1、 导数与函数的零点导数与函数的零点 一、单选题 1（2021 湖南高三其他模拟）已知函数 eaxf xx存在两个零点，则正数a的取值范围是（ ） A0,2e B,2e C10,2e D1,2e 2（2021 辽宁高三月考）函数32( )f xxxxc的零点个数为（ ） A1 B1或2 C2或3 D1或2或3 3（2021 河南高三月考（理）若函数( )lnxf xxexxa存在零点，则a的取值范围为（ ） A(0,1) B1, C1 , ee D1( , ee 4（2020 全国高三专题练习）函数在区间(0,1)内的零点个数是 A0 B1 C2 D3 5（2020 绵阳市 四川省绵阳江油中学高
2、三月考）函数 1ln03f xxx x的零点个数为（ ） A0 B1 C2 D3 6（2020 陕西西安市 高三月考（理）函数 3234f xxx的零点个数为（ ） A0 B1 C2 D3 7（2020 辽源市田家炳高级中学校高二月考（理）若函数3( )12f xxxa有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A(, 8) B(,8) C 16,16 D( 16,16) 8 （2021 四川眉山市 仁寿一中高三其他模拟（理）函数 f x的定义域为1,4，部分对应值如下表，其导函数 yfx的图像如下图， x 1 0 2 3 4 f x 2 3 0 3 0 当01a时，函数 22222yfxa
3、f xaa的零点个数为（ ） A4 B5 C6 D7 9（2021 山西高三一模（理）函数( )log1xaf xax（0a，且1a ）有两个零点，则 a 的取值范围为（ ） A(1,) B1e(1,)e Cee(1,) D1(1,)e 10 （2021 广东湛江市 高三二模） 已知函数 2 1 xf xx ea有三个零点， 则实数a的取值范围是 （ ） A20,e B40,e C220,e D240,e 11（2018 太原市 山西实验中学高三月考）若函数 22log5f xxax在区间-2，上有零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（-，4） B（-，4 C（-4，4 D（-4，4） 1
4、2（2018 全国高考真题（理）已知函数33yxxc的图象与x轴恰有两个公共点，则c A2或 2 B9或 3 C1或 1 D3或 1 13（2019 全国高考（理）已知函数 22241xxf xxxee 有两个零点1x，2x，则12xx A2 B4 C5 D6 14 （2015 全国高考真题（理）设函数 (21)xf xexaxa，其中1a ，若存在唯一的整数0 x，使得0()0f x，则a的取值范围是（ ） A3,12e B33,2e 4 C33,2e 4 D3,12e 15（2017 全国高考真题（理）已知函数211( )2()xxf xxxa ee 有唯一零点，则a A12 B13 C1
5、2 D1 16（2021 北京高考真题）已知函数( )lg2f xxkx，给出下列四个结论： 若0k ，则( )f x有两个零点； 0k ，使得( )f x有一个零点； 0k ，使得( )f x有三个零点； 0k ，使得( )f x有三个零点 以上正确结论得序号是_ 导数与函数的零点导数与函数的零点 一、单选题 1（2021 湖南高三其他模拟）已知函数 eaxf xx存在两个零点，则正数a的取值范围是（ ） A0,2e B,2e C10,2e D1,2e 【答案】C 【分析】 函数零点即方程axex的解，2axex（0 x），取对数得2lnaxx，此方程有两个解，引入函数( )ln2g xxa
6、x，利用导数求得函数的单调性，函数的变化趋势，然后由零点存在定理可得结论 【详解】 显然(0)1f，( )eaxf xx有两个零点，即方程axex，2axex在(0,)上有两个解， 两边取对数得到2lnaxx，令( )ln2g xxax，1( )2g xax，( )g x在10,2a单调递增，在1,2a单调递减， 又当0 x时，( )g x ，当x 时，( )g x ， 因为( )g x有两个零点，则11ln1022gaa ， 解得12ea .所以正数a的取值范围是10,2e. 故选：C 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数零点个数问题，解题关键是进行转化，函数零点转化为方程的解，对方程变形后，
7、引入新函数，再转化为利用导数确定函数的性质，结合零点存在定理求解 2（2021 辽宁高三月考）函数32( )f xxxxc的零点个数为（ ） A1 B1或2 C2或3 D1或2或3 【答案】A 【分析】 首先求导判断函数的单调性，最后结合零点存在定理判断函数零点个数. 【详解】 因为函数32( )f xxxxc， 所以2( )321fxxx，因为4 1280 ， 所以( )0fx ， 从而32( )f xxxxc在 R 上单调递增， 又当x时，( )f x ，当x 时，( )f x ， 由零点存在定理得：函数32( )f xxxxc有且只有一个零点. 故选:A. 【点睛】 函数零点的求解与判断
