1、东城区东城区 20202121- -20202222 学年度第一学期期末学年度第一学期期末统一检测统一检测 高二数学 2022.1 本试卷共 4 页，满分 100 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题：共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）下列直线中，倾斜角为锐角的是 （A）10 xy （B）21yx （C）1y （D）2x （2）已知 na为等差数列，且11a ，34515aaa，则7a （A）12 （B）
2、9 （C） 6 （D）3 （3）抛物线28yx 的焦点F到准线l的距离为 （A）16 （B）8 （C） 4 （D）2 （4）已知平面，的法向量分别为1( ,1,1)xn，2(6,3)yn，且/，则xy （A）43 （B）1 （C）3 （D）5 （5）已知 ABC的三个顶点是( 3,0),(6,2),(0, 6)ABC，则边AC上的高所在的直线方程为 （A）220 xy （B）220 xy （C）240 xy （D）2140 xy （6）设数列 na的前n项和为nS，若27a ，14nnaa，nN，则1S，2S，3S，4S中，最大的是 （A）1S （B）2S （C）3S （D）4S （7）在长方
3、体1111ABCDABC D中，4ABAD，13AA ，点,E F分别在棱111,BB BC上，EFuuu r/1ADuuuu r，113BEBBuuu ruuur，则1B F uuu u r （A）1 （B）43 （C）2 （D）83 （8）“2a”是“圆22()()4xayb与y轴相切”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）已知抛物线2:2(0)C ypx p过点(2,2)A，点B为平面直角坐标系平面内一点，若线段AB的垂直平分线过抛物线C的焦点F，则点B与原点O间的距离的最小值为 （A）2 （B）2 （C）52 （D）
4、3 （10） 均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩， 可用曲线上点的坐标来描述.设曲线C上任意一点,P x y，若将曲线C纵向均匀压缩至原来的一半，则点P的对应点为11( ,)2P xy.同理，若将曲线C横向均匀压缩至原来的一半，则曲线C上点P的对应点为21(, )2Px y.若将单位圆221xy先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的13，得到的曲线方程为 （A）22149xy （B）22194xy （C）22491xy （D）22941xy 第二部分（非选择题 共 70 分） 二、填空题：共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。 （11）若过点(0,
5、0)O和(1,3)M的直线与直线20axy平行，则a （12）写出一个离心率2e且焦点在x轴上的双曲线的标准方程_,并写出该双曲线的渐近线方程_ （13）已知数列 na满足121nnnaaa，nN，若317a ，则1a （14） 已知点1,2,0M ， 平面过1,0,1A，1,1,0B，0,1,1C三点， 则点M到平面的距离为_ （15）1970 年 4 月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号” ，这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知卫星的近地点（离地面最近的点）距地面的高度约为 439km，远地点（离地面最远的点）距地面的高度约为 2384km，且地心、近地
6、点、远地点三点在同一直线上，地球半径约为 6371km，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为_km （16）如图， 在棱长都为 1 的平行六面体1111ABCDABC D中，ABuuu r，ADuuu r，1AAuuu r两两夹角均为3，则1A C B Duuuu r uuu r_；请选择该平行六面体的三个顶点， 使得经过这三个顶点的平面与直线1AC垂直. 这三个顶点 可以是_ 三、解答题：共 5 小题，共 46 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （17） （本小题 8 分） 已知圆C的方程为2222230 xyxy （）求圆C的圆心及半径； （）是否存在直线l满足：经过点
7、(2, 1)A，且_ ？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件：被圆C所截得的弦长最长； 条件：被圆C所截得的弦长最短； 条件：被圆C所截得的弦长为8 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分 （18） （本小题 9 分） 某学校一航模小组进行飞机模型飞行高度实验，飞机模型在第一分钟时间内上升了 10 米高度若通过动力控制系统，可使飞机模型在以后的每一分钟上升的高度都是它在前一分钟上升高度的 75% （）在此动力控制系统下，该飞机模型在第三分钟内上升的高度是多少米？ （）这个飞机模型上升的最大高度能超过 50 米吗？如果
