1、1 第第 2 课时课时 一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点). 2.理解三个“二次”之间的关系. 3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点). 1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养. 2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养. 1分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 axbcxd0(0) (其中 a，b，c，d 为常数) 法一： axb00cxd0或 axb00cxd0 法二： (axb)(cxd)0(0) axbcxd0(0) 法一： axb0
2、0axd0或 axb00cxd0 法二： axbcxd00cxd0 axbcxdk0 与(x3)(x2)0 等价吗？将x3x20 变形为(x3)(x2)0， 有什么好处？ 提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式 2 2(1)不等式的解集为 R(或恒成立)的条件 不等式 ax2bxc0 ax2bxc0 b0，c00 a00 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 yax2bxc 若 ax2bxck 恒成立ymaxk 若 ax2bxck 恒成立ymink 3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量
3、和未知量，找准不等关系 (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系) (3)解不等式(或求函数最值) (4)回扣实际问题 思考 2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？ 提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为 x，用 x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解 1若集合 Ax|12x13，Bx x2x0，则 AB 等于( ) Ax|1x0 Bx|0 x1 Cx|0 x2 Dx|0 x1 B Ax|1x1，Bx|0 x2，ABx|0 x1 2不等式x1x5 的解集是_ x 0 x14 原不等式x1x5xx4x1
4、x0 x4x10，x0，解得 00，y0， x40，y40，xy300， 整理得yx40， 将y40 x代入xy300， 整理得x240 x3000， 解得10 x30. 分式不等式的解法 【例 1】 解下列不等式： (1)x3x20； (2)x12x31. 解 (1)x3x20(x3)(x2)02x3， 原不等式的解集为x|2x3 (2)x12x31， x12x310， x42x30， 即x4x320. 此不等式等价于(x4)x320 且 x320， 解得 x32或 x4， 原不等式的解集为x x32或x4. 1 对于比较简单的分式不等式， 可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，
5、4 但要注意分母不为零 2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解 1解下列不等式：(1)x1x30；(2)5x1x13. 即知原不等式的解集为x|x1 或 x3 (2)不等式5x1x13 可改写为5x1x130， 即2x1x10. 可将这个不等式转化成 2(x1)(x1)0， 解得1x1. 所以，原不等式的解集为x|1x1 一元二次不等式的应用 【例 2】 国家原计划以 2 400 元/吨的价格收购某种农产品 m 吨按规定，农户向国家纳税为：每收入 100 元纳税 8 元(称作税率为 8 个百分点，即 8%)为了减轻
6、农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律，税率降低 x 个百分点，收购量能增加 2x 个百分点试确定 x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的 78%. 思路点拨 将文字语言转换成数学语言：“税率降低 x 个百分点”即调节后税率为(8x)%；“收购量能增加 2x 个百分点”，此时总收购量为 m(12x%)吨，“原计划的 78%”即为2 400m8%78%. 解 设税率调低后“税收总收入”为 y 元 y2 400m(12x%) (8x)% 1225m(x242x400)(0 x8) 依题意，得 y2 400m8%78%， 5 即1225m(x242x400)2 400m8%78%
7、， 整理，得 x242x880，解得44x2. 根据 x 的实际意义，知 x 的范围为 0 x2. 求解一元二次不等式应用问题的步骤 2某校园内有一块长为 800 m，宽为 600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围 解 设花卉带的宽度为 x m(0 x600)，则中间草坪的长为(8002x)m，宽为(6002x)m.根据题意可得(8002x)(6002x)12800600， 整理得 x2700 x6001000， 即(x600)(x100)0，所以 00 恒成立，如何求实数 a 的取值
8、范围？ 提示：若 a0，显然 y0 不能对一切 xR 都成立所以 a0，此时只有二次函数 yax22x2 的图象与直角坐标系中的 x 轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则 a0，48a12. 2若函数 yx2ax3 对3x1 上恒有 x2ax30 成立，如何求 a 的范围？ 6 提示：要使 x2ax30 在3x1 上恒成立，则必使函数 yx2ax3 在3x1 上的图象在 x 轴的下方，由 y 的图象可知，此时 a 应满足 323a30，12a30，即 3a60，a20， 解得 a2. 故当 a2 时，有 f(x)0 在3x1 上恒成立 3若函数 yx22(a2)x4 对任意3a1 时，y
9、0 恒成立，如何求 x 的取值范围？ 提示： 由于本题中已知 a 的取值范围求 x， 所以我们可以把函数 f(x)转化为关于自变量是 a的函数，求参数 x 的取值问题，则令 y2x ax24x4. 要使对任意3a1，y0 恒成立，只需满足 2xx24x4032xx24x40， 即 x22x40，x210 x40. 因为 x22x40 的解集是空集， 所以不存在实数 x，使函数 yx22(a2)x4 对任意3a1，y0 恒成立 【例 3】 已知 yx2ax3a，若2x2，x2ax3a0 恒成立，求 a 的取值范围 思路点拨 对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图
10、象与性质求解 解 设函数 yx2ax3a 在2x2 时的最小值为关于 a 的一次函数，设为 g(a)，则 (1)当对称轴 xa24 时， g(a)(2)2(2)a3a73a0， 解得 a73，与 a4 矛盾，不符合题意 (2)当2a22， 即4a4 时， g(a)3aa240， 解得6a2， 此时4a2. (3)当a22，即 a4 时，g(a)222a3a7a0，解得 a7，此时7a4. 综上，a 的取值范围为7a2. 7 1(变结论)本例条件不变，若 yx2ax3a2 恒成立，求 a 的取值范围 解 若2x2，x2ax3a2 恒成立可转化为： 当2x2 时，ymin2 a22，ymin222
11、a3a7a2， 解得 a 的取值范围为5x22 2. 2(变条件)将例题中的条件“yx2ax3a，2x2，y0 恒成立”变为“不等式x22xa230 的解集为 R”，求 a 的取值范围 解 法一：不等式 x22xa230 的解集为 R， 函数 yx22xa23 的图象应在 x 轴上方， 44(a23)2 或 a0 的解集为 R，则 a 满足 ymina240，解得 a2 或 a0，得 a2x22x3， 即 a2(x1)24，要使该不等式在 R 上恒成立，必须使 a2大于(x1)24 的最大值，即 a24，故 a2 或 a0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a0 时，b0，c0； 当 a
12、0 时， a0，0. 2不等式 ax2bxc0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a0 时，b0，c0； 8 当 a0 时， a0，f(x)恒成立af(x)max；(2)若 f(x)有最小值 f(x)min，则 af(x)恒成立a1 的解集为 xax2bxc(a0)恒成立时，可转化为求解 yax2bxc 的最小值，从而求出m 的范围( ) 提示 (1)1x11x10 x1x0 x|0 xax2bxc(a0)恒成立转化为 mymax，故(2)错 答案 (1) (2) 2不等式x1x22x3x40 的解集为_ x|4x1 原式可转化为(x1)(x2)2(x3)(x4)0， 根据数轴穿根法，解
13、集为4x1. 9 3对于任意实数 x，不等式(a2)x22(a2)x40 恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 2a2 当 a20，即 a2 时，40 恒成立； 当 a20，即 a2 时，则有 a20，2a224a240， 解得2a2.综上，实数 a 的取值范围是2a2. 4某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30 盏；若售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 盏为了使这批台灯每天能获得 400 元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？ 解 设每盏台灯售价 x 元，则 x15，并且日销售收入为 x302(x15)，由题意知，当 x15 时，有 x302(x15)400，解得：15x20. 所以为了使这批台灯每天获得 400 元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为15x20.
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