1、 导数及其应用导数及其应用 一、单选题 1（2021 天津高二期末）下列求导运算中，正确的是（ ） A(cos )sinxx B 33xx Cln1lnxxxx D(1)xxxexe 2（2021 甘肃兰州市 兰州一中高二月考（理）函数1(1), 3,4xyxex 的最大值为（ ） A22e B55e C54e D1e 3 （2021 河南南阳市 高二其他模拟 （理） ） 已知函数2( )62f xxx ， 且02fx， 则0 x （ ） A2 B2 2 C3 2 D4 2 4（2021 江苏苏州市 高二期中）已知函数 123f xxxx，则曲线 yf x在点(2,0)处的切线方程为（ ） A
2、2yx B2yx C2yx D2yx 5（2021 北京石景山区 高二期末）设函数2( )lnf xxx，则（ ） A12x 时 f x取到极大值 B12x 时 f x取到极小值 C2x时 f x取到极大值 D2x时 f x取到极小值 6（2021 吉林长春市 东北师大附中高三月考（理）若函数cosyxax在,2 2 上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A, 1 B,1 C1, D1, 7（2021 全国高二期末）已知函数 f x的图象如下所示， fx为 f x的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（ ） A 12fxfx B 12fxfx C 120f xfx D 120f xfx 8
3、（2021 云南民族大学附属中学高三月考（理）已知函数 32193f xxmxmx在R上无极值，则实数m的取值范围为（ ） A,01, B ,01, C0,1 D0,1 9（2021 江西赣州市 高二期末（理）函数 f x的图象如图所示，其导函数为 fx，则不等式 20 xfx的解集为（ ） A , 22, U B1,1 C 2, 11,U D , 21,1 U 10（2021 云南昆明市 昆明一中高二期末（理）已知定义在R上的函数 yf x满足：函数 2021yf x为奇函数， 且对,x ， 2f xfx恒成立 （ fx是函数 f x的导函数） ，则不等式20212xxfe的解集为（ ） A
4、0, B0,2021 C1,2021 D2021,2021 11（2021 四川雅安市 雅安中学高二期中（理）函数2( )lnf xxax在1，)单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A(0，2 B(2，) C(，2 D(，2) 12（2021 江西赣州市 高二期末（理）若不等式3ln32axxx恰好有两个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A40,ln2 B440,ln2 ln2 C427,ln2 ln3 D2740,ln3 ln2 二、填空题 13（2021 江西赣州市 高二期末（理）函数( )(4)exf xx在0 x处的切线方程为_. 14（2021 天津高二期末）已知函数2(
5、)xf xaex在区间(0,)上单调递增，则实数 a 的取值范围是_. 15 （2021 河南洛阳市 高二月考（理）若函数2( )2lnf xmxx在21,ee上有两个零点，则实数m的取值范围为_. 16（2021 全国高三其他模拟（理）已知函数 2ln1xxf xxee，则不等式2210f xfx的解集为_. 导数及其应用导数及其应用 一、单选题 1（2021 天津高二期末）下列求导运算中，正确的是（ ） A(cos )sinxx B 33xx Cln1lnxxxx D(1)xxxexe 【答案】D 【分析】 利用基本初等函数的求导公式及导数的四则运算法则，对四个选项一一验证即可. 【详解】
6、 对于 A：(cos )sinxx ，故 A 错误； 对于 B：3ln3 3xxg，故 B 错误； 对于 C：2ln1 lnxxxx，故 C 错误； 对于 D：(1)xxxexe，故 D 正确. 故选：D 2（2021 甘肃兰州市 兰州一中高二月考（理）函数1(1), 3,4xyxex 的最大值为（ ） A22e B55e C54e D1e 【答案】B 【分析】 先对函数求导，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值 【详解】 解：由1( )(1)xyf xxe，得111(1)(2)xxxyexexe， 当32x 时，0y ，当24x 时，0y ， 所以函数1(1)xyxe在( 3, 2)上
7、递减，在( 2,4)上递增， 因为25( 3)2(4)5fefe ， 所以函数1(1), 3,4xyxex 的最大值为55e， 故选：B 3 （2021 河南南阳市 高二其他模拟 （理） ） 已知函数2( )62f xxx ， 且02fx， 则0 x （ ） A2 B2 2 C3 2 D4 2 【答案】B 【分析】 依题意求出函数的导函数，再解方程即可； 【详解】 解：由题意可得( )62 2fxx ，因为0062 22fxx ，所以02 2x 故选：B 4（2021 江苏苏州市 高二期中）已知函数 123f xxxx，则曲线 yf x在点(2,0)处的切线方程为（ ） A2yx B2yx C
