1、人教人教2019A版必修版必修 第一册第一册 章节复习与小结章节复习与小结 第二章 一元二次函数、方程和不等式 知识导图 性质4可乘性： _， _. 性质5同向可加性： _. 性质6同向同正可乘性： _. 性质7可乘方性：ab0_ (nN，n1). 性质8可开方性：ab0 (nN，n2). 1.不等式的性质 性质1对称性：ab_. 性质2传递性：ab，bc_. 性质3可加性：ab_. bc a+cb+c abc0acbc abc0 acb+d ab0cd0 acbd anbn nnab知识梳理 无实根 0 2 2 = b -4ac= b -4ac0 0 2 2y=ax +bx+cy=ax +b
2、x+c(a 0)(a 0)的图象 2 2方方程程ax +bx+c=0ax +bx+c=0(a0)(a0)的的根根有两个不等 实根 1212x xx x有两个相等实根 1212x = xx = x1x2x12=xx 1212x x xx x xx x2 2ax +bx+c0ax +bx+c0(a 0)(a 0)的的解解集集2 2ax +bx+c0ax +bx+c0)(a 0)的的解解集集 1212x x xxx x x0k0时，时，f(1)0,f(1)0, 即即2k2k- -2 2- -3k3k- -20,2k- -4,k0;4,k0; 当当k0k0,f(1)0,即即2k2k- -2 2- -3
3、k3k- -20,20, 整理得整理得kk- -4,k4,k- -4.4. 综上所述，当综上所述，当k(k(- -,- -4)(0,+)4)(0,+)时，方程时，方程2kx2kx2 2- -2x2x- -3k3k- -2 2 =0=0的两根，一个小于的两根，一个小于1 1，一个大于，一个大于1.1. 不等式中恒成立问题不等式中恒成立问题 解有关不等式恒成立问题常用方法：解有关不等式恒成立问题常用方法： （1 1）直接将参数从不等式中分离出来变成）直接将参数从不等式中分离出来变成kf(x)kf(x)（或（或kf(x)kf(x)），从而转化成），从而转化成f(xf(x）求最值）求最值. . （2
4、2）如果参数不能分离，而）如果参数不能分离，而x x可以分离，如可以分离，如g(x)f(k)g(x)f(k)（或（或g(x)f(k)g(x)f(k)），则），则f(k)f(k)恒大于恒大于g(x)g(x)的最大值或恒小于的最大值或恒小于g(x)g(x)的最的最小值，然后解关于参数小值，然后解关于参数k k的不等式的不等式. . （3 3）若不等式对于）若不等式对于x x，参数都是二次的，则借助二次函数在某，参数都是二次的，则借助二次函数在某区间上恒大于区间上恒大于0 0或恒小于或恒小于0 0求解求解. . 【名师指津】【名师指津】 【例【例3 3】 已知已知f(x)=xf(x)=x2 2- -
5、2ax+2(aR)2ax+2(aR)，当，当xx- -1,+)1,+)时，时，f(x)af(x)a恒成立，求恒成立，求a a的取值范围的取值范围. . 【审题指导】【审题指导】解答此类题要正确理解好解答此类题要正确理解好f(x)af(x)a恒成立的意义，恒成立的意义，一是可转化为一是可转化为f(x)f(x)minminaa，二是重新构造新函数，二是重新构造新函数F(x)=f(x)F(x)=f(x)- -a0a0恒成立恒成立. . 【规范解答】【规范解答】方法一：方法一：f(x)=(xf(x)=(x- -a)a)2 2+2+2- -a a2 2, ,此二次函数图象的此二次函数图象的对称轴为对称轴
6、为x=a.x=a. 当当a(a(- -,- -1)1)时，时，f(x)f(x)在在- -1 1，+)+)上单调递增，上单调递增，f(x)f(x)minmin=f(=f(- -1)=2a+3.1)=2a+3. 要使要使f(x)af(x)a恒成立，只需恒成立，只需f(x)f(x)minmina,a, 即即2a+3a,2a+3a,解得解得- -3a3a0,a+b (a0, b0)b0)解“定积求和，和最小”问题，用解“定积求和，和最小”问题，用ab ab 解解 “定和求积，积最大”问题“定和求积，积最大”问题. .一定要注意适用的范围和条件：一定要注意适用的范围和条件： “一正、二定、三相等”“一正
7、、二定、三相等”. .特别是利用拆项、添项、配凑、分特别是利用拆项、添项、配凑、分 离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证验证. . 2 ab2ab()2【名师指津】【名师指津】 若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题意运用基本不等式解决实际问题. . 【特别提醒】【特别提醒】在解题过程中，一定要注意等号成立的条件在解题过程中，一定要注意等号成立的条件. . 【例【例4 4】设函数】设函数f(x)= xf(x)= x0,+).0,+
8、). （1 1）当）当a=2a=2时，求函数时，求函数f(x)f(x)的最小值；的最小值； （2 2）当）当0a10a1时，求函数时，求函数f(x)f(x)的最小值的最小值. . 【审题指导】【审题指导】解答此题要明确解答此题要明确a=2a=2与与0a10a0, 0,x+1+ 0,+),x+10, 0,x+1+ 当且仅当当且仅当x+1= x+1= 即即x= x= - -1 1时，时，f(x)f(x)取最小值取最小值. . 此时，此时，f(x)f(x)minmin= = - -1.1. (2)(2)当当0a10a1时，时， f(x)=x+1+ f(x)=x+1+ - -1 1若若x+1+ x+1
