1、苏州市 20212022 学年第一学期学业质量阳光指标调研卷 高三数学 2022.01 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1设 i 为虚数单位，若复数(1i)(1ai)是纯虚数，则实数 a 的值为 A1 B0 C1 D2 2设集合 AxN*|1log2x3，B1，2，3，4，则集合 AB 的元素个数为 A6 B7 C8 D9 3已知圆锥的高为 6，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 A2 2 B2 3 C2 6 D4 2 4在ABC 中，BAC2，点 P 在边 BC 上，则“AP12BC”是“P 为 BC 中点”
2、的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5记 Sn为等差数列an的前 n 项和，若S3S3S615，则a3a3a6 A215 B14 C516 D13 6北京时间 2021 年 10 月 16 日 0 时 23 分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感， 某校决定举行以“传航天精神、 铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动 现有 A，B 两队均由两名高一学生和两名高二学生组成比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题， 若每位成员被选中的机会均等， 则第三
3、轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率是 A59 B89 C1718 D3536 7已知 ab11，则下列不等式一定成立的是 A|ba|b Ba1ab1b Cb1a1eblna Dalnbblna 8若斜率为 k(k0)的直线 l 与抛物线y24x和圆 M：(x5)2y29 分别交于 A，B 和 C，D 两点，且 ACBD，则当MCD 面积最大时 k 的值为 A1 B 2 C2 D2 2 二、多选题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9折纸发源于中国 19
4、世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支我国传统的一种手工折纸风车(如图 1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始， 沿对角线部分剪开成两个角， 将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图 2，则 (图 1) (图 2) AEHFC BAHBE0 CEGEHEF DECEHECED 10下列命题正确的是 A若 z1，z2为复数，则|z1z2|z1|z2| B若a，b为向量，则|ab|a| |b| C若 z1，z2为复数，且|z1z2|z1z2|，则 z1z20 D若a，b为向量，且|ab|ab|，则ab0
5、 11已知函数 f(x)14x312ax21，则 AaR，函数 f(x)在 R 上均有极值 BaR，使得函数 f(x)在 R 上无极值 CaR，函数 f(x)在(，0)上有且仅有一个零点 DaR，使得函数 f(x)在(，0)上有两个零点 12甲同学投掷骰子 5 次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为 2，方差在区间1.2，2.4内，则这五个点数 A众数可能为 1 B中位数可能为 3 C一定不会出现 6 D出现 2 的次数不超过两次 三、填空题；本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分 13 记数列an的前 n 项积为 Tn
6、， 写出一个同时满足的数列an的通项公式： an an是递增的等比数列；T3T6 14设点 P 是曲线y x32lnx上的任意一点，则 P 到直线 yx 的最小距离是 15已知 F1，F2分别为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左，右焦点，若点 F2关于双曲线 C 的渐近线的对称点 E 在 C 上，则双曲线 C 的离心率为 16已知直棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCBB12，D，E 分别为棱 A1C1，AB的中点过点 B1，D，E 作平面 将此三棱柱分为两部分，其体积分别记为 V1，V2(V1V2)，则 V2 ；平面 截此三棱柱的外接球的截面面积为 四、解答题： 本大
7、题共 6 小题，共计 70 分解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分) 在MC2MB；sinC2114；SABM 3这三个条件中任选一个，补充在下面问题(2)的横线上，并解答下列题目 在ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2 7，bsinBC2asinB (1)求 A； (2)若 M 为边 AC 上一点，且ABMBAC， ，求ABC 的面积 (注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分) 18(本小题满分 12 分) 若数列an满足anmand(mN*，d 是不等于 0 的常数)对任意 nN*恒成立，则称an是周期为 m，周期公
