1、人教人教A版必修第一册版必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末总结章末总结 教学目标及核心素养教学目标及核心素养 教学目标教学目标 1.1.了解等式及不等式性质了解等式及不等式性质能够能够运用基本不等式求最值运用基本不等式求最值； 2.2.能够能够运用基本不等式求最值运用基本不等式求最值； 3.3.根据一元二次函数、方程和不等式的关系解（含参）不等式根据一元二次函数、方程和不等式的关系解（含参）不等式； 4.4.根据一元二次函数、方程和不等式解决实际问题根据一元二次函数、方程和不等式解决实际问题 核心素养核心素养 a.数学抽象数学抽象：不等式的性质及基本不等式的定义不等式的性质及
2、基本不等式的定义； b.逻辑推理逻辑推理：一元二次函数、方程和不等式的关系一元二次函数、方程和不等式的关系； c.数学运算数学运算：解（含参）不等式解（含参）不等式； d.直观想象直观想象：一元二次不等式恒成立求参一元二次不等式恒成立求参； e.数学建模数学建模：通过建立函数模型，借助函数与方程的思想解决实际问题通过建立函数模型，借助函数与方程的思想解决实际问题. 专题一 不等式性质应用不等式性质应用 【例1】 主题串讲 方法提炼总结升华 判断下列命题是否正确:(1)cabcba ,()(2)22bcacba()(3)bdacdcba ,() (4)bacbca22()(5)22baba()(
3、6)22baba()(7)dbcadcba0, 0()答案：（答案：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7 ） 解题技巧（不等式性质应用） 可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 【跟踪训练【跟踪训练1】 1、用不等号“”或“b，cb0，cdb0，那么12 _12 （4）如果abc0，那么 _ 答案：（答案：（1） （2） （3） （4） 0). (1)若m=1,求当x1时函数的最小值; (2)当x1时,函数有最大值-3,求实数m的值. 分析:(1)由函数的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2)当x1时,x-11,x-10. y=x-1+1-1+12 (-1)1-
4、1+1=3, 当且仅当 x-1=1-1,即 x=2 时取等号, 所以当 x1 时函数的最小值为 3. (2)x1,x-10,b0,ab =b+2a2 2 ,当且仅当 b=2a时等号成立,ab2 2. (方法 2)由条件易知 a0,b0, =1+22 2,当且仅当 b=2a时等号成立,ab2 2. 专题专题三三 解(含参)不等式 【例3】1.求下列不等式的解集 （1） + 2 3 0； （2）32 7 10； （3） 2+ 4 4 0 答案：（答案：（1） | （2） | ,或 （3） | 【例3】 2.解关于x的不等式ax2-(2a+3)x+60(aR). 分析:首先讨论不等式的类型:(1)当
5、a=0时,是一次不等式;(2)当a0时,是一元二次不等式,然后讨论a的符号,最后讨论两根 与2的大小. 解:当 a=0 时,化为 x0. 当 a0 时,化为 x-3(x-2)0, 当32,即 0a3或 x2; 当3=2,即 a=32时,解得 x2; 当332时,解得 x2 或 x3. 当 a0 时,化为 x-3(x-2)0,解得3x2. 综上所述:当 a0 时,原不等式的解集为3,2 ; 当 a=0 时,原不等式的解集为(-,2); 当 0a32时,原不等式的解集为 -,3(2,+). 解题技巧解题技巧(解（含参）不等式的一般方法) (1)二次项系数不含参数且二次三项式不能分解因式时,对的取值
6、进行讨论. (2)二次项系数不含参数,二次三项式可分解因式时,主要根据两根大小进行比较,分x1x2三种情况解答. (3)二次项系数含参数时,首先应讨论二次项系数a与0的关系,当a=0时,不等式不是一元二次不等式,可直接解答;当a0时,不等式是一元二次不等式,可分a0和a 0 （2）92 6 + 1 0 （3）2+ 2 3 0 答案：（答案：（1） | （2） | （3） 【变式训练3】 2.已知常数aR,解关于x的不等式ax2-2x+a0. 解:(1)若a=0,则原不等式为-2x0. (2)若a0,=4-4a2. 当0,即0a1时,方程ax2-2x+a=0的两根为 当0a1时,原不等式的解集为
