1、1 章末综合测评章末综合测评(三三) 函数的概念与性质函数的概念与性质 (满分：150 分 时间：120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) Ayx1 和 yx21x1 Byx0和 y1 Cf(x)x2和 g(x)(x1)2 Df(x) x2x和 g(x)x x2 D A、B 中两函数的定义域不同；C 中两函数的解析式不同 2函数 f(x) 1x1x的定义域是( ) A1，) B(，0)(0，) C1,0)(0，) DR C 要使函数有意义，需满足 1x0，x0，
2、即 x1 且 x0. 3已知 f(x) 3x1， x1，x23， x1，则 f(3)( ) A7 B2 C10 D12 D 31， f(3)32312. 4已知 f(x)x32x，则 f(a)f(a)( ) A0 B1 C1 D2 A f(x)x32x 是 R 上的奇函数，故 f(a)f(a)，f(a)f(a)0. 2 5下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( ) Ayx1 Byx3 Cy1x Dyx4 B 对于 A，yx1 为其定义域上的增函数，但不是奇函数，排除 A；对于 C，y1x为奇函数，但只在(，0)和(0，)上分别为增函数，不是整个定义域上的增函数，排除 C；对于 D，y
3、x4为偶函数，排除 D，选 B. 6已知函数 f(x)x24x，x1,5，则函数 f(x)的值域是( ) A4，) B3,5 C4,5 D(4,5 C 由 f(x)x24x(x2)24， 当 x2 时，f(x)取到最小值4， 当 x5 时，f(x)取得最大值 5， 故值域为4,5 7函数 f(x)ax3bx4(a，b 不为零)，且 f(5)10，则 f(5)等于( ) A10 B2 C6 D14 B f(5)125a5b410， 125a5b6， f(5)125a5b4 (125a5b)4 642. 8已知函数 f(x) x24x，x0，4xx2，xf(a)，则实数 a 的取值范围是( ) A
4、(，1)(2，) B(1,2) C(2,1) D(，2)(1，) C f(x) x24x，x0，4xx2，xf(a)，得 a2a20，解得2a1. 9函数 y3x 2x1(x2)的值域是( ) A.43， B6 3，) C6，) D 3，) B y3x 2x1在2，)上是增函数， ymin32 221 6 3. y3x 2x1(x2)的值域为6 3，) 10 已知二次函数 yx22ax1 在区间(2,3)内是单调函数， 则实数 a 的取值范围是( ) Aa2 或 a3 B2a3 Ca3 或 a2 D3a2 A yx22ax1(xa)21a2， 由已知得，a2 或 a3. 11如果函数 f(x)
5、x2bxc 对于任意实数 t 都有 f(2t)f(2t)，那么( ) Af(2)f(1)f(4) Bf(1)f(2)f(4) Cf(4)f(2)f(1) Df(2)f(4)f(1) A 由 f(2t)f(2t)，可知抛物线的对称轴是直线 x2，再由二次函数的单调性，可得f(2)f(1)0)在区间8,8上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4等于( ) A6 B6 C8 D8 C 由 f(x4)f(x)f(4x)f(x)函数图象关于直线 x2 对称又函数 f(x)在0,2上是增函数， 且为奇函数， 故 f(0)0， 故函数 f(x)在(0,2上大于 0.根据对称性知函数 f
6、(x)在2,4)上大于 0，同理推知 f(x)在(4,8)上小于 0，故在区间(0,8)上方程 f(x)m(m0)的两根关于直线 x2 对称，故此两根之和等于 4.f(6x)f(x2)4f(x2)f(x2)4f(x2)f(6x)4f(6x)f(6x) f(x)关于直线 x6 对称此两根之和等于12.综上，四个根之和等于8. 4 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13已知函数 f(x) 2x1，x0，fx2，x0，则 f(3)_. 3 30，f(1)2113， f(3)3. 14已知 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f1xf(1)的实数 x
7、的取值范围为_ (，0)(1，) f(x)在 R 上是减函数， 1x1 或 x0. 15已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式是_ f(x) x1，1x0，b3， a1，b3， ab4. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)已知直角三角形 ABC 的面积是 y，ABAC 且|AB|x1，|AC|x1，求 y 关于 x 的函数解析式，并求出函数的定义域 解 由于ABC 是直角三角形， 则有 y12|AB| |AC|12(x1)(x1)12x212， 由题意得 |AB|x10，|AC|x10，解得 x
8、1. 所以函数的定义域是(1，) 5 18(本小题满分 12 分)若 f(x)对 xR 恒有 2f(x)f(x)3x1，求 f(x) 解 2f(x)f(x)3x1， 将中的 x 换为x，得 2f(x)f(x)3x1， 联立，得 2fxfx3x1，2fxfx3x1， 把 f(x)与 f(x)看成未知数解得 f(x)x1. 19(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)|x1|x1|(xR)， (1)证明：函数 f(x)是偶函数； (2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象； (3)写出函数的值域 解 (1)由于函数定义域是 R，且 f(x)|x1|x1|x1|x1
9、|f(x) f(x)是偶函数 (2)f(x) 2x，x1， 图象如图所示： (3)由函数图象知，函数的值域为2，) 20(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)2x1x1. (1)判断函数在区间1，)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间1,4上的最大值与最小值 解 (1)f(x)在1，)上是增函数证明如下：任取 x1，x21，)，且 x1x2， f(x1)f(x2)2x11x112x21x21 x1x2x11x21. x1x20， 6 所以 f(x1)f(x2)0， f(x1)0，且满足条件 f(4)1.对任意的 x1，x2U，有 f(x1 x2)f(x1)f(x2)，且
10、当 x1x2时，有fx2fx1x2x10. (1)求 f(1)的值； (2)如果 f(x6)f(x)2，求 x 的取值范围 解 (1)因为对任意的 x1，x2U，有 f(x1 x2)f(x1)f(x2)， 7 所以令 x1x21，得 f(11)f(1)f(1)2f(1)，所以 f(1)0. (2)设 0 x10. 又因为当 x1x2时，fx2fx1x2x10， 所以 f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)， 所以 f(x)在定义域内为增函数 令 x1x24，得 f(44)f(4)f(4)112， 即 f(16)2. 当 x60，x0，即 x0 时， 原不等式可化为 fx(x6)f(16) 又因为 f(x)在定义域上为增函数， 所以 x(x6)16，解得 x2 或 x0，所以 x2. 所以 x 的取值范围为(2，)
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