8、方法： (1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点 (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a) f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点 (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 3（2021 河南高三月考（理）若函数( )lnxf xxexxa存在零点，则a的取值范围为（ ） A(0,1) B1, C1 , ee D1( , ee 【答案】B 【分析】 函数 lnxf xxexxa 存在零点，即lnxx
9、exxa有根，构造同构的形式，利用换元法转化为taet，利用导数研究函数tyet tR的值域即可. 【详解】 方法一： 函数 lnxf xxexxa 存在零点，即lnxxexxa有根. 因为lnxx xxee，所以lnlnx xexxa有根. 设lntxx，则teta ，即taet tR 令tyet tR，则1tye， 当0 x时，0y ，所以tyet在0 ，上单增； 当0 x时，0y，所以tyet在0，上单减； 所以当=0 x时，y 有最小值 1.要使taet有解，只需1a . 故选：B. 方法二： 11( )1(1)()xxxfxexexexx 因为0 x，所以10 x .令1( )xxe
10、x，因为( )g x在(0,)上单调递增， 所以00(0,), ()0 xg x，即00ln0 xx. 当0(0,)xx时， ( )0fx ;当0(,)xx时，( )0fx . 所以( )x在0(0,)x上单调递减，在0(,)x 上单调递增. 所以0min0000( )()ln1xf xf xx exxaa . 要使代( )f x存在零点，只需min( )0f x，即1a . 故选：B. 【点睛】 思路点睛：利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路： 利用最值或极值研究； 利用数形结合思想研究； 构造辅助函数硏究. 4（2020 全国高三专题练习）函数在区间(0,1)内的零点个数是 A0
11、B1 C2 D3 【答案】B 【解析】 2( )2 ln23,(0,1)( )0 xf xxfx在上恒成立，所以单调递增， (0)1 0, (1)1 0,ffQ故函数在区间(0,1)内的零点个数 1 个. 【考点定位】本题考查函数的单调性和函数的零点的判断，考查学生的分析判断能力 5（2020 绵阳市 四川省绵阳江油中学高三月考）函数 1ln03f xxx x的零点个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】C 【分析】 首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，以及结合零点存在性定理，判断选项. 【详解】 1103fxx，得3x ， 当03x时， 0fx， f x单调递减，当3x 时，
12、0fx， f x单调递增， 31 ln30f ， 1103f 22262033eef e， 所以函数 f x在1,3和23,e各有 1 个零点，所以共 2 个零点. 故选：C 6（2020 陕西西安市 高三月考（理）函数 3234f xxx的零点个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】C 【分析】 先求导，令 0fx ，再根据极值点的正负进一步判断零点个数即可 【详解】 由 3223436f xxxfxxx ，令 0fx 得0 x或2x， 当 , 2 , 0,x 时， f x单调递增，当2,0 x 时，函数单调递减， 20,04ff，画出函数图像，如图所示： 故函数图像有两个零点 故选：
13、C 【点睛】 本题考查导数研究函数零点个数，属于基础题. 7（2020 辽源市田家炳高级中学校高二月考（理）若函数3( )12f xxxa有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A(, 8) B(,8) C 16,16 D( 16,16) 【答案】D 【分析】 首先利用导数求出函数( )f x的单调区间和极值，将函数3( )12f xxxa有三个不同的零点，转化为方程( )0f x 有三个不同的根.再列出不等式组，解不等式组即可得到答案. 【详解】 3( )12f xxxa，2( )3123(2)(2)fxxxx. 令( )0fx，解得12x ，22x . (, 2)x ，( )0fx，
