1、 1 2021202120222022 学年学年高三高三第一学期第一学期 1212 月六校联合调研月六校联合调研数学数学试题试题 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 4040 分分. . 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的题意的 1若复数 z 满足 z i2+i，其中 i 为虚数单位，则 z A1+2i B12i C1+2i D12i 2记 Ax|log2(x1)2，ANB，则 B 的元素个数为 A2 B3 C4 D5 3已知 cos13 ，则 sin(22) A79 B7
2、9 C23 D23 4设 a，b 为非零向量，则“存在负数 ，使得 a=b”是“a b0”的 A充分必要条件 B必要而不充分条件 C充分而不必要条件 D既不充分也不必要条件 5将 3 名教师，3 名学生分成 3 个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 1 名学生组成，若教师 A 与学生 B 要安排在同一地点，则不同的安排方案共有 A72 种 B36 种 C24 种 D12 种 6国务院新闻办公室 8 月 12 日发表全面建成小康社会：中国人权事业发展的光辉篇章白皮书指出：2020 年，全国万元国内生产总值二氧化碳排放较 2005 年下降 48.4%，提前完成
3、比 2005 年下降 40%45%的碳排放目标.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过 1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量 P（单位：毫克/升）与过滤时间 t（单位：时）之间的函数关系为 P=P0 ekt(k 为正常数，P0为原污染物数量）.该工厂某次过滤废气时，若前 3 个小时废气中的污染物被过滤掉了 90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤 A6 小时 B3 小时 C1.5 小时 D59小时 7设 F1、F2分别是椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，M 是椭圆 E 准线上一点，F1MF2的最大值为 60 ，则椭圆 E 的离心率为 A212
4、4 B 32 C 22 D284 8已知 asin13，b13，c1则 Acba Babc Cacb Dcab 2 二、多项选择题：二、多项选择题：本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 2020 分分. .每小题给出的四个选项中，有多个选项符合每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意全部选对的得题意全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分 9有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 10 次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8
5、 6 7 7 在这次射击中，下列说法正确的是 A甲成绩的极差比乙成绩的极差大 B甲成绩的众数比乙成绩的众数大 C甲的成绩没有乙的成绩稳定 D甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大 10已知函数 f(x)满足 f (1x)f (1x)，当 x1，)时，f(x)x3，则 Af(0)0 B对任意的正实数 a，都有 f (a4a)f (4) Cf (1x)为偶函数 D不等式 f (x+1)f (3)的解集为(-1,3) 11在平面直角坐标系中，三点 A(1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点 P 满足 PA 2PB，则 A点 P 的轨迹方程为(x3)2y28 B PAB 面积最大时 PA2 6 CPAB
6、 最大时，PA=2 6 DP 到直线 AC 距离最小值为4 25 12在底面棱长为 2 侧棱长为 2 3的正三棱柱 ABCA1B1C1中，点 E 为 AC1的中点，BD=BC(01),则以下结论正确的是 A当 12时，A1D=12AB+ 12ACAA1 B当 12时，AB1/平面 A1C1D C存在 使得 DE平面 A1B1C D四面体 EABC 外接球的半径为153 三、填空题：（本大题共三、填空题：（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13已知(xay)3的展开式中含 x2y 项的系数为 6则实数 a 的值为 14双曲线x2a2y2b21(
7、a0，b0)的两条渐近线分别为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点若正方形 OABC 的边长为 4，则 a 15若一个等差数列an满足：每项均为正整数；首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项，写出一个满足条件的数列的通项公式 an 16在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，3(tanAtanB)tanAcosBtanBcosA，则a+bc ；c4，D 为 AB 的中点且 CD 33 ，则 ABC 的面积为 四、解答题：本大题共、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字
