1、人教人教2019A版必修版必修 第一册第一册 3.2.2奇偶奇偶性性 第三章第三章 函数函数概念与概念与性质性质 一、引入一、引入 观察下列图片，你有何感受观察下列图片，你有何感受? ? 生活中的对称生活中的对称 新课新课 在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数 和和 的图象的图象 2xy 2yx并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。 x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x2 9 4 1 0 1 4 9 x -3 -2 -1 0
2、 1 2 3 f(x)=|x| -1 0 1 2 1 0 -1 x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 图象关于图象关于y轴对称轴对称 f(- 1) f(1) f(- 2) f(2) f(- 3) f(3) = = = -x x (x.f(x) (-x,f(-x) f(-x) f(x) = 任意一点任意一点 一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x,都都有有f(-x)=f(x), 那么函数那么函数f(x) 就叫做偶函数就叫做偶函数. 偶函数偶函数 偶函数的图象偶函数的图象关于关于y轴对称轴对称. 偶函数的定义域偶函数的定义
3、域关于关于原点原点对称对称. O a -a b -b 思考思考: :定义中“任意一个定义中“任意一个x, ,都有都有f( (- -x)=)=f( (x) )成立”说明了什么？成立”说明了什么？ f( (- -x) )与与f( (x) )都有意义都有意义， 说明说明- -x、x必须同时属于定义域必须同时属于定义域， 牛刀小试 判断下列函数是否为偶函数。 22(1) ( ), 1,1.(2) ( ), 1,1)f xxxf xxx 是 不是 观察函数观察函数 和和 的图象，并完成下的图象，并完成下面的两面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征
4、吗？同特征吗？ xxf)(xxf1)(图象关于原点对称图象关于原点对称 111ff 222ff 333ffx -x 观察函数观察函数 和和 的图象，并完成下的图象，并完成下面的两面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？同特征吗？ xxf)(xxf1)(x -3 -2 -1 0 1 2 3 f (x) -3 -2 -1 0 1 2 3 图象关于原点对称图象关于原点对称 ()( )fxf x ()fx( )f x奇函数的定义：奇函数的定义： 奇函数要满足奇函数要满足： 、定义域关于原点对称、定义域关于原点对称 奇函数图奇函数图象特征：象特
5、征： 奇函奇函数的数的图象关于图象关于原点原点对对称称，反之，一个函数的，反之，一个函数的图象关于图象关于原点原点对称，那么它是奇函对称，那么它是奇函数数 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内任意一任意一个个x，都有，都有 ，那么函数，那么函数f(x)就叫做就叫做奇奇函数函数 ()( )fxf x ()( )fxf x 例例1：判断下列函数的奇偶性： 2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf 4)(1xxf）（5)(2xxf=）（解：（1）函数f(x)=x4的定义域是R.因为对于任意的xR，都有 f(-x)=(x)4 =x4=
6、 f(x), 所以函数f(x)=x4是偶函数。 （2）函数f(x)= x5的定义域是R.因为对于任意的xR，都有 f(-x)= （-x）5 = -x5 = -f(x), 所以函数f(x)= x5是奇函数。 例例1：判断下列函数的奇偶性： 2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf 4)(1xxf）（5)(2xxf=）（解：（3）函数 的定义域是 .因为对于任意的 ，都有 , 所以函数 是奇函数。 （4）函数 的定义域是 .因为对于任意的 ，都有 , 所以函数 是奇函数。 )()1(1)(xfxxxxxfxxxf1)(21)(xxf0|xx0|xxx0|xxx)
7、(1)(1)(22xfxxxf21)(xxfxxxf1)(0|xx根据定义判断函数的奇偶性的步骤： (3)、根据定义下结论 判断函数的奇偶性的方法：判断函数的奇偶性的方法： (1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f (-x)=-f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立； 图象法、定义法图象法、定义法 思考：（1）判断函数 的奇偶性。 （2）如图，是函数 图象的一部分， 你能根据函数的奇偶性 画出它在y轴左边的图象吗？ （3）一般地，如果知道函数为偶（奇）函数，那么 我们可以怎样简化对它的研究？ 3( )f xxx3( )f xxx（1）奇函数 1下列函数是偶函数的是()
8、Af(x)xBf(x)2x23Cf(x) xDf(x)x2，x(1,1达标检测 【解析】对于 A，f(x)xf(x)，是奇函数；对于 B，定义域为 R，满足 f(x)f(x)，是偶函数；对于 C 和 D，定义域不对称，则不是偶函数，故选 B.【答案】B2已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，那么 ab的值是()A13B.13C12D.12【解析】依题意得 f(x)f(x)，b0，又 a12a，a13，ab13.故选 B.【答案】B3 若奇函数 f(x)在6， 2上是减函数， 且最小值是 1， 则它在2,6上是()A增函数且最小值是1B增函数且最大值是1C减函数且最大值是1D减
9、函数且最小值是1【解析】 奇函数 f(x)在6， 2上是减函数， 且最小值是 1，函数 f(x)在2,6上是减函数且最大值是1.【答案】C4如图 1- 3- 4，已知偶函数 f(x)的定义域为x|x0，xR，且f(3)0，则不等式 f(x)0 的解集为_图 1- 3- 4【解析】由条件利用偶函数的性质，画出函数 f(x)在 R 上的简图：数形结合可得不等式 f(x)0 的解集为(3,0)(0,3)【答案】(3,0)(0,3)5设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)2x2x.(1)求 f(x)的表达式；(2)画出 f(x)的图象【解】(1)当 x0 时，f(0)f(0
10、)，则 f(0)0；当 x0，函数 f(x)是奇函数，则 f(x)f(x)2(x)2(x)(2x2x)2x2x.综上所述，f(x)2x2x，x00，x02x2x，x0.(2)函数 f(x)的图象如图所示：课堂小结课堂小结 偶函数 奇函数 定义 图象 定义域 一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x,都都有有f(-x)=f(x), 一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一的定义域内任意一个个x,都有都有f(-x)=-f(x), 关于关于y轴对称轴对称 关于原点对称关于原点对称 关于原点对称关于原点对称 用定义法判断函数的奇偶性的步骤：用定义法判断函数的奇偶性的步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定确定f(-x)和和f(x)的关系；的关系； 作出相应结论。作出相应结论。
浙公网安备33030202001339号