7、 当=0,即a=1时,原不等式的解集为. 当1时,原不等式的解集为. x1=1- 1-2,x2=1+ 1-2, 1- 1-2 1+ 1-2 . (3)若a0,即-1a0, 当a=-1时,原不等式的解集为x|xR且x-1. 当0,即a-1时,原不等式的解集为R. 综上所述,当a1时,原不等式的解集为; 当0a1时,原不等式的解集为 1- 1-2 . 1- 1-2 4x+m-4. (1)若对一切实数 x不等式恒成立,求实数 m的取值范围; (2)若对一切大于 1的实数 x不等式恒成立,求实数 m的取值范围. 分析:(1)不等式为一元二次不等式,利用判别式小于0,即可求m的取值范围; (2)通过对一
8、切大于1的实数x不等式恒成立,判断对应二次函数图象对称轴的位置及当x=1时y的值,即可求m的取值范围. 解:(1)将不等式x2+mx4x+m-4整理,转化为x2+(m-4)x-m+40. 由=(m-4)2-4(4-m)0,解得0m4x+m-4分离变量m,则原问题可等价于对一切大于1的实数x,m -2+4-4-1恒成立. -2+4-4-1=-(-1)2+2(-1)-1-1=- (x-1)+1-1+2-2+2=0,当且仅当x-1=1-1,即 x=2 时等号成立,m0. 故实数 m 的取值范围为(0,+). 方法二 令y=x2+(m-4)x-m+4. 对一切大于1的实数x,y0恒成立, 故m的取值范
9、围是(0,+). 4-2 1,1 + -4- + 4 0或 =(m-4)2-4(4-m)0. 解题技巧解题技巧(恒成立问题处理方法) 1、当定义域为R时，恒大于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方，从而确定的取值范围，进而求参数. 2.对于在区间D上,f(x)0(或f(x)0)型恒成立问题,我们一般利用分离变量法转化为求解最大(小)值问题.而对于一元二次不等式问题,可以借助对应二次函数的图象与性质求解,注意要讨论对称轴与区间D之间的关系,从而确定函数的最小(大)值. 【跟踪训练4】 1. 对任意实数对任意实数x，不
10、等式，不等式2(3)2(3)60axax恒成立，恒成立， 则实数则实数a的取值范围是的取值范围是_ 解： 当30a ，即3a 时，不等式为：60 ，恒成立，则3a 满足题意 当30a ，即3a时，不等式恒成立则需： 230434360aaa ，解得：3 a 3 综上所述：3 0对于满足1x4的一切实数x恒成立,求实数a的取值范围. 解法一1x0 可转化为 a2-22. 令 y=2-22=-21122+1212. 14112,即实数 a的取值范围为12,+ . 解法二依据 a 的取值进行分类讨论: (1)当 a=0 时,-2x+20 在(1,4)上不成立; (2)当a0时,函数f(x)=ax2-
11、2x+2的图象开口向下,对称轴为直线x=1,且10 时,函数 y=ax2-2x+2 的图象开口向上,对称轴为直线x=1,且10. 若 114,需 x=1时,y0,解得124,需 x=4 时,y0,无解. 若 011. 综上,实数 a 的取值范围为 12 . 题型五题型五 一元二次不等式和基本不等式的实际应用问题一元二次不等式和基本不等式的实际应用问题 【例5】一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系： = 22+ 220. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产
12、多少辆摩托车？ 解 ：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得 22+ 220 6000. 移项整理，得 2110 + 3000 0， 方程有两个实数根1=50，2=60. 画出二次函数y= 2110 + 3000的图像，结合图象得不等式 2110 + 3000 0的解集为x|50 x60，从而原不等式的解集为 x|50 x60. 因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在5159辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益. 解题方法解题方法（一元二次不等式实际应用问题） （1）根据题意列出相应的函数解析式； （2）由题意列出相应不等式； （3）求出解集； （4）结合实际情况写出最终结果. 【跟踪训练跟踪训练5】 1.用可围成32 m墙的砖头，沿一面旧墙(旧墙足够长)围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？ 解 ： 设长方形的一边(垂直于旧墙)长为x m，则另一边长为325m4x，总面积 2(325 )532Sxxxx ，3205x，当16m5x 时，2max256m5S 答：当长方形一边(垂直于旧墙)为16m5，另一边为 4 m 时猪舍面积最大，最大值为22565m.
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