1、1.11.1 集合的概念集合的概念 【本节明细表】【本节明细表】 知识点、方法 题号 集合的概念 1,4,11 集合中元素的特性 3,12 元素与集合的关系 2, ,8,9 集合相等 6,14 列举法 7,10,13 描述法 5,10 集合表示法应用 15 基础巩固基础巩固 1.某班很聪明的同学;方程 x2-1=0 的解集;漂亮的花儿;空气中密度大的气体.其中能组成集合的是( ) A. B. C. D. 2.下面有三个命题: 集合 N 中最小的数是 1; 若-aN,则 aN; 若 aN,bN,则 a+b 的最小值是 2. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知集合
2、 A 中只含 1,a2两个元素,则实数 a 不能取( ) A.1 B.-1 C.-1 和 1 D.0 4.已知集合 A=-2,2,B=m|m=x+y,xA,yA,则集合 B 等于( ) A.-4,4 B.-4,0,4 C.-4,0 D.0 5.已知集合 M=|65-N*,且Z,则 M 等于( ) A.2,3 B.1,2,3,4 C.1,2,3,6 D.-1,2,3,4 6.已知集合 A 含有两个元素 1,2,集合 B 表示方程 x2+ax+b=0 的解的集合,且集合 A 与集合 B 相等,则a+b= . 7.设集合 A=x|x2-3x+a=0,若 4A,则集合 A 用列举法表示为 . 8.已知
3、集合 A=(x,y)|x2+y23,xZ,yZ,则集合 A 中的元素个数为 . 9.已知集合 A 中含有两个元素 a-3 和 2a-1. (1)若-3 是集合 A 中的元素,试求实数 a 的值; (2)-5 能否为集合 A 中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由. 10.选择适当的方法表示下列集合: (1)被 5 除余 1 的正整数组成的集合; (2)24 的所有正因数组成的集合; (3)在平面直角坐标系中,两坐标轴上的点组成的集合; (4)三角形的全体组成的集合. 能力提升能力提升 11.定义一种关于*的运算:A*B=x|x=x1+x2,其中 x1A,x2B,若 A=1
4、,2,3,B=1,2,则 A*B 中所有元素之和为( ) A.9 B.14 C.18 D.21 12.设 P,Q 为两个非空实数集合,P 中含有 0,2,5 三个元素,Q 中含有 1,2,6 三个元素,定义集合 P+Q 中的元素是 a+b,其中 aP,bQ,则 P+Q 中元素的个数是 . 13.已知集合 M 满足:当 aM 时,1:1-M,当 a=2 时,用列举法表示集合 M= . 14.已知 A=x|x2+px+q=x,B=x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+1,当 A=2时,求集合 B. 素养达成素养达成 15.已知集合 A=x|ax2-3x+2=0,其中 a 为常数,且 aR. (1
5、)若 A 是单元素集合,求 a 的取值范围; (2)若 A 中至少有一个元素,求 a 的取值范围; (3)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围. 1.11.1 集合的概念集合的概念 【本节明细表】【本节明细表】 知识点、方法 题号 集合的概念 1,4,11 集合中元素的特性 3,12 元素与集合的关系 2, ,8,9 集合相等 6,14 列举法 7,10,13 描述法 5,10 集合表示法应用 15 基础巩固基础巩固 1.某班很聪明的同学;方程 x2-1=0 的解集;漂亮的花儿;空气中密度大的气体.其中能组成集合的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】求解这类题目要从集
6、合中元素的确定性、互异性出发.不符合集合中元素的确定性. 2.下面有三个命题: 集合 N 中最小的数是 1; 若-aN,则 aN; 若 aN,bN,则 a+b 的最小值是 2. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【解析】 因为自然数集中最小的数是 0,而不是 1,故错;中取 a=2,-2N,且2N,故错;对于中 a=0,b=0 时,a+b 的最小值是 0,故选 A. 3.已知集合 A 中只含 1,a2两个元素,则实数 a 不能取( ) A.1 B.-1 C.-1 和 1 D.0 【答案】C 【解析】由集合元素的互异性知,a21,即 a 1. 4.已知集合
7、A=-2,2,B=m|m=x+y,xA,yA,则集合 B 等于( ) A.-4,4 B.-4,0,4 C.-4,0 D.0 【答案】B 【解析】集合 A=-2,2,B=m|m=x+y,xA,yA,集合 B=-4,0,4,故选 B. 5.已知集合 M=|65-N*,且Z,则 M 等于( ) A.2,3 B.1,2,3,4 C.1,2,3,6 D.-1,2,3,4 【答案】D 【解析】因为集合 M=|65-N*,且Z,所以 5-a 可能为 1,2,3,6, 即 a 可能为 4,3,2,-1.所以 M=-1,2,3,4,故选 D. 6.已知集合 A 含有两个元素 1,2,集合 B 表示方程 x2+a
8、x+b=0 的解的集合,且集合 A 与集合 B 相等,则a+b= . 【答案】-1 【解析】集合 A 与集合 B 相等,且 1A,2A, 1B,2B,1,2 是方程 x2+ax+b=0 的两个实数根,1 + 2 = -,1 2 = , = -3, = 2.a+b=-1. 7.设集合 A=x|x2-3x+a=0,若 4A,则集合 A 用列举法表示为 . 【答案】-1,4 【解析】4A,16-12+a=0,a=-4,A=x|x2-3x-4=0=-1,4. 8.已知集合 A=(x,y)|x2+y23,xZ,yZ,则集合 A 中的元素个数为 . 【答案】9 【解析】由已知可知 x,y 只有可能取-1,
