1、1 第第 5 章章 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用 【例 1】 (1)已知 sin()2cos(3)0，则sin cos sin cos _. (2)已知 f()sin2 cos2 tansin tan3. 化简 f()； 若 f()18，且42，求 cos sin 的值； 若 474，求 f()的值 思路点拨 先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值 2 (1)13 由已知得sin 2cos 0，故 tan 2， 则sin cos sin cos tan 1tan 1212113. (2)解 f()sin2 cos tan sin tan sin cos . 由 f()sin c
2、os 18可知， (cos sin )2cos22sin cos sin2 12sin cos 121834， 又42，cos sin ， 即 cos sin 0， cos sin 32. 474624， f474 cos474 sin474 cos624 sin624 cos4 sin4222212. 1将本例(2)中“18”改为“18”“42”改为“40”求 cos sin . 解 因为40，所以 cos 0，sin 0 且|cos |sin |， 所以 cos sin 0， 又(cos sin )212sin cos 121834，所以 cos sin 32. 2将本例(2)中的用 ta
3、n 表示1fcos2. 解 1fcos21sin cos cos2 3 sin2cos2sin cos cos2tan21tan 1. 1牢记两个基本关系式 sin2cos21 及sin cos tan ，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明在应用中，要注意掌握解题的技巧比如：已知 sin cos 的值，可求 cos sin .注意应用(cos sin )21 2sin cos . 2 诱导公式可概括为 k2 (kZ)的各三角函数值的化简公式 记忆规律是： 奇变偶不变，符号看象限 三角函数的图象变换问题 【例 2】 (1)已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin2x23，则下面
4、结论正确的是( ) A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C2 (2)将函数 ysin(2x)的图象沿 x 轴向左平移8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为( ) A.2 B.4 C0
5、 D4 4 (1)D (2)B (1)因为 ysin2x23cos2x232cos2x6，所以曲线 C1：ycos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍， 纵坐标不变， 得到曲线 ycos 2x， 再把得到的曲线 ycos 2x 向左平移12个单位长度，得到曲线 ycos 2x12cos2x6. 故选 D. (2)ysin(2x)的图象沿 x 轴向左平移8个单位后 得 ysin2x8 sin2x4 .若该函数为偶函数， 则4k2，kZ，故 k4.当 k0 时 4.故选 B. 1函数 ysin x 的图象变换到 yAsin(x)，xR 图象的两种方法 2对称变换 (1)yf(x)的图象 关于x轴
6、对称yf(x)的图象 5 (2)yf(x)的图象 关于y轴对称yf(x)的图象 (3)yf(x)的图象 关于0，0对称yf(x)的图象 1将函数 y2sin2x6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) Ay2sin2x4 By2sin2x3 Cy2sin2x4 Dy2sin2x3 D 函数 y2sin2x6的周期为 ， 将函数 y2sin2x6的图象向右平移14个周期即4个单位长度，所得图象对应的函数为 y2sin2x462sin2x3，故选 D. 三角函数的性质 【例 3】 (1)若函数 f(x)3sin(2x)(0)是偶函数，则 f(x)在0，上的单调递增区间是( ) A.
