1、 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.3.2 对数的运算对数的运算 本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.3.2节 对数的运算 。其核心是弄清楚对数的定义，掌握对数的运算性质，理解它的关键就是通过实例使学生认识对数式与指数式的关系，分析得出对数的概念及对数式与指数式的 互化，通过实例推导对数的运算性质。由于它还与后续很多内容，比如对数函数及其性质,这也是高考必考内容之一，所以在本学科有着很重要的地位。解决重点的关键是抓住对数的概念、并让学生掌握对数式与指数式的互化；通过实例推导对数的运算性质，让学生准确地运用对数运算性质进行运算，学会运用换
2、底公式。培养学生数学运算、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1、理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化； 2、了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数计算。 3、通过转化思想方法的运用，培养学生转化的思想观念及逻辑思维能力。 a.数学抽象：对数的运算性质； b.逻辑推理：对数运算性质的推导； c.数学运算：对数运算性质的运用； d.直观想象：指数与对数的关系； e.数学建模：在实际问题中运用对数运算性质及换底公式； 教学重点： 准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值 教学难点：根据指对数的互化推导对数运算性质及换底公式。
3、 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学素养目标 （一） 、温故知新温故知新 1对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数 a 的范围是_. （二） 、探索新知（二） 、探索新知 问题提出： 在引入对数之后， 自然应研究对数的运算性质 你认为可以怎样研究？ 我们知道了对数与指数间的关系， 能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？ 探究一：对数的运算性质探究一：对数的运算性质 回顾指数幂的运算性质： nmnmaaa，nmnmaaa，mnnmaa)( 把指对数互化的式子具体化： 设maM ，naN ， 于是有,m nMNa+=,m nnmnMaMaN-=nNmMaalog,lo
4、g 根据对数的定义有：nmanmalog，nmanmalog，mnamnalog 于是有对数的运算性质： 如果0a，且1a时，M0，N0，那么： （1）log ()aM N? ； （积的对数等于两对数的和） （2）logaMN= ； （商的对数等于两对数的差） （3）lognaM= ； （Rn） （幂的对数等于幂指数乘以底数的对数） 1思考辨析 (1)积、商的对数可以化为对数的和、差( ) 温故知新，通过对上节对数概念及指对数互化， 为对数运算性质的推导做准备。 培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。 通过对指数运算性质的回顾， 类比推 导 对 数 运 算 性质， ，发展学生逻辑推理，数学抽
5、象、数学运算等核心素养； (2)loga(xy)logax logay.( ) (3)log2(3)22log2(3)( ) 答案 (1) (2) (3) 例 1求下列各式的值 （1）log84log82； （2）log510log52 （3）log2（47 25） 解：解： （1）log84log82log881. （2）log510log52log551 (3) log2（47 25）= log2219 =19 跟踪训练 1 计算下列各式的值： (1)12lg 324943lg 8lg 245； (2)lg 5223lg 8lg 5 lg 20(lg 2)2； (3)lg 2lg 3lg
6、10lg 1.8. 解 (1)原式12(5lg 22lg 7)4332lg 212(2lg 7lg 5) 52lg 2lg 72lg 2lg 712lg 5 12lg 212lg 512(lg 2lg 5)12lg 1012. (2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)2 2lg 10(lg 5lg 2)2 2(lg 10)2213. (3)原式12lg 2lg 9lg 10lg 1.8lg 18102lg 1.8lg 1.82lg 1.812. 规律方法 1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系 2 对于复杂的运算式， 可先化
7、简再计算； 化简问题的常用方法： “拆”： 将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数 23.ln ,ln ,ln1 ln; (2)lnxyzxyxyzz例2用表示下列各式 1 lnlnlnlll:nnnxyxyzxzz解 22332 lnlnlnxyxyzz 23lnlnln112lnlnln23xyzxyz 通过典例问题的分析， 让学生进一步熟悉对数运算性质。深化对对数运算性质的理解。 通过换底公式的推导及应用， 发展学探究二：换底公式探究二：换底公式 问题 1： 前面我们学习了常用对数和自然对数， 我们知道任意不等于 1 的正数都可以作为对数的底
8、，能否将其它底的对数转换为以 10 或e为底的对数？ 把问题一般化，能否把以a为底转化为以c为底？ 探究：设pbalog，则bap，对此等式两边取以c为底的对数，得到：bacpcloglog，根据对数的性质，有：bapccloglog， 所以abpccloglog 即abbccalogloglog其中0a，且1a，0c，且1c 公式logab = ；称为换底公式 用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算 在 4.2.1 的问题 1 中，求经过多少年 B 地景区的游客人次是 2001 年的 2 倍，就是计算 2 的值。 由换底公式可得 2= ， 利用计算工具，可得 = ， 由此可得，大
9、约经过 7 年，B 地景区的 游客人次就达到 2001 年的 2 倍，类似地， 可以求出游客人次是 2001 年的 3 倍，4 倍， 所需要的年数。 例 3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震 M 之间的关系为 2011 年 3 月 11 日，日本东北部海域发生里氏 9.0 级地震， 它所释放出来的能量是 2008 年 5 月 12 日我国汶川 发生里氏 8.0 级地震的多少倍（精确到 1）？ 解:设里氏 9.0 级和里氏 8.0 级地震的能量分别为 E1和 E2 生数学运算、 逻辑推理和数学建模的核心素
10、养； lg4.8 1.5EM 设里利用计算工具可得， 虽然里氏 9.0 级和里氏 8.0 级地震仅相差 1 级， 但前者释放出的能量却是后者的约 32 倍。 跟踪训练 2 求值： (1)log23 log35 log516； (2)(log32log92)(log43log83) 解 (1)原式lg 3lg 2lg 5lg 3lg 16lg 5lg 16lg 24lg 2lg 24. (2)原式lg 2lg 3lg 2lg 9lg 3lg 4lg 3lg 8 lg 2lg 3lg 22lg 3lg 32lg 2lg 33lg 23lg 22lg 35lg 36lg 254. 三、当堂达标 1计
11、算：log153log62log155log63( ) A2 B0 C1 D2 【答案】B 原式log15(3 5)log6(2 3)110. 2计算 log92 log43( ) A4 B2 C.12 D.14 【答案】D log92 log43lg 2lg 9lg 3lg 414. 3设 10a2，lg 3b，则 log26( ) A.ba B.aba Cab Dab 【答案】B 10a2，lg 2a， log26lg 6lg 2lg 2lg 3lg 2aba. 4 log816_. 【答案】43 log816log232443. 5计算：(1)log5352log573log57log5
12、1.8； 通过练习巩固本节所学知识， 巩固对数的概念及其性质， 增强学生的数学抽象、数学运算、 逻辑推理的核心素养。 lg4.81.5,EM由12lg4.8 1.5 9.0,lg4.8 1.5 8.0EE可得；1122lglg-lg=4.81.59.0 -4.81.5 8.0=EEEE于是（） （）1.51.5121032EE (2)log2748log21212log2421. 【答案】(1)原式log5(5 7)2(log57log53)log57log595 log55log572log572log53log572log53log552. (2)原式log2748log212log242log22 log27 1248 42 2log212 2log223232. 四、小结 1.对数的运算法则。 2.利用定义及指数运算证明对数的运算法则。 3.对数运算法则的应用。 4.换底公式的证明及应用。 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂学习， 自主总结知识要点， 及运用的思想方法。 注意总结自己在学习中的易错点；
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