1、凉山州凉山州 2022 届高中毕业班第一次诊断性检测数学届高中毕业班第一次诊断性检测数学试卷试卷（理科）（理科） 第第 I 卷（选择题，共卷（选择题，共 60 分）分） 一一 选择题选择题（本大题共（本大题共 12 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的.） 1.已知集合22, 1,1,2 ,2 0ABx xx，则AB（ ） A.1,1,2 B.2, 1,2 C.2,1,2 D.2, 1,1 2.设A，B是两个事件， 且B发生A必定发生，0( )1,0( )1P AP B， 给出下
2、列各式， 其中正确的是 （ ） A.()( )P ABP B B.( )(|)( )P AP B AP B C.(|)1P A B D.()( )P ABP A 3.i为虚数单位，复数2i12iz，复数z的共轭复数为z，则z的虚部为（ ） A.i B.i C.1 D.1 4.某网店对今年 11 月 11 日 9 时到 15 时的销售情况进行统计，销售额频率分布直方图如图所示，已知 11 时到13 时的销售额为 5 万元.则 9 时到 11 时的销售额为（ ） A.1.5 万元 B.2 万元 C.2.5 万元 D.3 万元 5.ABC中，3A，2AC ，3BC ，则ABuuu r在ACuuu r
3、方向上的投影为（ ） A.12 B.12 C.32 D.32 6.设实数x，y满足32 013xyxy，则目标函数2zxy的最大值是（ ） A.1 B.1 C.6 D.6 7.据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y（只)近似满足3log (1)ykx，观测发现第 2 年有越冬白鹭1000 只，估计第 5 年有越冬白鹭（ ）(ln20.7，ln31.1) A.1530 只 B.1630 只 C.1830 只 D.1930 只 8.已知双曲线222:14xyCb的离心率2 33e ，过其焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF交另一条渐近线于N，则MN （ ） A.3 B.2 2
4、C.3 D.2 3 9.如图，A是共享单车前轮外边沿上的一点，前轮半径为0.25m，若单车向右行进7.33m时（车轮无滑动） ，下列描述正确的是（ ）(3.14) A.点A在前轮的左下位置，距离地面约为0.125m B.点A在前轮的右下位置，距离地面约为0.125m C.点A在前轮的左上位置，距离地面约为0.375m D.点A在前轮的右上位置，距离地面约为0.375m 10.正项等比数列na，若51a ，则“公比1q ”是“37aa的最小值为 2”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底
5、面圆内，若正方体的棱长为 2，则半球的表面积为（ ） A.10 B.12 C.15 D.18 12.已知定义在R上的函数( )yf x满足下列三个条件： 当10 x 剟时，1( )2xxf xxee； (1)yf x的图象关于y轴对称； xR ，都有(2)(2)f xfx. 则2( )3f，5( )2f，11()3f的大小关系是（ ） A.2511( )( )()323fff B.2115( )()( )332fff C.5211( )( )()233fff D.5112( )()( )233fff 第第 II 卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分） 二二 填空题填空题（共（共 4
6、小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.72()xx的展开式中x的系数为_. 14.已知ABCV的面积是 3，6 3AB ACuuu v uuu v，则BAuuu r与ACuuu r的夹角_. 15.已知椭圆22221(0)xyabab的两个焦点分别为1F，2F， 离心率22e ， 点P在椭圆上，120PF PFuuu r uuu u r，且12PFF的面积为 1，则右焦点2F的坐标为_. 16.关于函数5( )cos()3sin()(0)66f xxx有如下四个命题： 若( )f x的最小正周期为2，则2； 若2，则( )f x在区间57,66上单调递增； 当(41
7、)()2kxkZ时，( )f x取得极大值； 若( )f x在区间(, )2上恰有一个极值点和一个零点，则322. 其中所有真命题的序号是_. 三三 解答题解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤.共共 70 分）分） 17. （12 分） 已知正项数列na中，11a ，nS和nT分别表示na的前n项和与前n项积， 从2nnSat，(21)nnSt，222nnnT，中选取一个作为条件，解答以下问题（多选不得分）. （1）求数列na的通项公式； （2）求数列2logna的前n项和nH. 18. （12 分） 某数学课题组针对高三学生掌握基本知识点的单