8、差为 d 的“类周期等差数列”已知在数列an中，a11，anan14n1(nN*) (1)求证：an是周期为 2 的“类周期等差数列”，并求 a2，a2022的值； (2)若数列bn满足bnan1an(nN*)，求bn的前 n 项和 Tn 19(本小题满分 12 分) 2021 年 8 月国务院印发 全民健身计划 20212025 ，计划 中提出了各方面的主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、 广泛开展全民健身赛事活动、 提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、 促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等 在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动某瑜伽馆在 9 月
9、份随机采访了 100名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查 愿意 不愿意 总计 男性 25 25 50 女性 40 10 50 总计 65 35 100 (1)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关? 附：K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)，其中 nabcd P(K2k0) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)根据以上统计数据，是否有 99%的把握认为知晓规定与年龄有关? (2)为了推广全面健身，某市文化馆计划联合该
10、瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，在全市范围内开设一期公益瑜伽， 先从上述参与调查的 100 人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出 13 人，再从 13 人中随机抽取 2 人免费参加市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴，补贴方案为：男性每人 1000 元，女性每人 500 元求补贴金额的分布列及数学期望(四舍五入精确到元) 20(本小题镇分 12 分) 如图，在四面体 ABCD 中，已知ABD 是边长为 2 的等边三角形，BCD 是以点 C 为直角顶点的等腰直角三角形，E 为线段 AB 的中点，G 为线段 BD 的中点，F 为线段 BD 上的点 (1)若 AG/平面 CEF，求线段 CF 的长； (
11、2)若二面角 ABDC 的大小为 30 ，求 CE 与平面 ABD 所成角的大小 21(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A(2， 0)， B(2， 0)， 直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为14 记动点 P 的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程； (2)若点 M 为曲线 C 上的任意一点(不含短轴端点)，点 D(0，1)，直线 AM 与直线 BD 交于点Q，直线 DM 与 x 轴交于点 G，记直线 AQ 的斜率为 k1，直线 GQ 的斜率为 k2，求证：k12k2为定值 22(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)ln(ex1)lnx (1)判断
12、f(x)的单调性，并说明理由； (2)若数列an满足 a11，an1f(an)，求证：对任意 nN*，anan112n 苏州市 20212022 学年第一学期学业质量阳光指标调研卷 高三数学参考答案 一、 选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共计 40 分 每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A B C B C D 二、选择题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合 题目要求， 全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分 题号 9 10
13、11 12 答案 BCD AD BC ACD 三、填空题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分 13 5) (1naa 14 2 15 5 16 7 26;69 四、解答题：本题共 6 小题， 共计 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 解： (1)由条件 sinsin2BCbaB 得 sin 90sin2AbaBo， 所以 cossin2AbaB， 由正弦定理得 sin cossin sin2ABAB， 又 ABCV 中， sin0B， 所以 cossin2AA， 即 2sincoscos222AAA， 又 0180Ao， 所以 cos02A， 则 1sin
14、22A， 所以 60A o (2)由(1)得 60A o， 由条件 ABMBAC 可知 ABMV 为等边 三角形， 若选： 2MCMB， 不妨设 ,2MBx MCx， 在 BCMV 中申余弦定理得 222244cos120 xxxao， 解得 2x， 所以 2,4MAMBMC， ABCV 的面积为 11sinsin3 322AB AMAMB MCBMC； 若选 21sin:14C 由止弦定理得 sinsinacAC， 解得 2c ， 由余弦远理 2222cosabcbcA， 解得 6b (负值舍去)， 所以 ABCV 的而积为 1sin3 32bcA ； 若选， 3ABMSV， 由等边二角形
15、ABM 的面积为 3， 可得其边长为 2 ， 即 2cAB， 由余弦定理得 2222cosabcbcA， 解得 6b (负值舍去)， 所以 ABCV 的面积为 1sin3 32bcA 18(1)证明： 由 141,1nnaann 时， 125aa， 所以 24a ， 且 1245nnaan， 两式相减得 24nnaa， 所以 na 是周期为 2 的 “类周期等差数列”， 且周期公差为 4 ， 所以 20222202222 44044aa (2) 因为 +1nnnbaa， 所以 nb 的前 n 项和 11nnTaa， 由(1)得 na 是周期为 2 ， 周期公差为 4 的 “类周期等差数列”，
