1、 第五章第五章 三角函数三角函数 5.4.3 正切函数的图像与性质正切函数的图像与性质 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 本（A 版） 第五章的 5.4.3 正切函数的图 像与性质。本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象与性质学习的经验，通过运用数形结合 的思想方法和类比思想，对正切函数的图像与性质进行研究，并应用函数性质解决问题。是学生对 函数学习方法掌握情况的一次大检阅。因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其 重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1.理解并掌握正切函数的周期性、 定义域、 值域、奇偶性
2、和单调性。并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。 2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。 3.通过正切函数图像与性质的探究， 培养学生数形结合和类比的思想方法。 a.数学抽象：函数性质的总结； b.逻辑推理： 由正切函数性质解决 yAtan(x)的性质； c.数学运算：运用函数性质解决问题； d.直观想象：函数图像与函数性质相对应； e.数学建模：正切函数的性质及应用； 教学重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性 教学难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学素养目标 （一）创设问题情境 提出问题提出问题 （）根据研究
3、正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？ （）你能用不同的方法研究正切函数吗？ 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象 问题问题探究探究 1. 周期性 由诱导公式 ( ) ， R，且 + ， Z,可知，正切函数是周期函数，周期是周期是 2.奇偶性 由诱导公式 ( )= ， R，且 + ， Z， 可知，正切函数是奇函数，正切函数是奇函数 你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 可以先考察函数 , 0, ) 的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展 如何画出函数 , 0, )
4、 的图象的图象？ 如图 5.4.9，设 0, ) ，在直角坐标系中画出角 的终边与单位圆的交点 B（ , ）过点 B 作 轴的垂线，垂足为 M；过点 A（，）作 轴的垂线与角 的终边交于点 T，则 = = = ；由此可见，当 0, )时，线段 AT 的长度就是相应角 的正切值 我们可以利用线段 AT 画出函数 0, )的图象，如图 5.4.10 所示观察图 5.4.10 可知， 通过对函数学习的回顾，提出研究正切函数图像与性质的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。 通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周 当 0, ) 时，随狓 的增大，线段 AT 的长度也在增大，而且当 趋向于 时，A
5、T 的长度趋向于无穷大相应地，函数 0, )的图象从左向右呈不断上升趋势， 且向右上方无限逼近直线 你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？ 正切函数的图象有怎样的特征？ 根据正切函数是奇函数，只要画 , 0, ) 的图象关于原点的对称图形，就可得到 , (- ,0的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数 , (- , )的图象向左、右平移，每次平移 个单位，就可得到正切函数 R，且 + ， Z 的图象，我们把它叫做正切曲线（tangentcurve）（图 5.4.11） 从图 5.4.11 可以看出，正切曲线是被与 轴平行的一系列直线 + ， Z 所隔开的无穷多支形状相
6、同的曲线组成的 期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 通过对正切函数图像与性质的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展 .单调性 观察正切曲线可知，正切函数在区间(- , )上单调递增 由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间正切函数在每一个区间 (- +k , +k ),kZ,上都单调递增上都单调递增 .值域 当 (- , )时， 在（，）内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值因此，正切函数的值域是实数集正切函数的值域是实数集 R
7、典例解析典例解析 例. 求函数 ( )的定义域、周期及单调区间 分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论 解：自变量 的取值应满足; + ；即 +2 所以，函数的定义域是 | 2 设 z= ，又 ( ) ， 所以 ( ) = ( ) 即 ( ) = ( ) 因为 | 2 , 都有 ( ) = ( ) 所以，函数的周期为 由 解得； 因此，函数在区间( , ), , 上单调递增 归纳总结归纳总结 1求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数 ytan x 有意义即 x2k，kZ. 2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法： 先求函数的定义域，看
8、其定义域是否关于原点对称，若其不关于原学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 点对称， 则该函数为非奇非偶函数； 若其关于原点对称， 再看 f(x)与 f(x)的关系 3求 yAtan(x)(0)的单调区间时，由 k2xk2，kZ 求得 x 的范围；当 0 时，可先用诱导公式把 化为正值 三、当堂达标 1函数 ytan x4x4且x0 的值域是( ) A1,1 B1,0)(0,1 C(，1 D1，) 【解析】 根据函数的单调性可得 【答案】 B 2函数 f(x)tanx6的定义域是_，f6_. 【解析】 由题意知 x6k2(kZ)，即 x3k(kZ) 故定义域为x x
9、k3，kZ，且 f6tan66 3. 【答案】 x xk3，kZ 3 3函数 ytan x 的单调递减区间是_ 【解析】 因为 ytan x 与 ytan x 的单调性相反， 所以 ytan x 的单调递减区间为2k，2k (kZ) 【答案】 2k，2k (kZ) 4函数 y|tan x|的周期为_ 【解析】 作出 y|tan x|的图象，如图所示 由图可知，函数 y|tan x|的最小正周期是 . 【答案】 5(1)求函数 ytan12x4的单调区间； 通过练习巩固本节所学知识，巩固对正切函数图像与性质的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 (2)比较 tan1
10、34与 tan125的大小 【解】 (1)由 k212x4k2(kZ)得，2k2x2k32(kZ)， 所以函数 ytan12x4的单调递增区间是2k2，2k32(kZ) (2)由于 tan134tan434tan 34tan 4， tan125tan225tan 25，又 04252， 而 ytan x 在0，2上单调递增，所以 tan 4tan 25， 即 tan134tan125. 四、小结 让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？ 知识上：正切函数图像和性质及简单应用 思想方法上：类比思想，整体代换思想。 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；
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