C0,3 D3,) 导数与函数的单调性导数与函数的单调性 一、单选题 1（2021 江苏高三其他模拟）函数2( )1xf xx的单调递增区间是（ ） A(, 1) B( 1,1) C(1,) D(, 1) 和(1,) 【答案】B 【分析】 先求得函数 f x的定义域，然后利用导数求得 f x的单调递增区间. 【详解】 f x的定义域为R，且 22222222111 21111xxxx
7、 xxfxxxx ，所以当11x 时， 0fx ， f x单调递增， f x的单调递增区间为( 1,1). 故选：B 【点睛】 本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题. 2（2021 全国高三专题练习（理）若函数2( )lnf xxaxx在区间1,e上单调递增，则a的取值范围是（ ） A3, B,3 C23,1e D21,3e 【答案】B 【分析】 由 0fx 分离常数a，利用构造函数法，结合导数，求得a的取值范围. 【详解】 依题意 120fxxax在区间1,e上恒成立， 即12axx在区间1,e上恒成立， 令 121g xxxex， 2222212112120 xxxgxxxx
8、， g x在1,e上递增， 13g， 所以3a . 所以a的取值范围是,3. 故选：B 3（2021 浙江高二单元测试）函数4( )3lnf xxxx的单调递减区间是（ ） A( 1,4) B(0,1) C(4,) D(0,4) 【答案】D 【分析】 求导，2243(1)(4)( )1xxfxxxx ，由( )0fx 即可得解. 【详解】 函数的定义域是(0,)，2243(1)(4)( )1xxfxxxx ， 令( )0fx ，解得04x， 故函数4( )3lnf xxxx在(0,4)上单调递减， 选：D. 【点睛】 本题考查了利用导数求函数单调性，考查了导数的基本能应用，属于基础题. 4（2
9、020 江西省宜春实验中学高二月考（文）设函数 f x在定义域内可导， yf x的图象如图所示，则导函数 yfx的图象可能为（ ） A B C D 【答案】D 【分析】 根据 f x的图象可得 f x的单调性，从而得到 fx在相应范围上的符号和极值点，据此可判断 fx的图象. 【详解】 由 f x的图象可知， f x在,0上为增函数， 且在0,上存在正数,m n，使得 f x在 0,mn 上为增函数， 在,m n为减函数， 故 fx在0,有两个不同的零点，且在这两个零点的附近， fx有变化， 故排除 A，B. 由 f x在,0上为增函数可得 0fx在,0上恒成立，故排除 C. 故选：D. 【点
10、睛】 本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题. 5（2020 肇州县实验高中高二期中（理）如图是函数( )yf x的导函数( )yfx的图象，给出下列命题： -2 是函数( )yf x的极值点； 1 是函数( )yf x的极值点； ( )yf x的图象在0 x处切线的斜率小于零； 函数( )yf x在区间( 2,2)上单调递增. 则正确命题的序号是 A B C D 【答案】D 【详解】 根据导函数图像可知，-2 是导函数得零点且-2 的左右两侧导函数值符号异号，故-2 是极值点，1 不是极值点， 因为1的左右两侧导函数符号不一致， 0
11、处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值， 导函数在2,2恒大等于零，故为函数的增区间，所以选 D 点睛：根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号 6（2020 全国高二课时练习（理）若函数 lnf xkxx在区间1,上单调递增，则实数k的取值范围是 A, 2 B, 1 C2, D1, 【答案】D 【详解】 试题分析：，函数 lnf xkxx在区间1,单调递增，在区间1,上恒成立，而在区间1,上单调递减，的取值范围是1,故选 D 考点：利用导数研究函数的单调性. 7（2021 安徽省泗县第一中学高三其他模拟
12、（理） ） 设 32:2p f xxxmx在R上单调递增，:1q m ，则p是q的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 对于命题p，先根据函数的单调性求出参数43m ，再根据小范围推出大范围，大范围推不出小范围，进而判断命题间的充分必要性. 【详解】 解： f x在, 内单调递增，所以 0fx恒成立，即2340 xxm恒成立，得16 120m，即43m ，即4:3p m； 而:1q m ，所以p是q的充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号 关键是分离参数 k， 把所求
13、问题转化为求函数的最小值问题 (2)若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为 f(x)0(或 f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到 8（2021 湖南长沙市 雅礼中学高三其他模拟）设函数 sinxxg xxeex，则满足 3 20g xgx的x取值范围是（ ） A3, B1, C,1 D,3 【答案】A 【分析】 根据奇偶性的定义，可判断 g x的奇偶性，利用导数可判断 g x的单调性，结合题意，化简整理，即可得答案. 【详解】 由题意得： sinxxgxxeexg x所以 g x为奇函数， 又 cos1xxg xxee， 因为
14、cos12,2xxxee ，当且仅当 x=0 时等号成立， 所以 cos10 xxg xxee ，所以 sinxxg xxeex在R上单调递增， 所以 3 203 223g xgxg xgxg xgx， 所以23xx，解得3x 故选:A 9（2021 陕西宝鸡市 高三二模 （理） ） 下列函数中， 值域为0,且在定义域上为单调递增函数的是 （ ） A2ln1yx B0.5lg1yx C2xxyee D以上都正确 【答案】B 【分析】 根据对数型函数的单调性和导数的性质进行判断即可. 【详解】 解：对于 A，2ln1yx的定义域为R， 在,0上，21tx是减函数，lnyt是增函数， 从而得出2l