14、( )f x为增函数， ( 2,2)x ，( )0fx，( )f x为减函数， (2,)x，( )0fx，( )f x为增函数. 所以( )( 2)16fxfa极大值，( )(2)16fxfa 极小值. 因为函数3( )12f xxxa有三个不同的零点， 等价于方程( )0f x 有三个不同的根. 所以160160aa，解得1616a. 故选：D 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，同时考查了利用导数求函数的单调区间和极值，属于简单题. 8 （2021 四川眉山市 仁寿一中高三其他模拟（理）函数 f x的定义域为1,4，部分对应值如下表，其导函数 yfx的图像如下图， x 1 0
15、 2 3 4 f x 2 3 0 3 0 当01a时，函数 22222yfxaf xaa的零点个数为（ ） A4 B5 C6 D7 【答案】D 【分析】 根据导函数图象，画出原函数的草图，利用01a，函数22( )(22) ( )2 ( ) ( )(2)yfxaf xaaf xaf xa，令0y ，得( )f xa，或( )2f xa，得到函数22( )(22) ( )2yfxaf xaa的零点的个数 【详解】 解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图： ( 1)2f ，(0)3f，f（2）0，f（3）3，f（4）0， 函数22( )(22) ( )2 ( ) ( )(2)yf
16、xaf xaaf xaf xa， 令0y ，得( )f xa，或( )2f xa， 当01a时，( )yf x与ya有三个交点， 当01a时，即223a，( )yf x与2ya有四个交点， 所以函数22( )(22) ( )2yfxaf xaa 的零点有 7 个 故选：D 9（2021 山西高三一模（理）函数( )log1xaf xax（0a，且1a ）有两个零点，则 a 的取值范围为（ ） A(1,) B1e(1,)e Cee(1,) D1(1,)e 【答案】B 【分析】 令 0f x ， 将题意转化为函数1logayx图象与函数1xya图象有两个交点， 结合图象确定正确选项. 【详解】 (
17、 )0f x ，得1logaxxa，即11logxaxa由题意知函数1logayx图象与函数1xya图象有两个交点 当1a 时，11log,xayx ya草图如下，显然有两交点 当01a时，函数1logayx图象与函数1xya图象有两个交点时，注意到11,logxayyxa互为反函数，图象关于直线yx对称，可知函数1xya图象与直线yx相切，设切点横坐标0 x，则 000111ln1xxxaaa，解得01e,e.exa 综上，a 的取值范围为1ee(1,)U. 故选：B 10 （2021 广东湛江市 高三二模） 已知函数 2 1 xf xx ea有三个零点， 则实数a的取值范围是 （ ） A2
18、0,e B40,e C220,e D240,e 【答案】B 【分析】 先分离参数，再将零点问题转化成两个函数的交点问题来求解即可 【详解】 由2 12 10 xxx eaax e， 设 2 1 xg xx e， 12xg xexx， 当,0 x 时， 0g x， 当0,2x时， 0g x， 当2,x时， 0g x， 所以函数 g x在,0上单调递减，在0,2上单调递增，在2,上单调递减， 故 00g， 42ge， 因为函数 2 1 xf xx ea有三个零点，故40ae 故选：B 11（2018 太原市 山西实验中学高三月考）若函数 22log5f xxax在区间-2，上有零点，则实数 a 的
19、取值范围是（ ） A（-，4） B（-，4 C（-4，4 D（-4，4） 【答案】A 【分析】 函数有零点转化为251xax在(, 2) 有实数解，分离参数，即可得出结果. 【详解】 原题等价于251xax在(, 2) 有实数解，即244xaxxx 设4( )g xxx，224(2)(2)( )1xxg xxx 当(, 2)( )0( )xg xg x ，单调递减，( )( 2)4g xg ，所以4a- 故选：A 12（2018 全国高考真题（理）已知函数33yxxc的图象与x轴恰有两个公共点，则c A2或 2 B9或 3 C1或 1 D3或 1 【答案】A 【分析】 利用导数判断函数的单调性
20、求出极值点为1x ，利用( 1)0f 或(1)0f可得结果. 【详解】 因为2333(1)(1)yxxx ,所以 f(x)的增区间为(, 1),(1,) ,减区间为( 1,1),所以 f x的极大值为1f ，极小值为 1f，因为函数33yxxc的图象与x轴恰有两个公共点,所以只须满足( 1)0f 或(1)0f，即2c或2c ,故选 A. 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为f M ，极小值为 f m ：一个零点0f M 或 0f m ；两个零点 0f m 或0f M