8、说明，证分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤明过程或演算步骤 17.（本题满分 10 分） 3 已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，22，xR)的部分图象如图所示 (1)求函数 yf(x)的解析式； (2)将 yf(x)图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的 t(t0)倍，得到 yg(x)的图象若4为函数 yg(x)的一个零点，求 t 的最大值 18（本题满分 12 分） 我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹某农户计划于 2021 年初开始种植新型农作物根据前期各方面调查发现， 该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性， 且两
9、者互不影响，其具体情况如表： 该农作物亩产量（kg） 900 1200 概率 0.5 0.5 该农作物市场价格（元/kg） 30 40 概率 0.4 0.6 （1）设 2021 年该农户种植该农作物一亩的收入为 X 元，求 X 的分布列； （2）若该农户从 2021 年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的收入超过 30000 元的概率 19.（本题满分 12 分） 在6Snan23an4； an2an-13n5;两个条件中选择一个， 补充在下面的问题中， 并解答该问题. 已知正项等差数列an和等比数列bn，数列an前 n 项和为
10、 Sn，满足 a22b21a3b32，_. （1）求an和bn的通项公式； （2）数列an和bn中的所有项分别构成集合 A，B，将 AB 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列cn，求数列cn的前 70 项和. O x y 第 17 题 2 3 56 4 20（本题满分 12 分） 如图，在四棱锥中 PABCD，PA平面 ABCD，ADBC，ADCD，且 ADCD2，BC4，PA2 （1）求证：ABPC； （2）点 M 在线段 PD 上，二面角 MACD 的余弦值为33，求三棱锥 MACB 体积 21(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C：y24x，点 M(a，0) (a0)，直线 l
11、过点 M 且与抛物线 C 相交于 A，B 两点 （1）若 a2，直线 l 的斜率为 2，求 AB 的长； （2）在 x 轴上是否存在异于点 M 的点 N，对任意的直线 l，都满足ANBNAMBM? 若存在，指出点 N 的位置并证明，若不存在请说明理由 22(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)ex+a+bsinx1 的图象在原点处的切线方程为 y=2x (1)求函数 yf(x)的解析式 (2)证明：f(x)2x 2021202120222022 学年高三第一学期学年高三第一学期 1212 月六校联合调研数学试题月六校联合调研数学试题 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8
12、小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分分. 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的题意的 1若复数 z 满足 z i2i，其中 i 为虚数单位，则 z A12i B12i C12i D12i 【答案】A 【考点】复数的运算 【解析】由题意可知， z2ii(2i)iii12i，所以 z12i，故答案选 A 第 20 题 5 2记 Ax|log2(x1)2，ANB，则 B 的元素个数为 A2 B3 C4 D5 【答案】B 【考点】集合的运算及应用 【解析】由题意可知，Ax|1x5，因为 ANB，所以 B2，3，4，即 B 的元素个数为
13、3，故答案选 B 3已知 cos13 ，则 sin(22) A79 B79 C23 D23 【答案】A 【考点】三角恒等变换 【解析】由题意可知，sin(22)cos22cos212(13)2179，故答案选 A 4设 a，b 为非零向量，则“存在负数 ，使得 ab”是“ab0”的 A充分必要条件 B必要而不充分条件 C充分而不必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 【考点】条件的判断、平面向量的数量积与共线的应用 【解析】由题意可知，存在负数 ，使得 ab，则 abb20，而 ab0 时，推不出存在负数 ，使得ab，故“存在负数 ，使得 ab”是“ab0”的充分而不必要条件，故答案选
14、C 5将 3 名教师，3 名学生分成 3 个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 1 名学生组成，若教师 A 与学生 B 要安排在同一地点，则不同的安排方案共有 A72 种 B36 种 C24 种 D12 种 【答案】D 【考点】排列组合问题 【解析】由题意可知，教师 A 与学生 B 要安排在同一地点，则剩下的 4 人：2 名教师，2 名学生，可组成A22种，再与教师 A 与学生 B 这一组全排列A33，所以共有种，故答案选 D 6国务院新闻办公室 8 月 12 日发表全面建成小康社会：中国人权事业发展的光辉篇章白皮书指出：2020 年，全国万元国内生产总值
