1、 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.3.2 对数的运算对数的运算 1.理解对数的运算性质(重点) 2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数(难点) 3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点) 重点：对数的运算性质 难点：对数的运算性质的探究是教学的难点，突破这个难点的关键是抓住指数式与对数式之间的联系，启发学生进行转化。 1对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数 a 的范围是_. 2.运算性质运算性质 条件 0a,且1a，0, 0NM 性质 NMMNaaaloglog)(log NMNMaaalogloglog MnManaloglo
2、g(nR) 3.换底公式换底公式 abbccalogloglog(a0，且 a1；c0，且 c1；b0) 问题提出：在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质你认为可以怎样研究？ 我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？ 探究一：对数的运算性质探究一：对数的运算性质 回顾指数幂的运算性质： nmnmaaa，nmnmaaa，mnnmaa)( 把指对数互化的式子具体化： 设maM ，naN ， 于是有,m nMNa+=,m nnmnMaMaN-=nNmMaalog,log 根据对数的定义有：nmanmalog，nmanmalog，mnamnalog 于是有对数的
3、运算性质： 如果0a，且1a时，M0，N0，那么： （1）log ()aM N? ； （积的对数等于两对数的和） （2）logaMN= ； （商的对数等于两对数的差） （3）lognaM= ； （Rn） （幂的对数等于幂指数乘以底数的对数） 1思考辨析 (1)积、商的对数可以化为对数的和、差( ) (2)loga(xy)logax logay.( ) (3)log2(3)22log2(3)( ) 例 1求下列各式的值 （1）log84log82； （2）log510log52 （3）log2（47 25） 跟踪训练 1 计算下列各式的值： (1)12lg 324943lg 8lg 245； (
4、2)lg 5223lg 8lg 5 lg 20(lg 2)2； (3)lg 2lg 3lg 10lg 1.8. 23.ln ,ln ,ln1 ln; (2)lnxyzxyxyzz例2用表示下列各式 探究二：换底公式 问题 1：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于 1 的正数都可以作为对数的底，能否将其它底的对数转换为以 10 或e为底的对数？ 把问题一般化，能否把以a为底转化为以c为底？ 探究：设pbalog，则bap，对此等式两边取以c为底的对数，得到： bacpcloglog，根据对数的性质，有：bapccloglog，所以abpccloglog 即abbccaloglog
5、log其中0a，且1a，0c，且1c 公式logab = ；称为换底公式 用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算 问题2 2： 在 4.2.1的问题1中， 求经过多少年 B地景区的游客人次是 2001年的 2倍， 就是计算 2 的值。 例 3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震 M 之间的关系为 2011 年 3 月 11 日，日本东北部海域发生里氏 9.0 级地震，它所释放出来的能量是 2008 年 5 月 12 日我国汶川发生里氏 8.0 级地震的多少倍（精确到 1）？ 跟踪训练 2 求值
6、： (1)log23 log35 log516； (2)(log32log92)(log43log83) 1计算：log153log62log155log63( ) A2 B0 C1 D2 2计算 log92 log43( ) A4 B2 C.12 D.14 3设 10a2，lg 3b，则 log26( ) A.ba B.aba Cab Dab 4 log816_. 5计算：(1)log5352log573log57log51.8； (2)log2748log21212log2421. lg4.8 1.5EM1.对数的运算法则。 2.利用定义及指数运算证明对数的运算法则。 3.对数运算法则的应
7、用。 4.换底公式的证明及应用。 参考答案参考答案 二、学习过程二、学习过程 思考辨析 1. 答案 (1) (2) (3) 例 1.解：解： （1）log84log82log881. （2）log510log52log551 (3) log2（47 25）= log2219 =19 跟踪训练 1解 (1)原式12(5lg 22lg 7)4332lg 212(2lg 7lg 5) 52lg 2lg 72lg 2lg 712lg 5 12lg 212lg 512(lg 2lg 5)12lg 1012. (2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)2 2lg 10(lg
8、5lg 2)22(lg 10)2213. (3)原式12lg 2lg 9lg 10lg 1.8lg 18102lg 1.8lg 1.82lg 1.812. 例 2.解 1 lnlnlnlnln lnxyxyzxzz 22332 lnlnlnxyxyzz 23lnlnln112lnlnln23xyzxyz 问题 2：换底公式可得 2= ， 利用计算工具，可得 = ， 由此可得，大约经过 7 年，B 地景区的 游客人次就达到 2001 年的 2 倍，类似地，可以求出游客人次是 2001 年的 3 倍，4 倍，:所需要的年数。 例 3 解:设里氏 9.0 级和里氏 8.0 级地震的能量分别为 E1和
9、 E2 设里利用计算工具可得， 虽然里氏 9.0 级和里氏 8.0 级地震仅相差 1 级，但前者释放出的能量却是后者的约 32 倍。 跟踪训练 2.解 (1)原式lg 3lg 2lg 5lg 3lg 16lg 5lg 16lg 24lg 2lg 24. (2)原式lg 2lg 3lg 2lg 9lg 3lg 4lg 3lg 8 lg 2lg 3lg 22lg 3lg 32lg 2lg 33lg 23lg 22lg 35lg 36lg 254. 三、达标检测三、达标检测 1.【答案】B 原式log15(3 5)log6(2 3)110. 2.【答案】D log92 log43lg 2lg 9lg
10、 3lg 414. 3.【答案】B 10a2，lg 2a， log26lg 6lg 2lg 2lg 3lg 2aba. 4.【答案】43 log816log232443. 5【答案】(1)原式log5(5 7)2(log57log53)log57log595 log55log572log572log53log572log53log552. (2)原式log2748log212log242log22 log27 1248 42 2log212 2log223232. lg4.81.5,EM由12lg4.8 1.5 9.0,lg4.8 1.5 8.0EE可得；1122lglg-lg=4.81.59.0 -4.81.5 8.0=EEEE于是（） （）1.51.5121032EE
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