8、2yx D2yx 【答案】B 【分析】 求得函数 f x的导数，得到切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】 由题意，函数 123213f xxxxxxx， 可得 132 12 fxxxxxx， 所以曲线 yf x在点(2,0)处切线的斜率为 21kf, 所以切线方程为0(2)yx ，即2yx . 故选：B. 5（2021 北京石景山区 高二期末）设函数2( )lnf xxx，则（ ） A12x 时 f x取到极大值 B12x 时 f x取到极小值 C2x时 f x取到极大值 D2x时 f x取到极小值 【答案】D 【分析】 求出 f x的导函数，再利用导函数求出 f x的单调区
9、间，即可得出答案. 【详解】 解： 222120 xfxxxxx ， 所以当02x时， 0fx；当2x时， 0fx， 故函数 f x在0,2上递减，在2,递增， 所以2x时 f x取到极小值. 故选：D. 6（2021 吉林长春市 东北师大附中高三月考（理）若函数cosyxax在,2 2 上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A, 1 B,1 C1, D1, 【答案】D 【分析】 求得导函数，根据函数单调性与导数的关系得到sinax,对于,2 2上恒成立，利用正弦函数的性质得到a的取值范围. 【详解】 解：由已知得0ysinxa ，即sinax,对于,2 2上恒成立， 1a ， 故选：D.
10、【点睛】 本题考查导数与函数的单调性的关系，涉及三角函数的性质，不等式恒成立问题，属基础题. 7（2021 全国高二期末）已知函数 f x的图象如下所示， fx为 f x的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（ ） A 12fxfx B 12fxfx C 120f xfx D 120f xfx 【答案】B 【分析】 利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断1( )fx与2()fx、1( )f x与2()f x，及其与 0 的大小关系. 【详解】 由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知：12( )()0fxfx，而12()0()f xf x， 故选：B. 8（2021 云南民族大学附
11、属中学高三月考（理）已知函数 32193f xxmxmx在R上无极值，则实数m的取值范围为（ ） A,01, B ,01, C0,1 D0,1 【答案】D 【分析】 求得导函数，根据无极值的条件，利用判别式解得 m 的取值范围. 【详解】 函数 32193f xxmxmx在R上无极值2( )2fxxmxm在R上无变号零点244001mmm ，故选 D. 9（2021 江西赣州市 高二期末（理）函数 f x的图象如图所示，其导函数为 fx，则不等式 20 xfx的解集为（ ） A , 22, U B1,1 C 2, 11,U D , 21,1 U 【答案】C 【分析】 首先根据函数图象判断 f
12、x的单调区间， 进而得到, 1x 或1,x时， 0fx；1,1x 时， 0fx，然后将 20 xfx转化为 020fxx或 020fxx，解不等式组即可. 【详解】 由函数 f x的图象可知 f x在, 1 上单调递增，在1,1上单调递减，在1,上单调递增； 所以, 1x 或1,x时， 0fx；1,1x 时， 0fx， 又因为 02020fxxfxx或 020fxx， 解得：21x 或1x ， 故选：C. 10（2021 云南昆明市 昆明一中高二期末（理）已知定义在R上的函数 yf x满足：函数 2021yf x为奇函数， 且对,x ， 2f xfx恒成立 （ fx是函数 f x的导函数） ，
13、则不等式20212xxfe的解集为（ ） A0, B0,2021 C1,2021 D2021,2021 【答案】A 【分析】 构造函数 22021xxfg xe，根据对,x ， 2f xfx恒成立，得到 g x在,x 上单调递减，再根据函数 2021yf x为奇函数，得到 0020210gf，然后将20212xxfe转化为 0g xg，利用单调性定义求解. 【详解】 因为函数 2021yf x为奇函数，所以 020210f， 令 22021xxfg xe，则 0020210gf， 因为对,x ， 2f xfx恒成立，所以 12220 xxxffgxe， 所以 g x，对,x 单调递减，又不等式
14、20212xxfe即220210 xxfe， 即 0g xg，所以0 x， 故选：A 11（2021 四川雅安市 雅安中学高二期中（理）函数2( )lnf xxax在1，)单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A(0，2 B(2，) C(，2 D(，2) 【答案】C 【分析】 由题意， 20afxxx在1x，上恒成立，再参变分离转化为22ax，即求22x的最小值，可得a的范围. 【详解】 由题意得， 20afxxx在1x，上恒成立， 所以22ax在1x，上恒成立， 因为22x在1x，的最小值为 2， 所以2m. 故选：C 12（2021 江西赣州市 高二期末（理）若不等式3ln32axxx恰好