15、二氧化碳排放较 2005 年下降 48.4%，提前完成比 2005 年下降 40%45%的碳排放目标.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过 1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量 P(单位： 毫克/升)与过滤时间 t(单位： 时)之间的函数关系为 P=P0 ekt(k 为正常数，P0为原污染物数量).该工厂某次过滤废气时，若前 3 个小时废气中的污染物被过滤掉了 90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤 6 A6 小时 B3 小时 C1.5 小时 D59小时 【答案】B 【考点】新情景问题下的指对数运算 【解析】 由题意可知， (190%)P0P0e3k， 则
16、 k13ln0.1， 又 1%P0P0ekt， 则 t1kln0.013ln0.01ln0.16，所以至少还需要过滤 633 小时，故答案选 B 7设 F1、F2分别是椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，M 是椭圆 E 准线上一点，F1MF2的最大值为 60 ，则椭圆 E 的离心率为 A4122 B 32 C 22 D482 【答案】A 【考点】圆锥曲线种椭圆的几何性质应用：求离心率 【解析】由题意可设直线 MF1，MF2的倾斜角分别为 ，由椭圆的对称性不妨设 M 为第一象限的点，即M(a2c， t)(t0)， 则 tanta2cc， tanta2cc， 因为F1MF2， 所以
17、 tanF1MF2tan()tantan1tantanta2ccta2cc1(ta2cc)(ta2cc)2ctb2()a2c2c2t22cb2()a2c2c2tt2c2b2()a2c2c2t tc2b a2c2c2a2c2a2c2c2a4c4tan60 3，所以 c43(a4c4)，则c4a434，解得 eca4122，故答案选 A 8已知 asin13，b13，c1，则 Acba Babc Cacb Dcab 【答案】D 【考点】比较大小 【解析】由题意可知，b131c，即 bc，又13(0，2)，且当 x(0，2)时，sinxx，所以 sin1313，即 ab，又因为 asin13sin6
18、0sin20 0.34，而 c10.31，所以 ca，即 cab，故答案选 D 二、多项选择题：二、多项选择题：本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分每小题给出的四个选项中，有多个选项符合每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意全部选对的得题意全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 10 次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 7 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 在这次射击中，下列说法正确的是 A甲成绩的极差比
19、乙成绩的极差大 B甲成绩的众数比乙成绩的众数大 C甲的成绩没有乙的成绩稳定 D甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大 【答案】AC 【考点】统计种极差、众数、中位数、方差的应用 【解析】由题意可知，对于选项 A，甲成绩的极差为 1046，乙成绩的极差为 954，所以甲成绩的极差比乙成绩的极差大，故选项 A 正确；对于选项 B，甲成绩的众数为 7，乙成绩的众数为 7，所以选项 B错误；对于选项 C，甲成绩的平均数为 7，方差为 3.7，成绩的平均数为 7，方差为 1.2，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，即甲的成绩没有乙的成绩稳定，故选项 C 正确；对于选项 D，甲成绩的中位数为 7，乙成绩的中位数为
20、7，故选项 D 错误；综上，答案选 AC 10已知函数 f(x)满足 f (1x)f (1x)，当 x1，)时，f(x)x3，则 Af(0)0 B对任意的正实数 a，都有 f (a4a)f (4) Cf(1x)为偶函数 D不等式 f (x1)f (3)的解集为(1，3) 【答案】BC 【考点】函数的性质综合应用 【解析】由题意可知，对于选项 A，因为 f (1x)f (1x)，所以函数 f(x)关于直线 x1 对称，则 f(0)f(2)8， 故选项 A 错误； 对于选项 B， 因为 x1， )时， 函数 f(x)x3单调递增， 且 a4a4， 所以 f (a4a)f (4) 对任意的正实数 a
21、 恒成立，故选项 B 正确；对于选项 C，由函数 f(x)关于直线 x1 对称，可得 f(x1)关于直线 x0 对称，即 f(1x)为偶函数，故选项 C 正确；对于选项 D，因为 f(x)在1，)上单调递增且f(x)关于直线 x1 对称，所以由 f (x1)f (3)可得|x1|3，解得 x(4，2)，故选项 D 错误；综上，答案选 BC 11在平面直角坐标系中，三点 A(1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点 P 满足 PA 2PB，则 A点 P 的轨迹方程为(x3)2y28 BPAB 面积最大时 PA2 6 CPAB 最大时，PA2 6 DP 到直线 AC 距离最小值为4 25 【答案
22、】ABD 【考点】轨迹方程、直线与圆的位置关系应用 【解析】由题意可设 P(x，y)，由 PA 2PB，可得 PA22PB2，即(x1)2y22(x1)2y2，化简可得(x3)2y28，故选项 A 正确；对于选项 B，|AB|2，且点 P 到直线 AB 的距离的最大值为圆(x3)2y28的半径 r， 即为 2 2， 所有PAB 面积最大为1222 22 2， 此时 P(3， 2 2)， 所以 PA(31)2(2 2)22 6，故选项 B 正确；对于选项 C，PAB 最大时，为过点 A 作圆(x3)2y28 的切点，求得切点不为 8 (3，2 2)，则 PA2 6，故选项 C 错误；对于选项 D
