1、人教人教A版版 必修第一册必修第一册 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题：“任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和，比如77,77=53+17+7”,同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且认为：每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是不需要证明这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想200多年后我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数从陈景润的“1+2”
2、到“1+1”似乎仅一步之遥，但它是一个迄今为止仍然没有得到正面证明也没有被推翻的命题要想正面证明就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立，要想推翻它只需“存在一个”反例 我们学校为了迎接10月28号的秋季田径运动会,正在排练由1000名学生参加的开幕式团体操表演.这1000名学生符合下列条件： （1）所有学生都来自高二年级； （2）至少有30名学生来自高二.一班； （3）每一个学生都有固定表演路线. 结合图片及上述文字，引出“所有”，“至少有”，“每一个”等短语，在逻辑上称为量词. 全称量词全称量词 下列语句是命题吗下列语句是命题吗?(1)?(1)与与(3),(2)(3),(2)与与
3、(4)(4)之间有什么关系之间有什么关系? ? (1)x3(1)x3 (2)2x+1(2)2x+1是整数是整数 (3)(3)对所有的对所有的x R,x3x R,x3 (4)(4)对任意一个对任意一个x Z,2x+1x Z,2x+1是整数是整数 是是 是是 不是不是 不是不是 (3)在在(1)的基础上的基础上,用量词“用量词“所有的所有的”对变量”对变量 x进进行限定行限定; 关系关系: (3)(4) 全称量词命题全称量词命题 (4)在在(2)的基础上的基础上,用短语”用短语”对任意一个对任意一个”对”对 变量变量x进行限定进行限定. 一一. .全称量词命题全称量词命题 1. 全称量词及表示全称
4、量词及表示: 短语“短语“对所有的对所有的”、“”、“对任意一个对任意一个”、“”、“对一对一切切”、“”、“对每一个对每一个”、“”、“任给任给”、“”、“所有的所有的”在逻辑中通常叫在逻辑中通常叫全称量词全称量词。 定义：定义： 表示：表示： 用符号“用符号“ ”表示”表示 2. 全称量词命题及表示全称量词命题及表示: 定义：定义： 含有含有全称量词全称量词的命题，叫的命题，叫全称量词命题全称量词命题。 表示：表示： 全称命题“对全称命题“对M M中任意一个中任意一个x x，有含变量，有含变量x x的语句的语句p(xp(x）成立”表示为）成立”表示为: : xM,p(x)xM,p(x)读作
5、读作: :“对任意对任意x x属于，有属于，有p(x)p(x)成立”。成立”。 (2)(2)所有的正方形都是矩形。所有的正方形都是矩形。 都是全称量词命题。都是全称量词命题。 例如例如: :命题命题(1)(1)对任意的对任意的n Z,2n+1n Z,2n+1是奇数是奇数; ; (1)(1)实数都能写成小数形式实数都能写成小数形式; ; (2)(2)凸多边形的外角和等于凸多边形的外角和等于2 2 练习：练习：用量词“用量词“ ”表达下列命题”表达下列命题: : （3 3）任一个实数乘以）任一个实数乘以- -1 1都等于它的相反数都等于它的相反数 x R,xx R,x能写成小数形式能写成小数形式
6、x x x|xx|x是凸是凸n n边形边形,x,x的外角和等于的外角和等于2 2 x x R,x(R,x(- -1)= 1)= - -x x 例例1.1.判断下列全称量词命题的真假判断下列全称量词命题的真假. . (1) (1) 所有的素数都是奇数所有的素数都是奇数; ; (2) x R, |x|+1(2) x R, |x|+111 (3) (3) 对每一个无理数对每一个无理数x,xx,x2 2也是无理数也是无理数 解解: (1)2(1)2是素数是素数, ,但不是奇数但不是奇数. . 全称命题全称命题(1)(1)是是假命题假命题 (2) x (2) x R,|xR,|x|0,|0,从而从而|x
7、|+11|x|+11 全称命题全称命题(2)(2)是是真命题真命题 (3) (3) 是无理数是无理数, ,但但 是有理是有理数数 2 全称命题全称命题(3)(3)是是假命题假命题 2( 2)2思考：如何判断全称量词命题的真假？思考：如何判断全称量词命题的真假？ 方法方法: 若判定一个全称量词命题是若判定一个全称量词命题是真命题真命题, ,必须对限定集必须对限定集合合M M中的中的每个元素每个元素x x验证验证P(x)P(x)成立成立; ; 若判定一个全称量词命题是若判定一个全称量词命题是假命题假命题, ,只要能举出集只要能举出集合合M M中的中的一个一个x=xx=x0 0 , ,使得使得P(x
