1、 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4. 2.1 指数函数的概念指数函数的概念 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法(重点) 2.理解指数函数增长变化迅速的特点(难点) 重点：理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法 难点：理解指数函数增长变化迅速的特点； 指数函数的概念 一般地，函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是_. 思考：指数函数定义中为什么规定 a 大于 0 且不等于 1? 提示 规定 a 大于 0 且不等于 1 的理由： (1)如果 a0，当 x0 时，ax恒等于 0；当 x0 时
2、，ax无意义 (2)如果 a0 且 a1. （一） 、提出问题 对于幂 ) ，我们已经把指数 的范围拓展到了实数上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究， 进一步了解了研究一类函数的过程和方法 下面继续研究其他类型的基本初等函数 （二） 、探索新知 问题 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式由于旅游人数不断增加，两地景区自 2011 年起采取了不同的应对措施， 地提高了景区门票价格，而地则取消了景区门票 下表给出了， 两地景区 2011 年至 2015年的游客人次以及逐年增加量 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？为了有
3、利于观察规律，根据表，分别画出，两地景区采取不同措施后的 15 年游客人次的图 问题问题 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过 5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳 14 含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 指数函数的概念 一般地，函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是_. 思考：指数函数定义中为什么规定 a 大于 0 且不等于 1? 1思考辨析 (1)yx2是指数函数( ) (2)函数 y2x不是指数函数( ) (3)指数函数的图象一定在 x 轴的上方( ) （三
4、）典例解析（三）典例解析 例 1已知指数函数设 f(x)ax(a0, 且 a1),且 f(3)= 求 f(0)，f(1)，f(-3)的值； 跟踪训练 1：已知函数 f(x)为指数函数，且(32) =39， 则 f(2)_. 规律方法 1在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于 0 且不等于 1 的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)ax的系数必须为 1. 2求指数函数的解析式常用待定系数法 例例（1）在问题中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来 1000 元门票之外的收入，地景区的门票价格为 150 元，比较这 15 年间，两地旅游收入变化情况 1
5、下列函数一定是指数函数的是( ) Ay2x1 Byx3 Cy3 2x Dy3x 2.下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ） 3已知函数 f(x)(2a1)x是指数函数，则实数 a 的取值范围是_ 4若函数 f(x)是指数函数，且 f(2)2，则 f(x)_. 1、指数函数概念 函数 y = ax(a0，且 a 1)叫做指数函数，其中 x 是自变量 .函数的定义域是 R . 参考答案：参考答案： 二二、学习学习过程过程 （一）问题（一）问题探究探究 问题 1：观察图象和表格，可以发现，地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为万次）；地景区的游客人次则是非线性增长，年增
6、加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律 我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的能否通过对地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试 从 2002 年起，将地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 年游客人次 年游客人次 ， 年游客人次 年游客人次 年游客人次 年游客人次 做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率增加量、增长率是刻画做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率增加量、增长率是刻画事物变化规事物变化规律的两个很重要的量律的两个很重要的量 结果表明， 地景区的游客人次的年增长率
7、都约为 1.11-10.11，是一个常数 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长因此，地景区的游客人次近似于指数增长显然，从年开始，地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 年后，游客人次是年的 1.111倍； 年后，游客人次是年的 1.112倍； 年后，游客人次是年的 1.113倍； x 年后，游客人次是年的 1.11x倍 如果设经过 x 年后的游客人次为年的 y 倍，那么 y 1.11x （x，） 这是一个函数，其中指数 x 是自变量 问题 2： 设死亡生物体内碳 14 含量的年衰减率为狆，如果把刚死亡的生物体内碳 14 含量看成 1 个单位，那么；死亡 1 年后，生物体内碳含量
8、为（1-p)1； 死亡 2 年后，生物体内碳含量为（1-p)2 ； 死亡 3 年后，生物体内碳含量为（1-p)3 ； 死亡 5730 年后，生物体内碳含量为（1-p)5730 根据已知条件， （1-p)5730 2,从而 1-p= 2) ,所以 p=1- 2) 设生物死亡年数为 x，死亡生物体内碳含量为 y，那么 y=（1-p)x ， 即 = 2) ) , （x，） 这也是一个函数，指数 x 是自变量死亡生物体内碳含量每年都以 1- 2) 减率衰减像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减因此，死亡生物体内碳14 含量呈指数衰减 如果用字母 a 代替上述两式中的底数 1.11 和 2)
9、，那么函数 y 1.11x 和 = 2) ) 可以表示为 = 的形式， （二）探究（二）探究新知新知 思考辨析答案 (1) (2) (3) （三）典例（三）典例解析解析 例 1.分析：要求 f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出 f(x)ax的解析式即先求出 a 的值； 解：因为 f(x)ax ,且 f(3)=,则 3 = ，解得 = , 于是 f(x) ，所以 f(0)= =1，f(1)= = ，f(-3)= = 跟踪训练 1 解析：设 f(x)ax(a0 且 a1)，由 f 3239得 a3239， 所以 a3，又 f(2)a2，所以 f(2)3219. 例 2.解：（）设经过 x
10、年，游客给，两地带来的收入分别为 f（x）和 g（x）， 则 f（x）1150 （10 x+600），g（x）1000 278 1.11x 利用计算工具可得， 当 x=0 时，f（）g（）412000 当 x10.22 时，f（10.22）g（10.22） 结合图可知： 当 x10.22 时，f（x）g（x）， 当 x10.22 时，f（x）g（x） 当 x14 时，f（14）g（14）347303 这说明，在 2001 年，游客给地带来的收入比地多 412000 万元；随后 10 年，虽然 f（x）g（x），但g（x）的增长速度大于 f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在 2011 年 2 月某个时刻就有 f（x）g（x）， 这时游客给地带来的收入和地差不多；此后，f（x）g（x），游客给地带来的收入超过了地；由于 g（x）增长得越来越快，在 2015 年，地的收入已经比地多 347303 万元了 三、达标检测三、达标检测 1【答案】D 由指数函数的定义可知 D 正确 2【答案】C 由指数函数的增长速度及定义，可知 C 正确 3【答案】12，1 (1，) 由题意可知 2a10，2a11，解得 a12，且 a1， 所以实数 a 的取值范围是12，1 (1，) 4【答案】 2x 设 f(x)ax(a0 且 a1)，则 f(2)a22， a 2(a 2舍去)，f(x) 2x.
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