23、，直线 AC 的方程为 7xy70，则圆心(3，0)到直线 AC 的距离为73772114 25，所以点 P 到直线 AC 距离最小值为14 252 24 25，故选项 D 正确；综上，答案选 ABD 12在底面棱长为 2 侧棱长为 2 3的正三棱柱 ABCA1B1C1中，点 E 为 AC1的中点，BDBC(01),则以下结论正确的是 A当 12时，A1D12AB12ACAA1 B当 12时，AB1/平面 A1C1D C存在 使得 DE平面 A1B1C D四面体 EABC 外接球的半径为153 【答案】AD 【考点】立体几何中几何体的综合应用：空间向量的应用、位置关系判断、几何体的外接球 【解
24、析】由题意可知，对于选项 A，当 12时，A1DA1AADAA112AB12AC12AB12ACAA1，故选项 A 正确；对于选项 B，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，有 ACA1C1，又 AC平面 A1C1D，A1C1平面A1C1D，则 AC平面 A1C1D，若 AB1/平面 A1C1D，则平面 AB1C/平面 A1C1D，则与题意矛盾，故选项 B 错误；对于选项 C，因为点 D 在线段 BC 运动，所以DEC 的最大值为BEC，而BEC90 ，所有不存在点 D 使得 DE平面 A1B1C，故选项 C 错误；对于选项 D，设ABC 的外接圆圆心为 O1，其半径为 r，四面体 EABC 外接
25、球球心为 O，其半径为 R，则 2r2sin60232，解得 r2 33，设 OO1h，则可得到 R2h2r2，且 R2( 3h)2(33)2，解得 R153，故选项 D 正确；综上，答案选 AD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知(xay)3的展开式中含 x2y 项的系数为 6则实数 a 的值为 【答案】2 【考点】二项式定理展开式的应用 【解析】由题意可知，(xay)3的展开式通项为 Tr1Cr3x3r(ay)rCr3arx3ryr，令 3r2，解得 r1，所以展开式中含 x2y 项的系数为C13a6，解得 a2
26、14双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该 9 双曲线的焦点若正方形 OABC 的边长为 4，则 a 【答案】4 【考点】圆锥曲线中双曲线的几何性质综合应用 【解析】由题意可知，正方形 OABC 的边 OA，OC 在双曲线的渐近线上，所以ba1，又正方形 OABC 的边长为 4，所以 OB 42424 2，即 c4 2，所以 ab4 15若一个等差数列an满足：每项均为正整数；首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项，写出一个满足条件的数列的通项公式 an 【答案】2n1 或 3n1(形如 kn(k2)(k 为不
27、小于 3 的正整数)答案不唯一 【考点】开放性试题：等差数列的性质应用 【解析】 由题意可知， 等差数列an中， a2a1da3， 即 a1da1da12d， 因为 a10， 所以可取 a13，d2，满足不等式，则 an2n1 16在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，3(tanAtanB)tanAcosBtanBcosA，则abc ；c4，D 为 AB 的中点且 CD 33，则ABC 的面积为 【答案】3；4 6 【考点】双空题：解三角形综合应用 【解析】由题意可知，因为 3(tanAtanB)tanAcosBtanBcosA，所以 3(sinAcosAsinBcosB)
28、sinAcosAcosBsinBcosAcosB，则3(sinAcosBcosAsinB)sinAsinB，即 3sin(AB)sinAsinB3sinC，则由正弦定理可得，ab3c，所以abc3； 在ABC 中，CACBCD2(12AB)2( 33)2(124)229， 且CACBbacosC， 所以 abcosC29，所以由余弦定理可知 a2b2c2a2b21658，即(ab)22ab74，又 ab3c3412，所以 ab35，则 cosC2935，所以 sinC8 635，则ABC 的面积为12absinC12358 6354 6 四、解答题：本大题共、解答题：本大题共 6 小题，共小题
29、，共 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤明过程或演算步骤 17.(本题满分 10 分) 已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，22，xR)的部分图象如图所示 (1)求函数 yf(x)的解析式； (2)将 yf(x)图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的 t(t0)倍，得到 yg(x)的图象若4为函数 yg(x)的一个零点，求 t 的最大值 【考点】三角函数的图象与性质应用 【解析】 O x y 第 17 题 2 3 56 10 (1)由图象知，A2 又T45632，0，所以 T22，
30、得 1 2 分 所以 f(x)2sin(x)，将点(3，2)代入，得322k(kZ)， 即 62k(kZ)，又22，所以 6 4 分 所以 f(x)2sin(x6) 5 分 (2)g(x)2sin(1tx6)， 7 分 所以1t46k，kZ 所以t312k2，kZ 9 分 故时 k1，t 的最大值为310 10 分 18(本题满分 12 分) 我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹某农户计划于 2021 年初开始种植新型农作物根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表： 该农作物亩产量(kg) 900 1200 概率 0.
