1、1 第第 2 课时课时 分段函数分段函数 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象(重点，难点) 2能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题(重点、难点) 3通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力(重点) 1.通过分段函数求值问题培养数学运算素养 2利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养 分段函数 如果函数 yf(x)，xA，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数 思考：分段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数，而不是几个函
2、数 1下列给出的式子是分段函数的是( ) f(x) x21，1x5，2x，x1. f(x) x1，xR，x2，x2. f(x) 2x3，1x5，x2，x1. f(x) x23，x1，则 f(f(4)_. 0 f(4)431，f(1)110， f(f(4)f(1)0. 分段函数的求值问题 【例 1】 已知函数 f(x) x1，x2，x22x，2x2，2x1，x2. (1)求 f(5)，f( 3)，ff52的值； (2)若 f(a)3，求实数 a 的值 解 (1)由5(，2， 3(2,2)，52(，2，知 f(5)514， f( 3)( 3)22( 3)32 3. f5252132， 而2322，
3、不合题意，舍去 当2a2 时，a22a3， 3 即 a22a30. (a1)(a3)0， 解得 a1 或 a3. 1(2,2)，3(2,2)， a1 符合题意 当 a2 时，2a13，即 a2 符合题意 综上可得，当 f(a)3 时，a1 或 a2. 1分段函数求函数值的方法： (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间 (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现 f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值 2已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论 (2)然后代入不同的解析式中 (3)通过解方程求出字母的值 (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内 提醒：求某条件下自变
4、量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验 1函数 f(x) x3，x10，ffx5，x10，则 f(7)_. 8 函数 f(x) x3，x10，ffx5，x10， f(7)f(f(12)f(9)f(f(14)f(11)8. 分段函数的解析式 【例 2】 如图所示，已知底角为 45 的等腰梯形 ABCD，底边 BC 长为 7 cm，腰长为 2 2 cm，当垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右4 移动(与梯形 ABCD 有公共点)时，直线 l 把梯形分成两部分，令 BFx，试写出左边部分的面积 y 关于 x 的函数解析式，并画出大致图象
5、 思路点拨 可按点 E 所在的位置分 E 在线段 AB， E 在线段 AD 及 E 在线段 CD 三类分别求解 解 过点 A，D 分别作 AGBC，DHBC，垂足分别是 G，H. 因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45 ，AB2 2 cm， 所以 BGAGDHHC2 cm， 又 BC7 cm，所以 ADGH3 cm. (1)当点 F 在 BG 上，即 x0,2时，y12x2； (2)当点 F 在 GH 上，即 x(2,5时，yxx2222x2； (3)当点 F 在 HC 上，即 x(5,7时，yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF12(73)212(7x)2 12(x7)210
6、. 综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为 y 12x2，x0，2，2x2，x2，5，12x7210，x5，7. 图象如图所示 1当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画 5 2通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养 2某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 公里以内(含 5 公里)，票价 2 元； (2)5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元(不足 5 公里按照 5 公里计算) 如果某条线路的总里程为 20 公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，
7、并画出函数的图象 解 设票价为 y 元，里程为 x 公里，定义域为(0,20 由题意得函数的解析式如下： y 2，0 x5，3，5x10，4，10 x15，5，15x20. 函数图象如图所示： 分段函数的图象及应用 探究问题 1函数 f(x)|x2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？ 提示：能f(x) x2，x2，2x，x2. 函数 f(x)的图象如图所示 2结合探究点 1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？ 6 提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象 【例 3】 已知函数 f(x)1|x|x2(2
8、x2) (1)用分段函数的形式表示 f(x)； (2)画出 f(x)的图象； (3)写出函数 f(x)的值域 思路点拨 (1)分2x0 和 0 x2 两种情况讨论，去掉绝对值可把 f(x)写成分段函数的形式； (2)利用(1)的结论可画出图象； (3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域 解 (1)当 0 x2 时，f(x)1xx21， 当2x0 时， f(x)1xx21x， f(x) 1，0 x2，1x，2x0. (2)函数 f(x)的图象如图所示 (3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3) 把本例条件改为“f(x)|x|2”，再求本例的 3 个问题 解
9、 (1)f(x)|x|2 x2，x0，x2，x1是分段函数( ) 答案 (1) (2) 2设函数 f(x) x21，x1，2x，x1，则 f(f(3)( ) A.15 B3 C.23 D.139 8 D f(3)231， f(f(3)2321139. 3函数 yf(x)的图象如图所示，则其解析式为_ f(x) 2x，0 x1，2，1x2，3，x2 当 0 x1 时， 设 f(x)kx， 又过点(1,2)， 故 k2， f(x)2x； 当 1x2 时，f(x)2；当 x2 时，f(x)3. 综上 f(x) 2x，0 x1，2，1x1或x1 或 x1 时，f(x)1， 所以 f(x)的值域为0,1
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