1、 宁德市宁德市 2021-2022 学年度第一学期期末高学年度第一学期期末高一一质量检测数学试题质量检测数学试题 第第 I 卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分） 一、单项选择题一、单项选择题: : 本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. 在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有有一个选项是符合题目要求的一个选项是符合题目要求的. 1已知集合1,2,3A，|2BxN x，则ABU=（ ） A1，2 B2，3 C1，2，3 D0，1，2，3 答案：D 解析：0,1,2B Q，0,1,2,3AB故选 D 2命题“(0,)sin2
2、xxx ，”的否定是（ ） A(0,)sin2xxx ， B(0,)sin2xxx ， C(0,)sin2xxx ， D(0,)sin2xxx ， 答案：D 解析:“(0,)sin2xxx ，”条件 P 是:“(0,)2x”，结论 q 是:“sinxxx，在定义域恒成立”，命题的否定是否定其结论，即 P :“(0,)2x”，q: “000sinxxx， 使得在定义域有解”故选 D 3已知弧长为3的弧所对的圆心角为6，则该弧所在的扇形面积为（ ） A3 B13 C23 D43 答案：B 解析:326lrQ 123Slr，故选 B 4,xR 不等式2410axx 恒成立，则a的取值范围为（ ）A4
3、a B4a或0a C4a D40a 答案： 解析:由20440aa 得4a，故选 5已知0.50.5,ln5,logaebce，则（ ） Acab Bcba Cbac Dabc 答案： 解析: 0.50.501,1ln5,log0eeQ故选 6已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，( )(4)f xf x，且( 1)1f ， 则(2020)(2021)ff（ ） A1 B0 C1 D2 答案： 解析: (0)0,4,fTQ(2020)(0)0,(2021)(4 505 1)(1)1fffff (2020)(2021)1ff故选 C 7 已知函数( )xf xex，( )lng xxx，(
4、)sinf xxx的零点分别为, , ,a b c则, ,a b c的大小顺序为（ ） Acba Bbac C acb Dcab 答案： 解析: 如图： 1086422468101510551015q x( ) = sin x( )h x( ) = ln x( )g x( ) = xf x( ) = exbacacb，故选 8已知函数( )sinf xAx的图象的一部分如图 1 所示，则图 2 中的函数图象对应的函数解析式为： A1(2)2yfx B(21)yfx C1()22xyf D(1)2xyf 答案：B 图 1 图 2 1y-1x-1O-12xy-11O-11解析:由（）得( )sin
5、f xx，由（）得3( )sin2 ()sin(23 )2g xxx 所以()sin()sin()sin(23 )fxxxx 所以2,32 , k kZ，即1k ，B 选项满足题意，故选 B 二、多项选择题二、多项选择题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分， 共共 20 分分. 在每小题给出的选项中有多项符合在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0分）分） 9下列函数中，既是偶函数又在区间0,上是增函数的是 （ ） A21yx B3yx C23yx D3xy 答案
6、：AC 解析: Ayx2+1 43.532.521.510.50.511.522.533.5476543211234567 Byx3 43.532.521.510.50.511.522.533.5476543211234567为奇函数 C23yx 43.532.521.510.50.511.522.533.5476543211234567 D3xy 43.532.521.510.50.511.522.533.5476543211234567在0,上单调递减 . 故选 AC 10若110ab，则下列不等式正确的是 ( ) Aab Bab abab 2baab 答案： BCD 解析: 1100ba
7、ab由得,A选项错误; B. ababba 成立，该选项正确； C. 0abab,该选项正确； D. 0,2baabababQ且 方法2.特殊值检验，取1,2ab ，排除A. 故选BCD. 11若函数( )tan(2)3f xx，则下列选项正确的是（ ） A最小正周期是 B图象关于点(,0)3对称 C在区间7(,)12 12上单调递增 D图象关于直线12x对称 答案：BC 解析：( )tan(2)3f xx A最小正周期是2,故 A错； B图象的对称点横坐标0 x满足02,32kxkZ，得046kx，当023kx时，所以图象的对称点为(,0)3，故 B 正确； C令2,232kxkkZ即5,1