31、5 0.5 该农作物市场价格(元/kg) 30 40 概率 0.4 0.6 (1)设 2021 年该农户种植该农作物一亩的收入为 X 元，求 X 的分布列； (2)若该农户从 2021 年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变， 求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的收入超过 30000 元的概率 【考点】随机变量的分布列与实际应用 【解析】 (1)由题意知： X 的所有可能取值为：27000，36000，48000， 1 分 设 A 表示事件“作物亩产量为 900kg”，则 P(A)0.5， B 表示事件“作物市场价格为 30 元/kg”，则 P(B)0.4， 则 P
32、(X27000)0.50.40.2， P(X36000)0.50.40.50.60.5， 11 P(X48000)0.50.60.3， 5 分 X 的分布列为： X 27000 36000 48000 P 0.2 0.5 0.3 6 分 (2)设 C 表示事件“种植该农作物一亩一年的收人不少于 30000 元”， 则 P(C)P(X30000)P(X36000)P(X48000)0.8，8 分 设这三年中有 Y 年有收入不少于 30000 元，则有 YB(3，0.8)，10 分 这三年中该农户种植该农作物一亩至少两年收入超过 30000 元的概率为： P(Y2)0.896 12 分 19(本题
33、满分 12 分) 在6Snan23an4；an2an13n5；两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题. 已知正项等差数列an和等比数列bn，数列an前 n 项和为 Sn，满足 a22b21a3b32，_. (1)求an和bn的通项公式； (2)数列an和bn中的所有项分别构成集合 A，B，将 AB 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列cn，求数列cn的前 70 项和. 【考点】等差数列与等比数列的通项公式、新数列求和 【解析】 (1)选，令 n1，则 6S1a123a14， 所以 a14(负值舍去) 1 分 令 n2，则 6S2a223a24， 则 a27(负值舍去) 2
34、分 所以an3n1 3 分 又 a22b21，a3b32，所以 b24，b38， 所以bn2n 6 分 选，令 n2，则a22a11；设数列an是公差为 d 的等差数列， 所以a1d1 1 分 令 n2，则 a32a24；， 则 d3，a14 2 分 所以an3n1 3 分 又 a22b21，a3b32，所以 b24，b38， 所以bn2n 6 分 12 (2)当cn的前 70 项中含有bn的前 6 项时，令 3n127128，解得 n1273， 此时至多有 41748 项(不符) 当cn的前 70 项中含有bn的前 7 项时，3n128256，解得 n859 分 且 22，24，26是an和
35、bn的公共项，则cn的前 70 项中含有bn的前 7 项且含有an前 66 项，再减去公共的三项， S70(6646665322323236869 12 分 20(本题满分 12 分) 如图，在四棱锥中 PABCD，PA平面 ABCD，ADBC，ADCD，且 ADCD2，BC4，PA2 (1)求证：ABPC； (2)点 M 在线段 PD 上，二面角 MACD 的余弦值为33，求三棱锥 MACB 体积 【考点】立体几何中的位置关系证明、利用二面角求几何体的体积 【解析】 (1)证明：四边形 ABCD 是直角梯形，ADCD2，BC4， AC2 2，AB(BCAD)2CD22 2， ABC 是等腰直