16、所以当 n 为奇数时， 1n 为偶数， 121 22 422naann ， 所以 21nTn； 当n 为偶数时， 1n 为奇数， 111 12 421naann ， 所以 2nTn ； 综上，*21,21,.2 ,2 ,nnnkTkn nkN 19解：(1)设 0H ：“愿意把瑜伽作为健身方式” 与性别无关 222()100 (250 1000)9.8907.879,50 50 65 35n adbcKabcdacbd 则能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “愿意把瑜伽作：为主要健身方式” 与性别有关 答： 能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “愿意把瑜伽作为主要健身方
17、式”与性别 标关 (2)从上述参与调查的 100 人中选择 “愿意” 的人按分层抽样抽出 13 人， 则有男性： 2513565 人， 女性： 4013865 人， 设补贴金额为变量 X， 则 X 的可能值为 1000,1500,2000 21128585222131313142051000,1500,2000393939CC CCP XP XP XCCC X 1000 1500 2000 P 1439 2039 539 142051000150020001385393939E X 元 答： 补贴金额的数学期望是 1385 元 20 解： (1) 由 /AG 平面 ,CEF AG 平面 ABD
18、， 平面 CEF 平面 ABDEF， 得 /AGEF， 又 E 为线段 AB 的中点， 所以 F 是 BG 中点 因为 ABDV 是边长为 2 的等边 三角形， G 为线段 BD 的中点， AGBD， BCDV 是以点 C 为直角顶点的等腰直角 三角形， 得 12FG 连结 CG， 得 CGBD 且1CG RtCFGV 中， 2252CFCGFG (2)CG ,BD AGBD， 作 AH 而 AGC， 垂足为 H， 由二面角 A BD C 的大小为 30o ， 得 AGH 为二面角 A BD C 的平面角， 30AGHo， 易求 32HG ， 在 AG 上取 Q 点， 使 13AQAG， 连接
19、 CQ， 以 C 为坐标原点， 分别以 CB，,CD CQ 为 , ,x y z 轴， 建立空间直角坐标系 则 2230,0,0 ,2,0,0 ,0,2,0 ,442CBDA， 3 2232 5 23,884442EADuuu r设面 ABD 的法向量为 , ,x y zn， 由0,0.BDAD uuu ruuu rnn 令 1x ， 则 1,6yz， 所以一个法向量1,1, 6n， 3 223 22884cos,211 1 62CECECE uuu ruuu ruuu rnnn 则 ,4CEuuu rn 21 （1） 解： 设 ,P x y， 则直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为 122
20、4yyxx ， 且 2x ， 所化简得 221,24xyx 且， 所以曲线 C 的方程为 221,24xyx 且 (2) 设 00,M x y， 则 001:1yDMyxx， 令 0y ， 则 001xxy， 所以 00,01xGy， 001:2 ,:1,22yAMyxBD yxx 所以 Q 点坐标满足 000000000244,2 ,222 41.1,222xyyxyxxyxyyyxxy 解得 所以00000002444 ,2222xyyQxyxy 所以00000200000000000044122 244244122221yyyxykxyxxyyxxyxyy 000002220000000
21、000041411,448484822yyyyyxyx yyyx yyyx 所以00000001200000022221122222222yyxxyyykkxyxxyx 22000000002200000000224224124442482yx yxyx yxxx yxyx yx 所以122kk为定值12 22解：(1) f x 的定义域为 0,， 1ln1lnln,rref xexx 2111 ,0, 11,0,0,xxxxxeeg xxgxxxh xxexh xxe令则令则 所 以 11xh xxe 在 0, 上 单 调 递 增 ， 所 以 0 x 时 ， 1100 xh xxeh ， 所
22、以 0g x， 所以 1reg xx 在 0,上单调递增， 所以 f x 在 0, 上单调递增 (2) 设 1,0 xn xex x ， 则 10rn xe ， 所以 n x 在 0, 上单调递增， 所以 0 x 时 0n x ， 所以 0 x 时， ln1lnlnln0 xf xexxx， 故 10nnaf a， 11a ， 所以 211ln10,1af afe， 所以 21aa， 由(1)知 f x 在 0, 上单调递增， 所以 21f af a， 即 32aa， 以此类推， 则有 1nnaa， 所以 10nnaa，所以 112ln1ln .11,2nnnannnnaannneaaaaaa eea 只需证明 01x 时， 21xxxee， 设 21,0,1xxk xxeex， 则 22221022xxxxxxxkxeeeee， 所以 k x 在 0,1 上单调递减， 所以 00k xk， 故 01x 时， 21xxxee 成立， 所以 21nnaana ee， 所以 112nnaa ， 故 112nnaa， 所以 211111222nnnnaaaL 综上所述， 对任意 *11,2nnnnaaN
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