21、 ；三个零点 0f m 且0f M . 13（2019 全国高考（理）已知函数 22241xxf xxxee 有两个零点1x，2x，则12xx A2 B4 C5 D6 【答案】B 【分析】 利用( )(4)f xfx可得( )f x的图象关于直线2x对称，利用导数可知( )f x在(,2)上单调递减，在(2,)上单调递增，所以函数( )f x只有两个零点1x，2x，再根据对称性可得答案. 【详解】 因为22(2)( )(2)5xxf xxee 因为242(42)(4)(42)5xxfxxee 2(2)2(2)5xxxee ( )f x， 所以( )f x的图象关于直线2x对称， 又2(2)(
22、)2(2)xxfxxee为R上的单调递增函数，且(2)0f ， 所以当2x时，( )(2)0fxf，当2x时，( )(2)0fxf， 所以( )f x在(,2)上单调递减，在(2,)上单调递增， 所以函数( )f x只有两个零点1x，2x， 所以根据对称性可知，122 24xx . 故选：B. 【点睛】 本题考查了函数的零点，考查了函数的对称性，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 14 （2015 全国高考真题（理）设函数 (21)xf xexaxa，其中1a ，若存在唯一的整数0 x，使得0()0f x，则a的取值范围是（ ） A3,12e B33,2e 4 C33,2e 4 D3
23、,12e 【答案】D 【分析】 设 21xg xex，1ya x，问题转化为存在唯一的整数0 x使得满足01g xa x，求导可得出函数 yg x的极值，数形结合可得 01ag 且312gae ，由此可得出实数a的取值范围. 【详解】 设 21xg xex，1ya x， 由题意知，函数 yg x在直线yaxa下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， 21xg xex，当12x 时， 0g x；当12x 时， 0g x. 所以，函数 yg x的最小值为12122ge . 又 01g， 10ge. 直线yaxa恒过定点1,0且斜率为a， 故 01ag 且31gaae ，解得312ae，故选 D. 【
24、点睛】 本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题. 15（2017 全国高考真题（理）已知函数211( )2()xxf xxxa ee 有唯一零点，则a A12 B13 C12 D1 【答案】C 【详解】 因为221111( )2()1() 1xxxxf xxxa eexa ee ，设1tx，则 21ttf xg tta ee，因为 g tgt，所以函数 g t为偶函数，若函数( )f x有唯一零点，则函数 g t有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当0t 时， 0g t 才满足题意，即1x 是函数( )f x的唯一零点，所以210a ，解得12a .故选：C. 【点睛】 利用函
25、数零点的情况求参数的值或取值范围的方法： （1）利用零点存在性定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 二、填空题 16（2021 北京高考真题）已知函数( )lg2f xxkx，给出下列四个结论： 若0k ，则( )f x有两个零点； 0k ，使得( )f x有一个零点； 0k ，使得( )f x有三个零点； 0k ，使得( )f x有三个零点 以上正确结论得序号是_ 【答案】 【分析】 由 0f x 可得出lg2xkx，考查直线2ykx与曲线 lgg xx的左、右支分别相切的情形，利用方程
26、思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【详解】 对于，当0k 时，由 lg20f xx，可得1100 x 或100 x ，正确； 对于，考查直线2ykx与曲线lg01yxx相切于点, lgP tt， 对函数lgyx 求导得1ln10yx ，由题意可得2lg1ln10kttkt ，解得100100lgetkee ， 所以，存在100lg0kee ，使得 f x只有一个零点，正确； 对于，当直线2ykx过点1,0时，20k，解得2k ， 所以，当100lg2eke 时，直线2ykx与曲线lg01yxx有两个交点， 若函数 f x有三个零点，则直线2ykx与曲线lg01yxx有两个交点， 直线2yk
27、x与曲线lg1yx x有一个交点，所以，100lg220ekek ，此不等式无解， 因此，不存在0k ，使得函数 f x有三个零点，错误； 对于，考查直线2ykx与曲线lg1yx x相切于点,lgP tt， 对函数lgyx求导得1ln10yx ，由题意可得2lg1ln10kttkt，解得100lg100teeke， 所以，当lg0100eke时，函数 f x有三个零点，正确. 故答案为：. 【点睛】 思路点睛： 已知函数的零点或方程的根的情况， 求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围
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