36、角三角形，即 ABAC，2 分 PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB， 又 PAACA，AB平面 PAC， 4 分 又 PC面 PAC，ABPC 6 分 (2)过点 M 作 MNAD 于 N，则 MN/PA， MN平面 ABCD，MNAC 过点 M 作 MGAC 于 G，连接 NG，则 ACNG， MGN 是二面角 MACD 的平面角 8 分 若 cosMGN33，则 2NGMN，又 AN 2NGMN， 设 MNx，则 ANx，ND2x， MND 是等腰直角三角形，解得 x2x， MN1， 10 分 第 20 题 13 在三棱锥 MABC 中，VMABC13SABCMN131242
37、14312 分 (2)另解：过点 A 作 AEBC 于 E，以 A 点为原点，AE，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立平面直角坐标系， 取平面 DAC 的法向量AP(0，0，2) 8 分 设 M(0，a，2a)(0a2)，AM(0，a，2a)，AC(2，2，0)， 设平面 CAM 的法向量为 n(x，y，z)， 由ACn0，AMn0，得2x2y0ay(2a)z0，可取 n(a2，2a，a)， 所以 cos33，得 a1 10 分 故 VMABC13SABCa131242143 12 分 21(本题满分 12 分) 已知抛物线 C：y24x，点 M(a，0) (a0)，直线
38、l 过点 M 且与抛物线 C 相交于 A，B 两点 (1)若 a2，直线 l 的斜率为 2，求 AB 的长； (2)在 x 轴上是否存在异于点 M 的点 N，对任意的直线 l，都满足ANBNAMBM? 若存在，指出点 N 的位置并证明，若不存在请说明理由 【考点】圆锥曲线中抛物线的几何性质应用、直线与抛物线的位置关系应用 【解析】 (1)直线 l：y2x4， 由y2x4y24x得x4y4或x1y2 2 分 所以 A(4，4)，B(1，2)，故 AB3 5 4 分 (2)存在 x 轴上的点 N(a，0)满足题意，证明如下： 5 分 设直线 l：xmya， 由xmyay24x得y24my4a0 设
39、 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24m，y1y24a 7 分 kANkBNy1x1ay2x2ay1()x2a y2()x1a()x1a()x2ay1()my22a y2()my12a()x1a()x2a 2my1y22a()y1y2()x1a()x2a2m (4a)2a 4m()x1a()x2a0 10 分 所以 kANkBN0，可知 AN，BN 的倾斜角互补，所以ANMAMN 所以 NM 为ABN 的角平分线， 14 由正弦定理：BMsinBNMBNsinBMN，AMsinANMANsinAMN ， 两式相除得ANBNAMBM ， 综上，存在 x 轴上的点 N(a，0)满足题
40、意 12 分 22(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)ex+a+bsinx1 的图象在原点处的切线方程为 y2x (1)求函数 yf(x)的解析式 (2)证明：f(x)2x 【考点】函数与导数：函数的切线方程应用、证明不等式 【解析】 (1)已知函数 f(x)ex+a+bsinx1 的图象在原点处的切线方程为 y2x， 则 f(0)2，f(0)0， 2 分 解得 a0，b1，则f(x)exsinx1 4 分 (2)证明：要证 f(x)2x，即证exsinx2x10， 令g(x)exsinx2x1，则 g(0)0， 5 分 g(x)excosx2，g(0)0，令 h(x)excosx2，则 h(0)0，h(x)exsinx， 当 x0 时，h(x)exsinx0，则 h(x)在(0，)上是增函数，h(x)h(0)0，即 g(x)0 则 g(x)在(0，)上是增函数，则 g(x)g(0)0 7 分 当x0 时，ex0，sinx0， 所以 h(x)0，h(x)在(，0)上的增函数，h(x)h(0)0 即 g(x)0，函数 g(x)在区间(，0)单调递减，在区间(，0)上， 则 g(x)g(0)0 10 分 又当 x 时，g(x)exsinx2x1220 综上所述 g(x)0，即 f(x)2x 12 分
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