8、22122kkxkZ故，当1k 时，( )tan(2)3f xx在区间7(,)12 12上单调递增，故 C正确; D正切函数图象无对称轴，故 D 错. 综上，选 BC. 12设xR，用 x表示不超过x的最大整数，则 yx称为高斯函数，也叫取整函数.令 22f xxx，以下结论正确的是（ ） A1.10.8f B f x为偶函数 C f x最小正周期为12 D f x的值域为0,1 答案：AC 解析：A1.12.22.22.2( 3)0.8f ，故 A正确; B存在1.12.22.22.2 (2)0.2f,1.11.1ff且1.11.1ff 故函数为非奇非偶函数，故 B 错误； C0,( )Tf
9、 x Tf x使得 22f xTxTxT nN 22xTxT使得=222xTxn =22222( )xxTnxxf x 此时，122nT ，故 f x最小正周期为12，故 C正确; D设2,0,1)xnm nZ m，则函数 22f xxxnmnm=nmnm0,1)故 f x的值域为0,1，故 D错误. 法 2：由 C选项知 12fxf x 121,0212 ,02121,12xxf xxxxxKK所以 0,1f x 法 3：如图所示 1.81.61.41.210.80.60.40.20.20.40.60.811.21.41.61.832.521.510.50.511.522.53 综上，选 A
10、C. 第 II卷（非选择题共 90分） 三、填空题三、填空题:（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 把答案填在答题卡的相应位置）把答案填在答题卡的相应位置） 1325( 4)log 25 答案：6 解析：2255( 4)log 254log 56. 14请写出一个同时满足下列两个条件的函数： . （1）12xxR， 若12xx则12( )()f xf x（2）121212,()( ) ()x xR f xxf xf x 答案：( )2 ,3 ,.xxxf xe选其中一个函数. 解析：条件（1）表示函数( )f xR在 上单调递增，条件（2）表示（乘
11、性）柯西函数方程 ( ),xf xa(1)fa，故可取( ),1xf xa a 如：( )2 ,3 ,.xxxf xe选其中一个函数. 15在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为35，45 则的终边与单位圆交点的纵坐标为 . 答案：1 解析：35Py 得45Px 45Qy 得35Qx sin()sincoscossin =33445555=1. 16已知函数 2log,042cos,428xxf xxx，,tR f xt使方程有 4 个不同的解：1234,x x x x，则1234x x x x的取值范围是 ; 1234
12、xxxx的取值范围是 . (本小题第一个空 3分，第二个空 2分) 答案：32,35；6514,4 解析：如图，02t 时，方程存在 4个不同根，当2t 时，14x ，1311,454xx 2log xt时，1222loglogxx得1222loglogxx即21211,1xx xx 由正弦函数对称性知3412xx 2123434333312636,45x x x xx xxxxx 233()636f xx 在4,5上单调递增，所以12343235x x x x； 123411112xxxxxx 1111()12f xxx在1,14上单调递减，所以123465144xxxx 四、解答题：本大题
13、共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70分分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 10 分） 设集合UR，|1327xAx，|12Bx mxm （I）3m，求UAC B； 54.543.532.521.510.50.511.52112345678910DCBA（II）若“xB”是“xA”的充分条件，求m的取值范围 参考解析： |03Axx.1分 （I）当3m时，|26Bxx.2分 得|26UC Bx xx或.3分 所以UAC B|02xx.4分 （II）由“xB”是“xA”的充分条件知，BA， 若B，则12mm 得1
14、m.5分 若B，则121023mmmm 得312m.9分 综上所述：1m或312m.10分 18. （本小题满分 12 分） 已知 21xbf xa是R上的奇函数，且 113f （I）求( )f x的解析式； （II）判断( )f x的单调性，并根据定义证明 参考解析：（I）由 (0)0113ff.2 分 得02133baba解得12ab.4 分 所以2( )121xf x .5 分 （II）( )f x在R上单调性递增 （备注：只判断没有证明给 1 分） 证明：1221,Rx xxx且.6 分 则2212()()121xf xf x12121x.7 分 12222121xx21122 222
15、1 21xxxx.8 分 由21xx得2122xx，即21220 xx.9 分 又1221210 xx.10 分 所以21()( )0f xf x，即21()( )f xf x 所以( )f x在R上单调性递增.12 分 19. （本小题满分 12 分） 已知函数2( )f xaxbxc，, ,a b cR只能同时满足下列三个条件中的两个： ( )0f x 的解集为( 1,3)； 1a； ( )f x最小值为4 （I）请写出这两个条件的序号，求( )f x的解析式； （II）求关于x的不等式2( )(2)23,f xmxmmR的解集 参考解析：选.1分 由( )0f x 的解集为( 1,3)可