9、+ 则当且仅当则当且仅当x+1= x+1= 时取等号，时取等号， 此时此时x= x= - -101xx2 200，则，则 f(xf(x1 1) )- -f(xf(x2 2)=x)=x1 1+ + 1 1- - , , xx1 1xx2 20,x0,x1 1- -x x2 20,x0,x1 1+11,x+11,x2 2+11,+11, (x(x1 1+1)(x+1)(x2 2+1)1,+1)1,而而0a1,0a1, 1,f(x 0,)0, f(x)f(x)在在0 0，+)+)上单调递增，上单调递增，f(x)f(x)minmin=f(0)=a.=f(0)=a. 21212aax(xx )x1x11
10、2ax1 (x 1)12ax1 (x1) 函数与方程思想函数与方程思想 【名师指津】【名师指津】函数与方程思想函数与方程思想 不等式与函数、方程三者密不可分，相互联系，相互转不等式与函数、方程三者密不可分，相互联系，相互转 化，有关求参数的取值范围问题，用函数化，有关求参数的取值范围问题，用函数f(x)=x+ f(x)=x+ 的单调的单调 性解决最值问题，实际应用问题等，都要首先考虑函数与方性解决最值问题，实际应用问题等，都要首先考虑函数与方 程思想程思想. . ax【例【例6 6】 已知不等式已知不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集为的解集为( ( , , ) )，且，且00
11、, ,求不等式求不等式cxcx2 2+bx+a0+bx+a0的解集的解集. . 【审题指导】【审题指导】审题时要明确不等式的解集与方程的根的关系，审题时要明确不等式的解集与方程的根的关系，以及根与系数的关系的应用以及根与系数的关系的应用. . 【规范解答】【规范解答】由已知不等式可得由已知不等式可得a0a0，且，且 、 为方程为方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两根，的两根， 由根与系数的关系可得由根与系数的关系可得 b0,ac0.a 方法一：方法一：a0,a0, 由由得得c0c0，则，则cxcx2 2+bx+a0+bx+a0.+ x+ 0. ，得，得 由由得得 为方程为方程 的
12、两根的两根. . 又又00 , , 不等式不等式 的解集为的解集为x|x x|x ,x , 即不等式即不等式cxcx2 2+bx+a0+bx+a0的解集为的解集为x|x x|x .x . bcacb11()0.c a11 10.c 1 1, 2baxx0cc110.2baxx0cc1111方法二方法二：a0a0，由，由cxcx2 2+bx+a0,+bx+a0,)x+10, 即（即（ x x- -1)(1)( x x- -1)0.1)0. 00 ,0 ,0 所求不等式的解集为所求不等式的解集为x|x x|x .x . 2cbxx10.aa 11,111.1.已知已知a0,b0,a0,b0,则则
13、的最小值是的最小值是( )( ) (A)2 (B) (C)4 (D)5(A)2 (B) (C)4 (D)5 【解析】【解析】选选C.a0,b0, C.a0,b0, 当且当且 仅当仅当a=ba=b时取等号时取等号. . 的最小值为的最小值为4.4. 112 abab2 21112 ab22 ab4abab ，112 abab跟踪训练 2.2.在在R R上定义运算上定义运算：ab=ab+2a+b,ab=ab+2a+b,则满足则满足x(xx(x- -2)02)0的实的实数数x x的取值范围为（的取值范围为（ ） (A)(0,2) (B)(A)(0,2) (B)(- -2,1)2,1) (C)(C)(
14、- -,- -2)(1,+) (D)(2)(1,+) (D)(- -1,2)1,2) 【解析】【解析】选选B.B.根据给出的定义得根据给出的定义得x(xx(x- -2)=x(x2)=x(x- -2)+2x+(x2)+2x+(x- -2) 2) =x=x2 2+x+x- -2=(x+2)(x2=(x+2)(x- -1),1),又又x(xx(x- -2)02)0，则，则(x+2)(x(x+2)(x- -1)01)0，故这，故这个不等式的解集是（个不等式的解集是（- -2 2，1 1）. .故选故选B.B. 3.3.若不等式若不等式x x2 2+ax+10+ax+10对于一切对于一切x(0, x(0
15、, 成立，则成立，则a a的最小的最小 值为（值为（ ） (A)0 (B)(A)0 (B)- -2 (C)2 (C)- - (D)(D)- -3 3 【解析】【解析】选选C.C.由已知可得不等式由已知可得不等式a =a =- -( +x)( +x)对于一切对于一切 x(0, x(0, 成立，成立， 又由函数又由函数f(x)=f(x)=- -( +x)( +x)在在x(0, x(0, 上为增函数，可得上为增函数，可得f(x)f(x)的的 最大值为最大值为f( )= f( )= 从而得从而得a a的最小值为的最小值为 12522x1x1x121x121252 ，5.24.4.若关于若关于x x的不
16、等式的不等式axax2 2- -6x+a6x+a2 200的解集是（的解集是（1,m)1,m)，则，则m=_.m=_. 【解析】【解析】axax2 2- -6x+a6x+a2 201.m1. 解得解得 答案：答案：2 2 m161ma1 ma，m2.a25.5.设不等式设不等式2x2x- -1m(x1m(x2 2- -1)1)对满足对满足- -2m22m2的一切实数的一切实数m m都成立，都成立，求求x x的取值范围的取值范围. . 【解析】【解析】把不等式把不等式2x2x- -1m(x1m(x2 2- -1)1)看作关于看作关于m m的一次不等式，则的一次不等式，则(x(x2 2- -1)m+(11)m+(1- -2x)0,2x)0, 记函数记函数f(m)=(xf(m)=(x2 2- -1)m+(11)m+(1- -2x)2x)，它的图象为一条线段，结合图形，它的图象为一条线段，结合图形易知需易知需 解得解得 即即x x的取值范围是（的取值范围是（ ）. . f20,f 201713x.22 17 13,22 课堂小结
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