15、n1yx在,0上是减函数， 从而在定义域R上该函数不是增函数，即该选项错误，故 A 错误； 对于 B，该函数的定义域为0,， 0.5lg1lg10yx，该函数的值域为0,， 在0,上0.51tx是增函数，lgyt是增函数， 该函数在定义域上是增函数，故 B 正确； 对于 C，xxyee，,0 x 时，0y；0,x时，0y ， 2xxyee在定义域R上没有单调性，故 C 错误； 对于 D，由 AC 错误，得 D 错误. 故选：B. 10（2021 甘肃高三一模（理）已知函数( )eexxf xx，则( )f x（ ） A是奇函数，且在(0,)单调递减 B是奇函数，且在(0,)单调递增 C是偶函数
16、，且在(0,)单调递减 D是偶函数，且在(0,)单调递增 【答案】D 【分析】 根据奇偶函数的定义判断奇偶性，根据导数确定函数的单调性. 【详解】 因为( )eexxf xx，xR,定义域关于原点对称， 且()()()( )xxxxfxx eex eef x ， 所以( )f x是偶函数， 当0 x时，( )()0 xxxxfxeex ee， 所以( )f x在(0,)单调递增， 故选：D 11（2021 宁夏固原市 固原一中高三一模（理）已知函数2( )121xf x ，且41(3)xff，则实数x的取值范围是（ ） A(2,) B(,2) C(1,) D(,1) 【答案】D 【分析】 用导
17、数判断函数 f x的单调性，再解不等式即可. 【详解】 因为 22 ln2021xxfx，所以函数2( )121xf x 在R上单调递减， 由于41(3)xff所以413x ，得1x 故选：D 【点睛】 关键点点晴：判断函数 f x的单调性是解题的关键. 12（2020 吉林长春市 东北师大附中高三其他模拟）若函数( )cossinf xxax=+在区间 ,4 2是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A(,0 B(,1 C(,2 D 1,1 【答案】B 【分析】 分 f x单调递增、单调递减两种情况进行讨论，从而可转化为 0fx（或 0fx）恒成立，进而转化为求函数的最值即可 【详解】 因为
18、函数( )cossinf xxax=+在区间,4 2 是单调函数， 若函数( )cossinf xxax=+在区间,4 2 是单调递增函数， 则( )sincos0fxxax?-+?在区间,4 2 上恒成立； 所以tanax在区间,4 2 上恒成立， 又当,4 2x 时，()tan1x，?， 所以a； 若数( )cossinf xxax=+在区间,4 2 是单调递减函数， 则( )sincos0fxxax?-+?在区间,4 2 上恒成立； 所以tanax在区间,4 2 上恒成立， 又当,4 2x 时，()tan1x，?， 所以1a ； 综上所述，(,1a . 【点睛】 本题主要考查了利用导数研
19、究函数的单调性，属中档题 13（2017 福建高考真题（理）已知对任意实数x，有()( )()( )fxf xgxg x ，且0 x时，( )0( )0fxg x，则0 x时 A( )0( )0fxg x， B( )0( )0fxg x， C( ) 0( ) 0fxg x， D( )0( )0fxg x， 【答案】B 【详解】 由条件知：( )f x是奇函数，且在(0,)内是增函数；( )g x是偶函数，且在(0,)内是增函数；所以( )f x在(,0)内是增函数；( )g x在(,0)内是减函数；所以0 x时，( )0,( )0.fxg x故选 B 14（2018 安徽高考真题（理）设函数1
20、( )21(0),f xxxx则( )f x（ ） A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数 【答案】A 【解析】 1( )21f xxx， 则2221( )xfxx 当22x 时，( )0fx ， 此时( )f x单调递增； 当202x时，( )0fx ，此时( )f x单调递减所以( )f x在22x 处取到极大值，故选 A 15 （2017 浙江高考真题） 函数y( )y( )f xfx，的导函数的图象如图所示，则函数y( )f x的图象可能是 A B C D 【答案】D 【详解】 原函数先减再增，再减再增，且0 x位于增区间内，因此选 D 【名师点睛】 本题主要考查导数图象与原函
21、数图象的关系： 若导函数图象与x轴的交点为0 x， 且图象在0 x两侧附近连续分布于x轴上下方，则0 x为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数( )fx的正负，得出原函数( )f x的单调区间 16（2017 山东高考真题（理）若函数 exf x(e=2.71828L,是自然对数的底数)在 f x的定义域上单调递增,则称函数 f x具有 M 性质,下列函数中具有 M 性质的是 A 2xf x B 2f xx C -3xf x D cosf xx 【答案】A 【详解】 对于 A,令( )e2xxg x,11( )e (22ln)e 2 (1 ln)022xxxxxg x,
22、则( )g x在 R 上单调递增,故( )f x具有 M 性质,故选 A. 【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤： 确定函数 f(x)的定义域；求 f(x)；解不等式 f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式 f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间 (2)根据函数单调性确定参数范围的方法：利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集 转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则 f(x)0； 若函数单调递减,则 f(x)0”来求解 17（2019 全国高考真题（理）若函数21( )f xxaxx在1(,)2是增函数，则 a 的取值范围是 A 1,0 B 1,) C0,3 D3,) 【答案】D 【详解】 试题分析：由条件知 2120fxxax在1,+2上恒成立，即212axx在1,+2上恒成立 函数212yxx在1,+2上为减函数， max21123212y , 故选 D 考点：函数的单调性与导数的关系
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