1、1 第第 2 课时课时 单调性与最值单调性与最值 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握 ysin x，ycos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值 (重点、 难点) 2.掌握 ysin x，ycos x 的单调性，并能利用单调性比较大小(重点) 3.会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的单调区间(重点、易混点) 1.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养. 2.结合函数图象，培养直观想象素养. 解析式 ysin x ycos x 图象 值域 1,1 1,1 单调性 在 22k，22k，kZ 上单调递增， 在 22k，322k，kZ 上单调递减 在2k，2k，k
2、Z 上单调递增， 在2k，2k，kZ 上单调递减 最值 x22k， kZ 时， ymax1； x22k，kZ 时，ymin1 x2k，kZ 时，ymax1；x2k，kZ 时，ymin1 思考：ysin x 和 ycos x 在区间(m，n)(其中 0mn2)上都是减函数，你能确定 m的最小值、n 的最大值吗？ 提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知 m2，n. 2 1函数 ycos x 在区间2，2上是( ) A增函数 B减函数 C先减后增函数 D先增后减函数 C 因为 ycos x 在区间2，2上先增后减，所以 ycos x 在区间2，2上先减后增 2函数 ysin x4x56的值域为_ 1
3、2，1 因为4x56，所以12sin x1，即所求的值域为12，1 . 3函数 y2sin x 取得最大值时 x 的取值集合为_ xx2k2，kZ 当 sin x1 时，ymax2(1)3， 此时 x2k2，kZ. 4若 cos xm1 有意义，则 m 的取值范围是_ 0,2 因为1cos x1，要使 cos xm1 有意义， 须有1m11，所以 0m2. 正弦函数、余弦函数的单调性 【例 1】 (1)函数 ycos x 在区间，a上为增函数，则 a 的取值范围是_ (2)已知函数 f(x) 2sin42x 1，求函数 f(x)的单调递增区间 思路点拨 (1)确定 a 的范围ycos x 在区
4、间， a上为增函数ycos x 在区间，0上是增函数，在区间0，上是减函数a 的范围 (2)确定增区间令 u42xy 2sin u 的单调递增区间 (1)(，0 (1)因为 ycos x 在，0上是增函数，在0，上是减函数，所以只有a0 时满足条件，故 a(，0 3 (2)解 令 u42x，函数 y 2sin u 的单调递增区间为22k，22k ，kZ，由22k42x22k，kZ， 得38kx8k，kZ. 所以函数 f(x) 2sin42x 1 的单调递增区间是38k，8k ，kZ. 1求形如 yAsin(x)b 或形如 yAcos(x)b(其中 A0，0，b 为常数)的函数的单调区间，可以借
5、助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得 2具体求解时注意两点：要把 x 看作一个整体，若 0，0 时，将“x”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当 A0 时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间 提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律 1(1)函数 ysin3x6，x3，3的单调递减区间为_ (2)已知函数 ycos32x ，则它的单调减区间为_ (1)3，29，9，3 (2)k6，k23(kZ) (1)由22k3x6322k(kZ)， 得92k3x492k3(kZ) 又 x3，3， 所以函数 ysin3x6， x3，3的单调
6、递减区间为3，29，9，3. (2)ycos32x cos2x3， 4 由 2k2x32k，kZ， 得 k6xk23，kZ，单调递减区间是k6，k23(kZ) 利用三角函数的单调性比较大小 【例 2】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小 (1)sin18与 sin10； (2)sin 196 与 cos 156 ； (3)cos235 与 cos174 . 思路点拨 用诱导公式化简 利用函数的单调性由自变量的大小推出对应函数值的大小 解 (1)210182， sin18sin10. (2)sin 196 sin(180 16 )sin 16 ， cos 156 cos(180 24 )