8、位值x和“一诊”基础题目得分值y进行统计分析，所得统计数据如表所示： x 35 55 75 95 y 20 30 35 55 （1）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa； （2） 若15yy，则称y为异常值， 现有 8 名学生的成绩，其中有 3 个异常值，现从 8 个成绩中逐一抽取，每次抽取后不放回，求至多抽取 4 次就能将 3 个异常值全部找出来的概率. （参考公式：1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx， aybx.) 19. （12 分） 如图 1 是ABCV，26ACBC，2ACB，D，E分别是边AC，AB
9、上两点， 且3BCEDuuu vuuu v，将AED沿ED折起使得3ADC，如图 2. （1）证明：图 2 中，AC 平面AED； （2）图 2 中，求二面角CABE的正切值. 20.（12 分）已知抛物线2:2(0)T xpy p，直线1ykx交T于A，B两点，且当1k 时，| 8AB . （1）求p的值； （2） 如图， 抛物线T在A，B两点处的切线分别与y轴交于C，D，AC和BD交于G，0GCGD GEuuu v uuu v uuu v.证明：存在实数入，使得GEABuuu vuuu v. 21.已知函数21( )12xf xeaxx. （1）若( )f x在0,)上单调递增，求a的取值
10、范围； （2）若( )f x在(0,)上存在极值点0 x，证明：01112xaa. 请考生在第请考生在第 22，23 两题中选一题作答注意：只能做所选定的题目两题中选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一个个题目计分，作答时请用题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（10 分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆1C的参数方程为：1 cossinxy ，(为参数） ，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆1C的极坐标方
11、程； （2）椭圆222:162xyC.射线:(0)6OM与圆1C的交点为O，P，与椭圆2C的交点为Q，求线段PQ的长. 23.（10 分）选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数( ) |1|1|f xxx. （1）求不等式( ) 0f x 的解集； （2）若0ab，证明：33( )ababf xba. 参考答案及评分意见参考答案及评分意见 一一 选择题选择题（每小题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1-5ACCBA 6-10BBDDC 11-12DA 二二 填空题填空题（每小题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.280 14.56 15.(1,0) 16.
12、三三 解答题解答题（共（共 70 分）分） 17.解答：解： （1）选作条件解答如下： 2nnSatQ， 当1n 时，112Sat，即112aat，即1at ， 又11121nnatSa ， 当1n 时，111121(21)(21)nnnnnnSaSSaa ， 即122nnnaaa，即12nnaa， 所以，数列na是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 12nna-=. 选作条件解答如下： Q(21)nnSt， 当1n 时，1St，即1at， 又11121nnatS ， 当1n 时，1121nnS， 11(21)(21)nnnnSS， 11222nnnna， 显然当1n 时也满足12nna-=
13、. 选作条件解答如下： Q222nnnT，222nnnT， 当1n 时，2(1)(1)212nnnT， 2221(1)(1)12222nnnnnnnTT，即12nna-=， 显然当1n 时也满足上式，12nna-=. （2）由（1）知：11222loglog 21nnnnaan， 则数列2logna是首项为 0，公差为 1 的等差数列， 所以，数列2logna的前n项和(1)2nn nH. 18.解： （1）由题意可得，35557595654x，20303555354y， 41(3565)(2035)(5565)(3035)(7565)(3535)iiixxyy (9565)(5535)110
14、0 4222221(3565)(5565)(7565)(9565)2000iixx 41421110011200020iiiiixxyybxx 所以121()()110011200002()niiiniixxyybxx， 则1133565204aybx ， 所以y关于x的线性回归方程为113240yx； （2）恰好 3 此就能将 3 个异常值找出的概率为33138156APA， 恰好 4 此就能将 3 个异常值找出的概率为113353248356C C APA， 所以，至多抽取 4 次就能将 3 个异常值找出的概率为 12131565614PP. 19.解： （1）由已知得： ,DEAD DE