7、0，2 B.2， C.4，2 D.34， (2)已知函数 f(x)2sin2x6a1(其中 a 为常数) 求 f(x)的单调区间； 若 x0，2时，f(x)的最大值为 4，求 a 的值 思路点拨 (1)先根据函数 f(x)是偶函数，求 ，再依据单调性求增区间，最后与0，求交集 (2)由 2k22x62k2，kZ 求增区间， 6 由 2k22x62k32，kZ 求减区间 先求 f(x)的最大值，得关于 a 的方程，再求 a 的值 (1)B 因为函数 f(x)3sin(2x)(0)是偶函数， 所以 2，f(x)3sin2x23cos 2x， 令 2k2x2k，得 k2xk， 可得函数 f(x)的增
8、区间为k2，k ，kZ， 所以 f(x)在0，上的单调递增区间为2， . (2)解 由22k2x622k，kZ，解得3kx6k，kZ， 函数 f(x)的单调增区间为3k，6k (kZ)，由22k2x6322k，kZ， 解得6kx23k，kZ， 函数 f(x)的单调减区间为6k，23k (kZ) 0 x2，62x676， 12sin2x61， f(x)的最大值为 2a14，a1. 1求本例(2)中函数 yf(x)，xR 取最大值时 x 的取值集合 解 当 f(x)取最大值时，2x622k， 2x32k，x6k，kZ. 当 f(x)取最大值时，x 的取值集合是x x6k，kZ. 2在本例(2)的条
9、件下，求不等式 f(x)1 的解集 解 由 f(x)1 得 2sin2x621， 7 所以 sin2x612 所以 2k562x62k6，kZ. 解得 k2xk6，kZ. 所以不等式 f(x)1 的解集为 x k2xk6，kZ. 三角恒等变换的综合应用 【例 4】 已知函数 f(x)sin2x sin x 3cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论 f(x)在6，23上的单调性 解 (1)f(x)sin2x sin x 3cos2x cos xsin x32(1cos 2x) 12sin 2x32cos 2x32sin2x332， 因此 f(x)的最小正周期为 ，最大
10、值为2 32. (2)当 x6，23时，02x3，从而 当 02x32，即6x512时，f(x)单调递增， 当22x3，即512x23时，f(x)单调递减 综上可知，f(x)在6，512上单调递增；在512，23上单调递减 三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，8 我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质. 1求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为 yAsinxk 或 yAcosxk 等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余
11、弦函数基本性质和相关原理进行求解. 2要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题. 2已知函数 f(x)sin xcos xsin 2xsin x. (1)求 f(x)的定义域及最小正周期； (2)求 f(x)的单调递减区间 解 (1)由 sin x0 得 xk(kZ)， 故 f(x)的定义域为xR|xk，kZ 因为 f(x)sin xcos xsin 2xsin x 2cos x(sin xcos x) sin 2xcos 2x1 2sin2x41， 所以 f(x)的最小正周期 T22.
12、(2)函数 ysin x 的单调递减区间为 2k2，2k32(kZ) 由 2k22x42k32，xk(kZ)， 得 k38xk78(kZ)， 所以 f(x)的单调递减区间为k38，k78(kZ) 三角函数的平面几何中的应用 9 【例 5】 直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为 2 米，过点 P 的一直线与走廊的外侧两边交于 A，B 两点，且与走廊的一边的夹角为 02. (1)将线段 AB 的长度 l 表示为 的函数； (2)一根长度为 5 米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由 (铁棒的粗细忽略不计) 思路点拨 (1)长度 l 可分成 PA，PB 两段分别用
13、表示 (2)判断铁棒能否水平通过该直角走廊需要比较铁棒长度与 AB 长度的最小值 解 (1)由题意可知： l2sin 2cos 2sin cos sin cos ， 其中 02. (2)l2sin cos sin cos ， 设 tsin cos 2sin4， 因为 02， 所以4434， 所以 t(1， 2， 所以 l4tt214t1t. 因为 t1t在(1， 2上是增函数， 所以 t1t的最大值为22， 10 所以 l4t1t的最小值为 4 2. 因为 4 25， 所以长度为 5 米的铁棒能水平通过该直角走廊 三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下： 1审读题意，合理地
14、选取“角”为自变量，建立三角函数关系式. 2利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为 yAsinxb 的形式. 3在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值. 3福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为 1 米，圆心角 3，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ 上裁下一块平行四边形钢板 ABOC，要求使裁下的钢板面积最大试问王师傅如何确定 A 的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？ 解 连接 OA，设AOP，过 A 作 AHOP，垂足为点H，在RtAOH 中，OHcos ，AHsin ，所以 BHAHtan 6033sin ， 所以 OBOHBHcos 33sin ，设平行四边形 ABOC 的面积为 S，则 SOB AHcos 33sin sin sin cos 33sin212sin 236(1cos 2)12sin 236cos 2361332sin 212cos 2 3613sin2636. 由于 03，所以62656， 当 262，即 6时，Smax133636，所以当 A 是 PQ 的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为36平方米
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