9、0,1,因此满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共 9 个. 9.已知集合 A 中含有两个元素 a-3 和 2a-1. (1)若-3 是集合 A 中的元素,试求实数 a 的值; (2)-5 能否为集合 A 中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由. 【答案】见解析 【解析】(1)因为-3 是集合 A 中的元素, 所以-3=a-3 或-3=2a-1. 若-3=a-3,则 a=0, 此时集合 A 含有两个元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1 ,则 a=-1, 此时集合 A
10、中含有两个元素-4,-3,符合要求. 综上所述,满足题意的实数 a 的值为 0 或-1. (2)若-5 为集合 A 中的元素,则 a-3=-5,或 2a-1=-5. 当 a-3=-5 时,解得 a=-2,此时 2a-1=2(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性; 当 2a-1=-5 时,解得 a=-2,此时 a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性. 综上,-5 不能为集合 A 中的元素. 10.选择适当的方法表示下列集合: (1)被 5 除余 1 的正整数组成的集合; (2)24 的所有正因数组成的集合; (3)在平面直角坐标系中,两坐标轴上的点组成的集合; (4)三角形的全体组
11、成的集合. 【答案】见解析 【解析】(1)x|x=5k+1,kN. (2)1,2,3,4,6,8,12,24. (3)(x,y)|xy=0. (4)x|x 是三角形或三角形. 能力提升能力提升 11.定义一种关于*的运算:A*B=x|x=x1+x2,其中 x1A,x2B,若 A=1,2,3,B=1,2,则 A*B 中所有元素之和为( ) A.9 B.14 C.18 D.21 【答案】B 【解析】当 x1=1 时,x=1+1=2 或 x=1+2=3; 当 x1=2 时,x=2+1=3 或 x=2+2=4; 当 x1=3 时,x=3+1=4 或 x=3+2=5. 所以集合 A*B=2,3,4,5,
12、A*B 中所有元素之和为 2+3+4+5=14.故选 B. 12.设 P,Q 为两个非空实数集合,P 中含有 0,2,5 三个元素,Q 中含有 1,2,6 三个元素,定义集合 P+Q 中的元素是 a+b,其中 aP,bQ,则 P+Q 中元素的个数是 . 【答案】8 【解析】aP,bQ,则 a+b 的取值分别为 1,2,3,4,6,7,8,11,则组成的集合 P+Q 中有 8 个元素. 13.已知集合 M 满足:当 aM 时,1:1-M,当 a=2 时,用列举法表示集合 M= . 【答案】2,-3,-12,13 【解析】当 a=2 时,因为 2M,所以1:21-2=-3M;因为-3M,所以1-3
13、1:3=-12M;因为-12M,所以1-121:12=13M;因为13M,所以1:131-13=2M,所以 M=2,-3,-12,13. 14.已知 A=x|x2+px+q=x,B=x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+1,当 A=2时,求集合 B. 【答案】B=3-2,3+2 【解析】由 A=2,得方程 x2+px+q=x 有两个相等的实根,且 x=2. 从而有4 + 2 + = 2,(-1)2-4 = 0, 解得 = -3, = 4. 从而 B=x|(x-1)2-3(x-1)+4=x+1. 解方程(x-1)2-3(x-1)+4=x+1,得 x=3 2. 故 B=3-2,3+2. 素养达成
14、素养达成 15.已知集合 A=x|ax2-3x+2=0,其中 a 为常数,且 aR. (1)若 A 是单元素集合,求 a 的取值范围; (2)若 A 中至少有一个元素,求 a 的取值范围; (3)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】 (1)若A是单元素集合,则方程ax2-3x+2=0有一个实数根,当a=0时,原方程为-3x+2=0,解得x=23,满足题意. 当 a0 时,由题意知方程 ax2-3x+2=0 只有一个实数根, 所以 =(-3)2-4a2=0,解得 a=98.所以 a 的值为 0 或98. (2)当 A 中恰有一个元素时, 若 a=0,则方程化为
15、-3x+2=0,此时关于 x 的方程 ax2-3x+2=0 只有一个实数根 x=23; 若 a0,则令 =9-8a=0,解得 a=98,此时关于 x 的方程 ax2-3x+2=0 有两个相等的实数根. 当 A 中有两个元素时, 则 a0,且 =9-8a0,解得 a98,且 a0,此时关于 x 的方程 ax2-3x+2=0 有两个不相等的实数根. 综上,a98时,A 中至少有一个元素. (3)当 A 中没有元素时, 则 a0,=9-8a98,此时关于 x 的方程 ax2-3x+2=0 没有实数根. 当 A 中恰有一个元素时, 由(2)知,此时 a=0 或 a=98. 综上,a=0 或 a98时,A 中至多有一个元素.
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