15、AC ,ADDCDDEQ平面ADC， 又AC 平面ADCDEAC 在ADCV中，2,4,3ADDCADC 由余弦定理得： 2 3AC 222ACADDC，即ACAD ADDEDQAC平面AED （2）由（1）知：DE 平面ADC 所以，建立如图所示的空间直角坐标系， 则1,0, 3 ,4, 3,0 ,4,0,0ABC， 0,0,0 ,0, 1,0DE 所以，3, 3,3 ,0,3,0 ,4,2,0ABBCBE uuu ruuu ruuu r 设平面ABC的法向量为111,nx y zr， 平面ABE的法向量为222,mx y zr， 则00AB nBC nuuu rruuu rr与00AB m
16、BE muuu rruuu rr， 即1111333030 xyzy与222223330420 xyzxy 1,0, 3 ,1,2,3nmrr 22cos,42 2 2n mn mn m r rr rr r 所以，二面角CABE的正切值为7. 20.（1）解：将1yx代入22(0)xpy p得：2220 xpxp， 设1(A x，12) (y B x，2)y，则1x，2x为方程的两个根， 则因为2480pp，122xxp，122x xp ， 则2221121 222 ()42 488ABxxxxx xpp， 解得2p 或4p （舍)，所以2p ， （2）将1ykx代入24xy中得：2440 x
17、kx， 设2( ,)4aA a，2( ,)4bB b， 则Q216160k， 所以4abk ，4(*)ab ， 对214yx，求导得12yx ， 则T在点A处的切线方程为：2()42aayxa， 即224aayx， 同理T在B处的切线方程为：224bbyx， 联立得24abxaby， 由(*)式得2xk，1y ， 所以G点的坐标为(2 , 1)k ， 当0k ，即切线AC与BD交于y轴上一点(0, 1)， 此时,C D G重合，由00GCGD GEGE uuu ruuu ruuu ruuu rrr，又0AB uuu rr 存在0，使得GEABuuu vuuu v成立， 当0k 时，切线AC与y
18、轴交于点2(0,)4aC， 切线BD与y轴交于点2(0,)4bD， 由2222()()2()442128abababk ， 得C，D的中点2(0, 21)Mk， 由0GCGD GEruuu v uuu v uuu v，得()2GEGCGDGM uuu vuuu vuuu vuuuu v， 即/GEGMuuu vuuuu v，又21 ( 21)20GMkkkk ， 所以/GMAB，所以/GMABuuuu ruuu r，又0AB uuu rr， 所以存在实数使得GEABuuu vuuu v成立， 综上：命题成立. 21.解： （1）由题得( )e1xfxax， ( )f xQ在0，)上为单调递增的
19、函数， ( ) 0fx 在0，)上恒成立， 设( )e1( )exxg xaxg xa ， 当1a时，由0 x，得e0 xa， ( )g x在0，)上为增函数， 则( )(0)0g xg， ( ) 0fx 在0，)上恒成立 1a ，满足命题， 当1a 时，由( )0g x，得lnxa， ( )g x在(0,ln )a上为减函数， (0)0gQ，(0,ln )xa 时，( )(0)g xg，即( )0fx， 不满足( ) 0fx恒成立， 1a 不成立， 综上：a的取值范围为(,1. （2）证明：由（1）可知， f x在0,存在极值点0 x，则1a 且00fx即：00000e1e100 xxaxa
20、xx 要证012xa 只需证000e112xxx 即证02001e102xxx 又由（1）可知 21e12xf xxx 在0,上为增函数，且 02000010e1002xxf xxxf 012xa 成立. 要证0112xa 只需证000102e1xxx 000,10 xxe Q 即证：0002 e20 xxx 设 2 e2(0)xh xxxx 1 e1xh xx则 xhxxe 00 xhx Q 即 h x在0,上为增函数 00h xh h x在0,为增函数 00002 e200 xh xxxh成立. 综上，01112xaa成立. 22.（1）由1 cossinxy 得1cossinxy 则2222(1)cossin1xy， 即2220 xyx将cossinxy代入， 得2cos （2）设12,OPOQ， 将22162xy化为极坐标方程为22612sin 代入6，解得12 把6代入2cos，得23 1223PQ 23.解（1） 0f x 等价于 1111110110110 xxxxxxxxx 或或 解得，01x或1x 综上，不等式得解集为0, （2） 11112f xxxxx Q 当且仅当1x时取“=”号 f x得最大值为 2 02ababf xab Q又3300,0ababba Q 333322abababbaba 当且仅当ab时等号成立 33ababf xba成立.
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