5.3诱导公式（第2课时）公式五和公式六 学案（含答案）

1、1 第第 2 课时课时 公式五和公式六公式五和公式六 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解公式五和公式六的推导方法 2能够准确记忆公式五和公式六(重点、易混点) 3灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明(难点) 1.借助诱导公式求值，培养数学运算素养 2通过诱导公式进行化简和证明，提示逻辑推理素养. 1公式五 (1)角2 与角 的终边关于直线 yx 对称，如图所示 (2)公式：sin2 cos_， cos2 sin_. 2公式六 (1)公式五与公式六中角的联系22 . (2)公式：sin2 cos_， cos2 sin_. 思考：如何由公式四及公式五推导公式六？ 提示：sin2

2、sin2 sin2 cos . cos2 cos2 cos2 sin . 1下列与 sin 的值相等的是( ) 2 Asin() Bsin2 Ccos2 Dcos2 C sin()sin ；sin2 cos ； cos2 sin ；cos2 sin . 2已知 sin 19 55m，则 cos(70 5)_. m cos(70 5)cos 70 5cos(90 19 55) sin 19 55m. 3计算：sin211 sin279 _. 1 因为 11 79 90 ，所以 sin 79 cos 11 ， 所以原式sin211 cos211 1. 4化简 sin32 _. cos sin32

3、sin2 sin2 cos . 利用诱导公式化简求值 【例 1】 (1)已知 cos 31 m，则 sin 239 tan 149 的值是( ) A.1m2m B.1m2 C1m2m D 1m2 (2)已知 sin3 12，则 cos6 的值为_ 思路点拨 (1)239 180 59149 180 3159 31 90选择公式化简求值 3 (2)3 6 2 选择公式化简求值 (1)B (2)12 (1)sin 239 tan 149 sin(180 59 ) tan(180 31 )sin 59 (tan 31 ) sin(90 31 ) (tan 31 ) cos 31 (tan 31 )s

4、in 31 1cos231 1m2. (2)cos6 cos23 sin3 12. 1将例 1(2)的条件中的“3”改为“3”，求 cos56 的值 解 cos56 cos23 sin3 12. 2将例 1(2)增加条件“ 是第二象限角”，求 sin76 的值 解 因为 是第二象限角，所以 是第三象限角， 又 sin3 12，所以3 是第二象限角， 所以 cos3 32， 所以 sin76 sin6 sin6 cos3 32. 解决化简求值问题的策略： 1首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. 2可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式

5、转化. 提醒：常见的互余关系有：3 与6，4 与4 等； 4 常见的互补关系有：3 与23，4 与34 等. 利用诱导公式证明恒等式 【例 2】 (1)求证： sin cos sin cos 2sin32cos2112sin2. (2)求证：cos6sin2tan2cos32 sin32tan . 证明 (1)右边2sin32 sin 112sin2 2sin2 sin 112sin2 2sin2 sin 112sin2 2cos sin 1cos2sin22sin2sin cos 2sin2cos2 sin cos sin cos 左边， 所以原等式成立 (2)左边cos sintancos

6、2 sin2 cos sin tan sin cos tan 右边， 所以原等式成立 三角恒等式的证明的策略 1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. 5 2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法. 1求证：cos52xsinx52tan6x1. 证明 因为cos52xsinx52tan6x cos22xsinx22 tanx cos2xsinx2tan xsin xcos xtan x1 右边，所以原等式成立 诱导公式的综合应用 探究问题 1公式一四和公式五六的主要区别是什么？ 提示：公式一四中函数名称不变，

7、公式五六中函数名称改变 2如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？ 提示：“奇变偶不变、符号看象限” 【例 3】 已知 sin 是方程 5x27x60 的根， 是第三象限角，求sin32 cos32cos2 sin2 tan2()的值 思路点拨 解方程并根据sin 的取值范围确定sin 的值 由同角三角函数关系式求cos ，tan 用诱导公式化简 求值 6 解 方程 5x27x60 的两根为 x135，x22，因为1sin 1，所以 sin 35. 又 是第三象限角， 所以 cos 45，tan sin cos 34， 所以sin32 cos32cos2 sin2 tan2() s

8、in2 cos2sin cos tan2 cos sin sin cos tan2 tan2916. 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：化大为小；看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系. 二看函数名称：一般是弦切互化. 三看式子结构： 通过分析式子， 选择合适的方法， 如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 2已知 sin2 cos52 60169，且42，求 sin 与 cos 的值 解 sin2 cos ， cos52 cos22 sin ， sin cos 60169， 即 2sin cos 120169. 又sin2cos21， 得(sin cos )2289169， 7 得

9、(sin cos )249169. 又4，2，sin cos 0， 即 sin cos 0，sin cos 0， sin cos 1713， sin cos 713， () 2 得 sin 1213，() 2 得 cos 513. 1公式五反映了终边关于直线 yx 对称的角的正、余弦函数值之间的关系，其中角2的正弦(余弦)函数值，等于角 的余弦(正弦)函数值 2由于22 ，因此由公式四及公式五可以得到公式六 3利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化在求任意角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为 02 的范围内的角，再将这个范围内的角转化为锐角也就是“负化正，大化小，化到锐角再

10、查表(特殊角的三角函数值表)” 1思考辨析 (1)公式五和公式六中的角 一定是锐角( ) (2)在ABC 中，sinAB2cosC2.( ) (3)sin2 sin2 cos()cos .( ) 提示 (1)错误公式五和公式六中的角 可以是任意角 (2)正确因为AB2C22，由公式五可知 sinAB2cosC2. (3)正确 答案 (1) (2) (3) 8 2若 sin2 0，则 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三角限角 D第四象限角 B 由于 sin2 cos 0，所以角 的终边落在第二象限，故选 B. 3已知 cos 15，且 为第四象限角，那么 cos2_. 2 65 因为 cos 15，且 为第四象限角， 所以 sin 1cos22 65， 所以 cos2sin 2 65. 4化简：sin2 cos2cossin2cos2sin. 解 原式cos sin cos sinsin sin sin (sin )2sin .