1、 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.4.2 对数函数的图像和性质对数函数的图像和性质 本节课是新版教材人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第四章第 4.4.2 节 对数函数的图像和性质 是高中数学在指数函数之后的重要初等函数之一。 对数函数与指数函数联系密切，无论是研究的思想方法方法还是图像及性质，都有其共通之处。相较于指数函数，对数函数的图象亦有其独特的美感。在类比推理的过程中，感受图像的变化，认识变化的规律，这是提高学生直观想象能力的一个重要的过程。为之后学习数学提供了更多角度的分析方法。培养和发展学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养
2、。 课程目标 学科素养 1、掌握对数函数的图像和性质；能利用对数函数的图像与性质来解决简单问题; 2、经过探究对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数图像之间的联系，对数函数内部的的联系。培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法。 3、在学习对数函数过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，探索数学。 a.数学抽象：对数函数的性质； b.逻辑推理：对数函数与指数函数的关系； c.数学运算：运用对数函数的性质比较大小； d.直观想象：对数函数的图像； e.数学建模：运用对数函数解决实际问题； 教学重点：掌握对数函数
3、的图像和性质，对数函数与指数函数之间的联系，不同底数的 对数函数图 象之间的联系。 教学难点： 对数函数的图像与指数函数的关系；不同底数的对数函数之间的联系。 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学素养目标 （一） 、问题探究 思考：我们该如何去研究对数函数的性质呢？ 问题 1. 利用“描点法”作函数和的图像 函 数的 定义 域为，取 x 的一些值,列表如下： x 1 2 4 2 -1 0 1来源: 2 2 1 0 -1 -2 问题 2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如 和的图像，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函
4、数的图象画出另一个函数的图象？ 发现：函数和的图像都在 y 轴的右边,关于 x 轴对称 温故知新，通过对上节指数函数问题的回顾， 提出新的问题， 提出研究对数函数图像与性质的方法。 培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。 2logyx12logyx(0,)14122logyx12logyx2logyx12logyx2logyx12logyx问题 3：底数 a（a，且 a）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性 由此你能概括出对数函数（a，且 a）的值域和性质吗？ 结论 1函数和的图像都在 y 轴的右边； 2图像都经过点
5、； 3函数的图像自左至右呈上升趋势；函数的图像自左至右呈下降趋势 观察两幅图象，得到 a1 和 0a 1, 函数在区间（0，+）上是增函数；3.48.5， log23.4 log28.5（2） ：考察函数 y=log 0.3 x , a=0.3 1, 函数在区间（0，+）上是减函数；1.8 log 0.3 2.7 （3） ： 考察函数 log a 5.1 与 log a 5.9 可看作函数 y=log a x 的两个函值 , 对数函数的单调性取决于底数 a 是大于 1 还是小于 1，因此需要对底数 a 进行 通过画出特殊的对数函数的图形，观察归纳出对数函数的性质， 发展学生逻辑推理，数学抽象、
6、 数学运算等核心素养； 通过典例问题的分析， 让学生进一步熟悉对数函数的图像与性质。 培养逻辑推理核心素养。 logayx2logyx12logyx1,02logyx12logyx讨论;当 a 1 时, 因为 y=log a x 是增函数，且 5.1 5.9，所以 log a 5.1 log a 5.9 ； 当 0 a 1 时, 因为 y=log a x 是减函数， 且 5.1 log a 5.9 ； 归纳总结：1.当底数相同时,利用对数函数的单调性比较大小. 2.当底数不确定时,要对底数 a 与 1 的大小进行分类讨论. 跟踪训练 1 比较下列各题中两个值的大小 : log106 log10
7、 ； 8 log0.56 log0.5 4 log0.10.5 log0.10.6； log1.51.6 log1.51.4 答案：；跟踪训练 2：已知下列不等式，比较正数 m，n 的大小： (1) log 3 m log 0.3 n (3) log a m loga n (0a log a n (a1) 答案：m n；m n；m n 7.:lg,/.(1)(2)10/.pHpHpHHHpHHpH+-=-=例2溶液酸碱度的测量溶液酸碱度是通过刻画的的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔 升根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；已知纯净水
8、中氢离子的浓度为摩尔 升，计算纯净水的值 11(1)lglglg,pHHHH+ -+=-=解：根据对数的运算性质得 11(0,)lg.,.HpHHHHpH+?在上，增大，减小，也减小，即减小所以增大减小即溶液中氢离子的浓度越大 其酸碱度就越小 77(2) 10lg107.7.HpHpH+-=-=当时，即纯净水的是 已知函数 y=2x （xR ，y （0，+） 可得到 x=log2y ，对于任意一个 y（0，+），通过式子 x=log2y ，x 在 R 中都有唯一确定的值和它对应。 也就是说， 可以把 y 作为自变量， x 作为 y 的函数， 这是我们就说 x=log2y （y（0，+）是函数
9、y=2x （ xR） 的反函数。 运用对数函数的性质解决比较大小问题， 发展学生数学运算、 逻辑推理的核心素养； 通过对应用问题的解决， 发展学生数学建模的核心素养； 但习惯上，我们通常用 x 表示自变量，y 表示函数。为此我们常常对调函数 x=log2y 中的字母 x， y， 把它写成 y=log2x ,这样， 对数函数 y=log2x （ x（0，+） ）是指数函数 y=2x （xR ）的反函数。 因此，函数 y = logax (a0,且 a1)与指数函数 y = ax互为反函数。它们的定 义域和值域恰好相反。 三、当堂达标 1函数 ylogax 的图象如图所示，则实数 a 的可能取值为
10、( ) A5 B.15 C.1e D.12 【答案】A 由图可知，a1，故选 A. 2.当 a1 时，在同一坐标系中，函数 yax与 ylogax 的图象为( ) A B C D 【答案】 ：C (1)a1，01，yax是减函数，ylogax 是增函数，故选 C. 3.已知 f(x)loga|x|，满足 f(5)1，试画出函数 f(x)的图象. 解析： f(x)loga|x|，f(5)loga51，即 a5，f(x)log5|x|， f(x)是偶函数，其图象如图所示 4函数 f(x)loga(2x5)的图象恒过定点_ 【答案】(3,0) 由 2x51 得 x3，f(3)loga10.即函数 f
11、(x)恒过定点(3,0) 5.比较下列各组数中两个值的大小: 通过练习巩固本节所学知识， 巩固对数函数的概念， 增强学生的数学抽象、 数学运算、 逻辑推理的核心素养。 解:(1)log67log661，log76log771，log67log76 (2)log3log310，log20.8log210，log3log20.8 6:解不等式: 解：原不等式可化为：， 四、小结 1对数函数的图象及性质 a 的范围 0a1 图象 定义域 (0，) 值域 R 性质 定点 (1,0)，即 x1 时，y0 单调性 在(0，)上是减函数 在(0，)上是增函数 2反函数 指数函数 yax(a0，且 a1)和对数函数 ylogx(a0 且 a1)互为反函数 3.思想方法类比： 类比的思想方法；类比指数函数的研究方法；数形结合思想方法是研究函数图像和性质； 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂学习， 自主总结知识要点， 及运用的思想方法。 注意总结自己在学习中的易错点； 6log, 7log)1(768 . 0log,log)2(23 2log) 12(log2121x212012xx2121x2121，原不等式的解集是
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