1、【新教材】【新教材】4.4.3 4.4.3 不同函数增长的差异（人教不同函数增长的差异（人教 A A 版）版） 本节课在已学幂函数、指数函数、对数函数的增长方式存在很大差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反应.而本节课重在研究不同函数增长的差异. 课程目标课程目标 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长的快慢. 2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的性质的比较,培养数学建模和数学运算等核心素养. 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：常见增长函数的定义、图象、性质； 2.逻辑推理：三种函数的增长速度比较； 3.数学运算：由函数图像求
2、函数解析式； 4.数据分析：由图象判断指数函数、对数函数和幂函数； 5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结函数性质. 重点：重点：比较函数值得大小； 难点：难点：几种增长函数模型的应用 教学方法教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具教学工具：多媒体。 一、一、 情景导入情景导入 请学生用画2 ,2xyyx图像，观察两个函数图像,探索它们在区间0，+）上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、二、 预习课本，引入新课预习课本，引入新课 阅读课本 136-138 页，思
3、考并完成以下问题 1.三种函数模型的性质？ 2.三种函数的增长速度比较？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、三、 新知探究新知探究 1.三种函数模型的性质 2.三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0,+)上,函数 y=ax(a1),y=logax(a1)和 y=xn(n0)都是增函数,但增长速度不同. (2)在区间(0,+)上随着 x 的增大,函数 y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y=xn(n0)的增长速度,而函数 y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个 x0,使得当 xx0时,有 logaxxnax. 四
4、、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 比较函数增长的差异比较函数增长的差异 例例 1 1 函数 f(x)=2x和 g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1g(2 019)g(6)f(6). 【解析】(1)C1对应的函数为 g(x)=x3,C2对应的函数为 f(x)=2x. (2)因为 f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以 1x12,9x21) y=logax(a1) y=xn(n0) 在(0,+) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随 x 增大逐 渐变陡 随 x 增大逐 渐变
5、缓 随 n 值不同 而不同 所以 x16x2,从图象上可以看出,当 x1xx2时,f(x)g(x),所以 f(6)x2时,f(x)g(x),所以 f(2 019)g(2 019). 因为 g(2 019)g(6),所以 f(2 019)g(2 019)g(6)f(6). 变式 1.在本例(1)中,若将“函数 f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解第(1)题呢? 【答案】C1对应的函数为 g(x)=x3,C2对应的函数为 f(x)=3x. 【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为 g(x)=x3,C2对应的函数为 f(x)=3x. 变式变式 2.本
6、例条件不变,(2)题改为:试结合图象,判断 f(8),g(8),f(2 019),g(2 019)的大小. 【答案】f(2 019)g(2 019)g(8)f(8). 【解析】因为 f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以 1x12,9x210,所以 x18x2,从图象上可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),所以f(8)x2时,f(x)g(x),所以f(2 019)g(2 019).因为 g(2 019)g(8),所以 f(2 019)g(2 019)g(8)f(8). 解题技巧：（由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法） 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和
7、幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数. 跟踪训练一跟踪训练一 1. 当 a1 时,有下列结论: 指数函数 y=ax,当 a 越大时,其函数值的增长越快;指数函数 y=ax,当 a 越小时,其函数值的增长越快;对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.其中正确的结论是( ) A. B. C. D. 【答案】B 2.已知函数 y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当 2xy2y3 B.y2y1y3 C.y1y3y2 D.y2y3y1 【答案】B
8、 【解析】 在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为 y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故 y2y1y3. 题型二题型二 体会指数函数的增长速度体会指数函数的增长速度 例例 2 2 甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:甲公司:在 10 天内,每天捐款 5 万元给灾区;乙公司:在 10 天内,第 1 天捐款 1 万元,以后每天比前一天多捐款 1 万元;丙公司:在 10 天内,第 1 天捐款 0.1 万元,以后每天捐款都比前一天翻一番. 你觉得哪个公司捐款最多? 【答案】丙公司捐款最多,为 102.3 万元
9、. 【解析】三个公司在 10 天内捐款情况如下表所示. 由上表可以看出,丙公司捐款最多,为 102.3 万元. 解题技巧： （指数函数的增长速度的实际应用） 解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异,需注意幂函数的增长是介于两者之间的. 跟踪训练二跟踪训练二 1.某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资的函数模型为 y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为 y=k2x(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图,图所示. (1)分别求出 A,B 两种产品的利润与投资的函数关系式; 公司捐款数量/万元 时间 甲 乙 丙 第 1 天 5 1
10、 0.1 第 2 天 5 2 0.2 第 3 天 5 3 0.4 第 4 天 5 4 0.8 第 5 天 5 5 1.6 第 6 天 5 6 3.2 第 7 天 5 7 6.4 第 8 天 5 8 12.8 第 9 天 5 9 25.6 第 10 天 5 10 51.2 总计 50 55 102.3 (2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元) 【答案】(1)A:y=12x(x0),B:y=54(x0). (2)投资 A 产品 844 万元,投资 B 产品 156 万元时,总利润最大,最
11、大值约为 578 万元. 【解析】(1)A:y=k1x 过点(1,0.5),k1=12. B:y=k2x过点(4,2.5),(9,3.75), 24= 2.5,29= 3.75. 2=54, =12. A:y=12x(x0),B:y=54(x0). (2)设投资 B 产品 x(百万元),则投资 A 产品(10-x)(百万元), 总利润 y=12(10-x)+54=-12(-54)2+18532(0 x10). 所以当=1.25,x=1.562 51.56 时,ymax5.78. 故投资 A 产品 844 万元,投资 B 产品 156 万元时,总利润最大,最大值约为 578 万元. 五、课堂小结五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计六、板书设计 七、作业七、作业 课本 140 页习题 4.4 本节课通过数形结合研究不同函数增长的差异,借助结论解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养. 4.4.3 不同函数增长的差异 1.三种函数模型的性质 例 1 例 2 2.三种函数的增长速度比较
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