8、)P(x)不成立不成立即可。即可。 关系关系: 存在量词存在量词 下列语句是命题吗下列语句是命题吗?(1)与与(3),(2)与与(4)之间有什么关之间有什么关系系? (1)2x+1=3 (2)x能被能被2和和3整除整除; (3)存在一个存在一个xR,使使2x+1=3; (4)至少有一个至少有一个xZ,x能被能被2和和3整除整除. (3)(3)在在(1)(1)的基础上的基础上, ,用短语“用短语“存在一个存在一个”对变”对变量量x x的取值进行限定的取值进行限定, ,使使(3)(3)变成了可以判断真假的语句变成了可以判断真假的语句; ; 不是不是 不是不是 是是 是是 (4)(4)在在(2)(2
9、)的基础上的基础上, ,用“用“至少有一个至少有一个”对变量”对变量x x的取的取值进行限定值进行限定, ,从而使从而使(4)(4)变成了可以判断真假的语句变成了可以判断真假的语句. . (3)(4) 存在量词命题存在量词命题 短语短语“存在一个存在一个”、“至少有一个至少有一个”、“有有些些”、“有一个有一个”、“对某个对某个”、“有的有的”在逻在逻辑中通常叫做辑中通常叫做存在量词存在量词。 存在量词命题“存在存在量词命题“存在M M中的一个中的一个x,x,使使p(x)p(x)成立”成立”可用符号简记为可用符号简记为 xM,p(x).xM,p(x). 二二. .存在量词命题存在量词命题 1.
10、 1. 存在量词及表示存在量词及表示: : 定义定义: : 用符号“用符号“”表示表示, 含有含有存在量词存在量词的命题的命题,叫做叫做存在量词命题存在量词命题. 表示：表示： 2.2.存在量词命题及表示：存在量词命题及表示： 定义定义: : 表示：表示： 读作读作:“:“存在一个存在一个x x属于属于M,M,使使p(x)p(x)成立”成立”. . 下列命题是不是存在量词命题？下列命题是不是存在量词命题？ （1）有的平行四边形是菱形）有的平行四边形是菱形; （2）有一个素数不是奇数）有一个素数不是奇数 都是存在量词命题都是存在量词命题. 练习：练习： 设设q(x):xq(x):x2 2=x,=
11、x,使用不同的表达方法写出存在量词命题使用不同的表达方法写出存在量词命题“ xR,q(x)”xR,q(x)” 解解: 存在存在实数实数x,x,使使x x2 2=x=x成立成立 至少有一个至少有一个xR,xR,使使x x2 2=x=x成立成立 对有些对有些实数实数x,x,使使x x2 2=x=x成立成立 有一个有一个xR,xR,使使x x2 2=x=x成立成立 对某个对某个xR,xR,使使x x2 2=x=x成立成立 例例2 2 下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题 (1) 有一个有一个实数实数a,a不能取倒数；不能取倒数； (2) 所有所有不等式的解
12、集不等式的解集A,都是都是AR； (3) 有的四边形有的四边形不是平行四边形。不是平行四边形。 存在量词命题存在量词命题 全称量词命题全称量词命题 存在量词命题存在量词命题 例3 判断下列存在量词命题的真假 (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0; (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线; (3)有些平行四边形是菱形. 解: (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线. 所以,存在量词命题(1)是假命题. 所以,存在量词命题(2)是假命题. (1)由于 , 因此使x2+2x+3=0的实数x不存在. 083422（3）由于正方形既是平
13、行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。 要判断存在量词命题“要判断存在量词命题“xM,p(x)”是是真命题真命题，只需在集合只需在集合M中找到中找到一个元素一个元素x0，使，使p(x0)成立成立即可即可. 思考：如何判断存在量词命题的真假思考：如何判断存在量词命题的真假 方法方法: 如果在集合如果在集合M中中,使使p(x)成立成立的元素的元素x不存在不存在,那那么这个存在量词命题是么这个存在量词命题是假命题假命题. 定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一 新命题称为原命题的否定。 牛刀小试：说出下列命题的否定 （2） 空集是集合A=1,2,
14、3的真子集； 否定： 56不是7的倍数； （1） 56是7的倍数； 否定： 空集不是集合A=1,2,3的真子集； 1)写出下列命题的否定所有的矩形都是平行四边形；2)每一个素数都是奇数；3),0 xR x+|x| 否否定定: :这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？ 含有一个量词的全称量词命题的否定含有一个量词的全称量词命题的否定,有下有下面的结论面的结论 xM,p(x)xM,p(x)全称量词命题全称量词命题 :p它的否定它的否定 :p xM, p(x)xM, p(x)从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题。从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题。 全称量词命题的否定是存在量词命题