7、cos 24 sin 66 ， 0 16 66 90 ， sin 16 sin 66 ， 从而sin 16 sin 66 ， 即 sin 196 cos 156 . (3)cos235 cos235 cos435 cos35， cos174 cos174 cos44cos4. 5 0435，且 ycos x 在0，上是减函数， cos35cos4， 即 cos235 cos174 . 三角函数值大小比较的策略 1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到2，2或2，32内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到，0或0，内. 2不同名的函数化为同名的函数. 3自变量不在同一单调区间化至同
8、一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小. 2(1)已知 ， 为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( ) Asin sin Bcos sin Ccos cos Dcos cos (2)比较下列各组数的大小： cos158，cos149；cos 1，sin 1. (1)B ， 为锐角三角形的两个内角，2，2，0，2，20，2， 所以 cos cos2 sin . (2)解 cos158cos8，cos149cos49，因为 0849，而 ycos x 在0，上单调递减， 所以 cos8cos49， 即 cos158cos149. 因为 cos 1sin21 ， 而 02112且
9、ysin x 在0，2上单调递增， 所以 sin216 sin 1， 即 cos 1sin 1. 正弦函数、余弦函数的最值问题 探究问题 1函数 ysinx4在 x0，上最小值是多少？ 提示：因为 x0，所以 x44，54，由正弦函数图象可知函数的最小值为22. 2函数 yAsin xb，xR 的最大值一定是 Ab 吗？ 提示：不是因为 A0 时最大值为 Ab，若 A0 时最大值应为Ab. 【例 3】 (1)函数 ycos2x2sin x2，xR 的值域为_ (2)已知函数 f(x)asin2x3b(a0)当 x0，2时，f(x)的最大值为 3，最小值是2，求 a 和 b 的值 思路点拨 (1
10、)先用平方关系转化，即 cos2x1sin2x，再将 sin x 看作整体，转化为二次函数的值域问题 (2)先由 x0，2求 2x3的取值范围，再求 sin2x 3的取值范围，最后求 f(x)min，f(x)max，列方程组求解 (1)4,0 ycos2x2sin x2 sin2x2sin x1(sin x1)2. 因为1sin x1，所以4y0， 所以函数 ycos2x2sin x2，xR 的值域为4,0 (2)解 0 x2， 32x323， 32sin2x31， f(x)maxab 3， 7 f(x)min32ab2. 由 ab 3，32ab2，得 a2，b2 3. 1求本例(1)中函数取
11、得最小值时 x 的取值集合 解 因为 ycos2x2sin x2sin2x2sin x1(sin x1)2， 所以当 sin x1 时，ymin4， 此时 x 的取值集合为x x2k2，kZ. 2将本例(1)中函数改为 ycos2xsin x，xR 结果又如何？ 解 ycos2xsin x1sin2xsin xsin x12254. 因为1sin x1， 所以1y54， 所以函数 ycos2xsin x，xR 的值域为1，54. 三角函数最值问题的常见类型及求解方法： 1yasin2xbsin xca0，利用换元思想设 tsin x，转化为二次函数 yat2btc求最值，t 的范围需要根据定义
12、域来确定. 2yAsinxb，可先由定义域求得 x 的范围，然后求得 sinx的范围，最后得最值. 1确定三角函数单调区间的方法有多种，如换元法、列表法、图象法等，解题时需适当选取，同时要注意，求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行 2函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域，求三角函数值域的方法很多，如果函数式中含有多个三角函数式，往往要先将函数式进行变形. 8 1思考辨析 (1)ysin x 在(0，)上是增函数( ) (2)cos 1cos 2cos 3.( ) (3)函数 y12sin x，x0，2的最大值为 0.( ) 提示 (1)错误ysin x 在0，2上是增函数，在2，
13、上是减函数 (2)正确ycos x 在(0，)上是减函数，且 0123，所以 cos 1cos 2cos 3. (3)正确函数 y12sin x 在 x0，2上为减函数，故当 x0 时，取最大值 0. 答案 (1) (2) (3) 2y2cos x2的值域是( ) A2,2 B0,2 C2,0 DR A 因为 xR，所以 x20，所以 y2cos x22,2 3sin27_sin158(填“”或“”) sin158sin28sin8， 因为 08272， ysin x 在0，2上是增函数， 所以 sin8sin27， 即 sin27sin158. 4函数 y1sin 2x 的单调递增区间 解 求函数 y1sin 2x 的单调递增区间，转化为求函数 ysin 2x 的单调递减区间， 由22k2x322k，kZ， 得4kx34k，kZ，即函数的单调递增区间是4k，34k (kZ)
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