16、知( )0f x 的根为121,3xx ( )1f xx 且对称轴，故顶点14（， ）.2分 法一：设2( )(1)4f xa x将（3，0）代入上式.4 分 得044a解得1a .5分 所以2( )(1)4f xx.6 分 法二：前述分值同法一 设( )(1)(3)f xa xx将14（， ）代入上式4 分 得44a 解得1a .5分 所以( )(1)(3)f xxx.6 分 法三：由21 33444bacaacba .3 分 得123abc 所以2( )23f xxx.6分 法四：由09304abcabcabc .3 分 得123abc 所以2( )23f xxx.6分 （II）2( )(
17、2)23f xmxm化简得2220 xmxm.7 分 即20 xmxm，对应方程的根为12,2xm xm .8 分 若2mm，即0m时，解集为R.9 分 若2mm，即0m时，解集为|2x xmxm或10 分 若2mm，即0m时，解集为|2x xmxm或11 分 综上，0m时，解集为R； 0m时，解集为|2x xmxm或； 0m时，解集为|2x xmxm或.12 分 20.（本小题满分 12 分） 已知( )4cos()cos13f xxx （I）设,6 3x ，求( )f x的值域； （II）设2()2123f，求5cos(2 )3的值 参考解析：（I）13( )4( cossin )cos1
18、23f xxxx.1分 22cos2 3sin cos1xxx cos23sin2xx.3分 2sin(2)6x.4 分 令6tx，由,6 3x ，5,66t .5 分 可知1sin,12t ，所以( ) 1,2f x .6分 （II）解法 1.2()2sin()2sin()2126633f7分 得1sin()33.8分 由522()33.9分 得5cos(2 )cos(2()33.10 分 cos2()3 .11分 27(12sin ()39 .12分 解法 2.2()2sin()2sin()2126633f7分 得1sin()33.8分 1cos()63.9 分 由5cos(2 )cos(
19、22 )33.10 分 cos(2)3.11分 272cos () 169 .12分 21. (本小题满分 12分) 闽东传承着中国博大精深的茶文化，讲究茶叶茶水的口感，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关如果刚泡好的茶水温度是1Co，空气的温度是0Co，那么t分钟后茶水的温度（单位：Co）可由公式 010ktte求得，其中k是一个物体与空气的接触状况而定的正常数现有某种刚泡好的红茶水温度是80 Co，放在20 Co的空气中自然冷却，10 分钟以后茶水的温度是50 Co （I）求k的值； （II）经验表明，温度为 80 Co的该红茶水放在20 Co的空气中自然冷却至60 Co时饮用，可以产生最佳
20、口感，那么，大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感? （结果精确到0.1，附：参考值ln20.7,ln31.1） 参考解析： （I）依题意，1050，0120,80 1020802050ke.1 分 化简，1012ke.2分 得，110ln2k.3 分 即，ln20.70.071010k （ln210k 不扣分）.4分 （II）由（I）得 ln2102060tte.5分 60t令，即ln210206060te，.6分 化简，ln21032te，.7 分 3ln2ln210t .8 分 得310 ln10ln3ln2101.1 0.74025.7ln2ln20.77t11分 所以，刚泡好的茶水大约
21、需要静置 5.7分钟才能达到最佳饮用口感. 12 分 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 ln ,f xx xxg xee （I）若0,1x ， g xf a成立，求实数a的取值范围; （II）证明： ( )sin2h xf xxe有且只有一个零点0 x，且03sin22xge 参考解析：（I）由xe在xR上单调递增，xe在xR上单调递减，知 xxg xee在xR上单调递增.1 分 ( )g x在0,1x上最小值为min( )(0)0gxg.2分 由0,1x ， g xf a成立知 mingxf a3分 得 0f a ，即ln0,1aa.4分 （II） lnsin2h xxxe 当xe时
22、， lnsin1 sin022h xxxxee 在,xe恒成立.5分 当0 xe时，ln ,sin2xxe在0,xe上单调递增， 所以 lnsin2h xxxe在0,xe上单调递增，6分 又 1sin02he，211 sin02hee 7 分 （备注：比如111( )lnsinln2ln022422ehe 也得分） 可知存在唯一01,1xe使00h x8分 即00lnsin02xxe 00sin( ln)2xggxe.9 分 00lnlnxxee001xx.10分 由111( )lnsinln2ln022422ehe （备注：直接判断1( )02h也得分） 可知01,12x.11分 0001sin2xgxex 由001xx在1,12上单调递减，所以001302xx 所以00013sin22xgxex.12分
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