15、例4 写出下列全称命题的否定：1）p:所有能被3整除的整数都是奇数；2(3）p:对任意xZ，x的个位数字不等于3。2 2）p:p:每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； 解：1） 存在一个能被3整除的整数不是奇数. :p2) 存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上. :P 3) 的个位数字等于3 . :p0,x z02x1)写出下列命题的否定存在一个实数的绝对值是正数；2)某些平行四边形是菱形；某些平行四边形是菱形；这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？否定否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数所有实数的绝对值都不是正数; 2,230 xR xx -2)
16、每一个平行四边形都不是菱形每一个平行四边形都不是菱形; 3) 23),230 xR xx 一般地，对于含有一个量词的存在量词命一般地，对于含有一个量词的存在量词命题的否定题的否定,有下面的结论有下面的结论 存在量词命题存在量词命题 :p它的否定它的否定 :p 从命题形式看从命题形式看,这三个存在量词命题的否这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题定都变成了全称量词命题. x0 M,p(xM,p(x0 0) ) x M, p(x)M, p(x) 存在量词命题存在量词命题的否定是全称的否定是全称量词命题量词命题 3） 0 x 例5 写出下列存在量词命题的否定：1）p:R,x+2；2）p:有的三
17、角形是等边三角形；有一个偶数是素数有一个偶数是素数. P: 解: 1):R20.xx 该命题否定，2) 该命题的否定：所有三角形都不是等边三角形 3） 该命题的否定：任意一个偶数都不是素数 例6 写出下列命题的否定，并判断真假； （1）任意两个等边三角形都相似； 22,10 xR xx （ ）解：（1） 该命题的否定：存在两个对边三角形，它们不相似。 因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都 相似。因此这是一个假命题。 （2）该命题的否定： 2,10.xR xx 2213,1()024xR xxx 因为对任意所以这是一个假命题。 1下列说法中，正确的个数是()存在一个实数
18、x0，使2x20 x040；所有的素数都是奇数；至少存在一个正整数，能被 5 和 7 整除A0B1C2D3【答案】 B 达标检测 2设命题 p： nN，n22n，则命题 p 的否定为()A nN，n22nB nN，n22nC nN，n22nD nN，n22n【解析】 因为“xM，p(x)”的否定是“xM， p(x)”，所以命题“nN，n22n”的否定是“nN，n22n”故选 C. 【答案】 C 3判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定(1)有一个奇数不能被 3 整除；(2) xZ，x2与 3 的和不等于 0；(3)有些三角形的三个内角都为 60 ；(4)每个三角形至少
19、有两个锐角；(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线【解】(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被 3 整除(2)是全称量词命题，否定为： x0Z，x20与 3 的和等于 0.(3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为 60 .(4)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角(5)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线2.一般地，对于含有一个量词的全称量词命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论：有下面的结论： :p xM,p(x)xM,p(x):p全称量词命题全称量词命题 它的否定它的否定 0000 xM,p(x )xM,p(x )一般地，对于含有一个量词的存在量词命题的否定一般地，对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论：有下面的结论： x M, p(x)M, p(x) x0 M,p(xM,p(x0 0) ) 存在量词命题存在量词命题 :p它的否定它的否定 :p1.（1）全称量词、全称量词命题；）全称量词、全称量词命题； （2）存在量词、存在量词命题。）存在量词、存在量词命题。
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