1、1 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 课时分层作业课时分层作业 (建议用时:60 分钟) 合格基础练 一、选择题 1函数 f(x)cos2x4,xR,则 f(x)( ) A是奇函数 B是偶函数 C既是奇函数,也是偶函数 D既不是奇函数,也不是偶函数 D 原式121cos2x2 12(1sin 2x) 1212sin 2x, 此函数既不是奇函数也不是偶函数 2已知cos 1sin 3,则cos sin 1的值为( ) A.33 B33 C. 3 D 3 B cos 1sin cos sin 1cos2sin211sin2sin211 且cos 1sin 3,cos sin 133. 3在AB
2、C 中,若 cos A13,则 sin2BC2cos 2A( ) A19 B.19 C13 D.13 2 A sin2BC2cos 2A 1cosBC22cos2A1 1cos A22cos2A1 19. 4已知 tan 234,2,2,函数 f(x)sin(x)sin(x)2sin ,且对任意的实数 x,不等式 f(x)0 恒成立,则 sin4的值为( ) A2 55 B55 C2 35 D35 A 由 tan 234,即2tan 1tan234,得 tan 13或 tan 3.又 f(x)sin(x)sin(x)2tan 2cos xsin 2sin 0恒成立, 所以sin 0, tan
3、3, sin 310, cos 110,所以 sin4sin cos4cos sin42 55,故选 A. 5已知 f(x)2sin2x2sin xcos x,则 f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为( ) A2,38,78 B,38,78 C2,8,38 D,8,38 B f(x)1cos 2xsin 2x 1 2sin2x4, f(x)的最小正周期 T22, 由22k2x4322k, 得 f(x)的单调减区间为 38kx78k,kZ, 3 当 k0 时,得 f(x)的一个单调减区间38,78,故选 B. 二、填空题 6有以下四个关于三角函数的命题: x0R, sin2x02cos2x
4、0212; x0, y0R, sin(x0y0)sin x0sin y0; x0, ,1cos 2x2sin x;sin xcos yxy2. 其中假命题的序号为_ 因为 sin2x2cos2x2112, 所以为假命题; 当 xy0 时, sin(xy)sin xsin y,所以为真命题;因为1cos 2x2112sin2x2|sin x|sin x,x0,所以为真命题;当 x2,y2 时,sin xcos y,但 xy2,所以为假命题 7化简下列各式: (1)42,则 1sin 2_. (2) 为第三象限角,则1cos 2cos 1cos 2sin _. (1)sin cos (2)0 (1
5、)4,2,sin cos , 1sin 2 12sin cos sin22sin cos cos2 sin cos 2sin cos . (2) 为第三象限角,cos 0,sin 0, 1cos 2cos 1cos 2sin 2cos2cos 2sin2sin 2cos cos 2sin sin 0. 8函数 f(x)cos 2x4sin x 的值域是_ 5,3 f(x)cos 2x4sin x12sin2x4sin x2(sin x1)23. 当 sin x1 时,f(x)取得最大值 3, 当 sin x1 时,f(x)取得最小值5, 4 所以函数 f(x)的值域为5,3 三、解答题 9求证
6、:tan3x2tanx22sin xcos xcos 2x. 证明 法一:(由左推右)tan3x2tanx2 sin3x2cos3x2sinx2cosx2 sin3x2cosx2cos3x2sinx2cos3x2cosx2 sin3x2x2cos3x2cosx2 sin xcos3x2cosx2 2sin xcos3x2x2cos3x2x2 2sin xcos xcos 2x. 法二:(由右推左)2sin xcos xcos 2x 2sin3x2x2cos3x2x2cos3x2x2 2sin3x2cosx2cos3x2sinx22cos3x2cosx2 sin3x2cos3x2sinx2cos
7、x2tan3x2tanx2. 5 10已知函数 f(x)2cos2x2,g(x)sinx2cosx22. (1)求证:f2x g(x); (2)求函数 h(x)f(x)g(x)(x0,的单调区间,并求使 h(x)取到最小值时 x 的值 解 (1)证明过程如下:f(x)2cos2x21cos x, g(x)sinx2cosx22 12sinx2cosx2 1sin x, f2x 1cos2x 1sin x, f2x g(x),命题得证 (2)函数 h(x)f(x)g(x)cos xsin x 222cos x22sin x 2cosx4, x0, 4x454, 当4x4,即 0 x34时,h(x
8、)递减, 当 x454,即34x 时,h(x)递增 函数 h(x)的单调递减区间为0,34, 单调递增区间为34, , 根据函数 h(x)的单调性,可知当 x34时,函数 h(x)取到最小值 等级过关练 6 1设 a12cos 7 32sin 7 ,b2tan 191tan219,c1cos 722,则有( ) Abac Babc Cacb Dcba A asin 37 ,btan 38 , csin 36 , bac. 2设 0,2,0,2,且sin cos cos 1sin ,则( ) A22 B22 C22 D22 B 由题意得 sin sin sin cos cos , sin cos
9、(), cos2 cos() 20,2,2,2, 2 或20(舍去), 22. 3若函数 f(x)(1 3tan x)cos x,0 x2,则 f(x)的最大值是( ) A1 B2 C. 31 D. 32 B f(x)(1 3tan x)cos x 1 3sin xcos xcos x 3sin xcos x 2sinx6. 0 x2, 7 6x623, 当 x62时, f(x)取到最大值 2. 4若 是第二象限角,且 25sin2 sin 240,则 cos 2_. 35 由 25sin2 sin 240, 又 是第二象限角, 得 sin 2425或 sin 1(舍去) 故 cos 1sin
10、2 725, 由 cos2 21cos 2得 cos2 2925. 又2是第一、三象限角, 所以 cos 235. 5如图所示,在直角坐标系 xOy 中,点 P 是单位圆上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线与射线 y 3x(x0)交于点 Q,与 x 轴交于点 M.记MOP,且 2,2. (1)若 sin 13,求 cosPOQ; (2)求OPQ 面积的最大值 解 (1)由题意知QOM3,因为 sin 13, 且 2,2,所以 cos 2 23, 所以 cosPOQcos3 cos3cos sin3sin 2 2 36. (2)由三角函数定义,得 P(cos ,sin ), 从而 Q(cos , 3cos ), 8 所以 SPOQ12|cos | 3cos sin | 12| 3cos2sin cos | 12323cos 2212sin 2 1232sin32 12321 3412. 因为 2,2, 所以当 12时,等号成立, 所以OPQ 面积的最大值为3412.