15、有两个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A40,ln2 B440,ln2 ln2 C427,ln2 ln3 D2740,ln3 ln2 【答案】C 【分析】 设( )lnf xax，32( )23g xxx，研究函数的单调性，利用数形结合及分类讨论进行转化求解即可 【详解】 由题意知：0 x，所以233ln32ln32axaxxxxx， 当=0a时，不等式32302xx的解集为3(0, )2，不合题意； 令( )lnf xax，32( )23g xxx，则26( )6=6 (1)xxxxxg， 所以32( )23g xxx在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增. 当0a 时，( )f
16、x，( )g x的大致图像如图： 由图可得满足( )( )f xg x的整数解只有一个，即1x ，所以不合题意； 当0a时，( )f x，( )g x的大致图像如图： 由图可得若满足( )( )f xg x的整数解恰好有两个，则应该为1x 和2x， 所以(2)(2)(3)(3)fgfg，代入得3232ln22 23 2ln32 33 3aa ，解得4ln227ln3aa， 427ln2ln3a ， 故选：C 【点睛】 方法点睛：利用转化思想将问题转化为研究两个函数( )lnf xax与32( )23g xxx的图像问题，利用导函数研究函数的单调性，数形结合进行分析求解 二、填空题 13（202
17、1 江西赣州市 高二期末（理）函数( )(4)exf xx在0 x处的切线方程为_. 【答案】340 xy 【分析】 利用导数的几何意义求切线的斜率，然后根据直线方程的点斜式写出切线方程. 【详解】 因为( )(4)exf xx，所以( )e(4)e(3)exxxfxxx， 所以(0)4f ，(0)3kf ， 所以切线方程为430yx，即340 xy. 故答案为：340 xy. 14（2021 天津高二期末）已知函数2( )xf xaex在区间(0,)上单调递增，则实数 a 的取值范围是_. 【答案】2,e 【分析】 首先求出函数的导函数，依题意( )20 xfxaex在(0,)恒成立，参变分
18、离，即2xxae在(0,)恒成立，令 2xxg xe，利用导数说明其单调性，即可求出其最大值，即可得解； 【详解】 解： 因为2( )xf xaex， 所以( )2xfxaex， 因为函数2( )xf xaex在区间(0,)上单调递增，所以( )20 xfxaex在(0,)恒成立， 即2xxae在(0,)恒成立， 令 2xxg xe，0,x，则 2 1xxgxe，所以当01x时 0g x，当1x 时 0gx，所以 g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所以 max21g xge 所以2ae，即2,ae 故答案为：2,e 15 （2021 河南洛阳市 高二月考（理）若函数2( )2lnf
19、xmxx在21,ee上有两个零点，则实数m的取值范围为_. 【答案】411,4e 【分析】 采用分离参数法，可得22lnmxx，再令2( )2lng xxx，对函数( )g x求导，利用函数单调性，可知( )g x在21e,1上单调递减，在1,e上单调递增，根据最小值和单调区间，作出函数( )g x的图象，利用数形结合，即可求出结果. 【详解】 令2( )2ln0f xmxx，则22lnmxx， 令2( )2lng xxx，则由22(1)(1)( )2xxg xxxx知， ( )g x在21e,1上单调递减，在1,e上单调递增， 且min ( )(1)1g xg，24114eeg，2(e)e2
20、g. 4145eQ，2e25，21(e)egg， 作出函数( )g x的图像，如下图所示： 所以函数( )f x在21,ee上有两个零点，则实数m的取值范围为411,4e. 故答案为：411,4e. 16（2021 全国高三其他模拟（理）已知函数 2ln1xxf xxee，则不等式2210f xfx的解集为_. 【答案】1, 3,3 U 【分析】 首先根据题意得到 f x是偶函数，利用导数和奇偶性得到函数 f x的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】 因为 2ln1xxf xxee，xR， 所以 2ln1xxfxxeef x，所以 f x是偶函数. 因为 22222111xxxxxxefxeexxe 当0 x时， 0fx，所以 f x在0,上单调递增. 又因为 f x是偶函数，所以 f x在,0上单调递减. 所以2210f xfx，即221f xfx， 所以221xx，即23830 xx，解得3x或13x . 故答案为：1, 3,3 U.
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