8、能，求出从第几分钟开始高度超过 50 米；如果不能，请说明理由 （19） （本小题 10 分） 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD 底面ABCD，2PDAD，点,E F G分别为,PA AB BC的中点，平面EFGM I棱PCM （）试确定PMPC的值，并证明你的结论； （）求平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值 （20） （本小题 10 分） 已知椭圆2222:1xyCab过点(0, 2)B，且离心率63e （）求椭圆C的方程； （）设点F为椭圆C的左焦点，点( 3,)Tm，过点F作TF的垂线交椭圆C于点,P Q，连接OT与PQ交于点H 若2m，求PQ； 求|PHHQ的值
9、（21） （本小题 9 分） 设等差数列 na的各项均为整数，且满足对任意正整数n，总存在正整数m，使得12nmaaaaL，则称这样的数列 na具有性质P （）若数列 na的通项公式为=2nan，数列 na是否具有性质P？并说明理由； （）若13a ，求出具有性质P的数列 na公差的所有可能值； （）对于给定的1a，具有性质P的数列 na是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论) MGFEPCDAB参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） （1）A （2）B （3）C （4）D （5） B
10、 （6）C （7）D （8） A （9）B （10）C 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分）分） （11）3 （12）2213yx 3yx （答案不唯一） （13）13 （14） 33 （15）15565 （16）0 点1, ,A B D或点11,C B D （填出其中一组即可）（填出其中一组即可） 三、三、解答题（共解答题（共 5 5 小题，共小题，共 4646 分）分） （17） （共 8 分） 解： （）由圆的方程整理可得22(1)(1)25xy， 所以圆心为(1,1)，半径为5. .4 分 （）选择条件：若直线l被圆C所截
11、得的弦长最长，则直线l应过圆心. 即直线l过点(2, 1)A和(1,1)C，则直线l的方程为23yx . .8 分 选择条件：若直线l过点(2, 1)A被圆C所截得的弦长最短，则直线l应与CA垂直. 又2CAk ，所以12lk . 故直线l方程为122yx .8 分 选择条件：经过点(2, 1)A的直线l被圆C所截得的最短弦长22 554 5， 由于4 58，所以不存在满足条件的直线 .8 分 （18） （共 9 分） 解： （）由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成110a ，公比34q 的等比数列， 则2334510 ( )48a 米. 即飞机模型在第三分钟内上升的高度是458米. .5 分
12、 （）不能超过50米. .6 分 依题意可得3101 ( ) 34401 ( ) 3414nnnS50， 所以这个飞机模型上升的最大高度不能超过50米. .9 分 （19） （共 10 分） 解： （）12PMPC. .1 分 证明如下： 在APB中，因为点,E F分别为,PA AB的中点， 所以EF/PB. 又EF 平面PBC，PB 平面PBC， 所以EF/平面PBC. 因为EF 平面EFG，平面EFGI平面PBCGM， 所以EF/.GM 所以PB/GM. 在PBC中，因为点G为BC的中点， 所以点M为PC的中点， 即 12PMPC. .5 分 （）因为底面ABCD为正方形，所以ADCD.
13、因为PD 底面ABCD， 所以PDAD，PDCD. 如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则(0,0,0), (2,0,0), (2,2,0)DAB，(0,2,0)C，(0,0,2)P. 因为,E F G分别为,PA AB BC的中点， 所以(1,0,1),(2,1,0),(1,2,0)EFG. 所以(1,1, 1)EF uuu r，( 1,1,0)FG uuu r. 设平面EFGM的法向量为( , , )x y zn，则 0,0EFFGuuu ruuu r，nn即0,0.xyzxy 令1,1,2xyz，于是1,1,2n. 又因为平面PAD的法向量为(0,1,0)m， MGFEPCDAB所以16c
14、os,=.66m nm nmn 所以平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值为66. .10 分 （20） （共 10 分） 解： （）由题意得2222,6,3,bcaabc 解得26a ，22b 所以椭圆C的方程为22162xy .4 分 （） 当2m时，直线TF的斜率2TFk ， 则TF的垂线PQ的方程为2(2)2yx 由222(2),2162yxxy 得25120 xx ， 解得12120,.5xx 故(0,2)P，122(,)55Q ，6 65PQ .7 分 由( 3,)Tm，( 2,0)F ，显然斜率存在，TFkm ， 当0m时，|1|PHHQ 当0m时，直线PQ过点F且与直线TF垂直，
15、则直线PQ方程为1(2)yxm 由221(2),162yxmxy 得222(3)121260mxxm 显然0 设11(,)P x y，22(,)Q xy，则 122123xxm ，21221263mx xm 则,P Q中点122623xxxm 直线OT的方程为3myx ， 由1(2),3yxmmyx 得263Hxm 所以|1|PHHQ 综上|PHHQ的值为1 .10 分 （21） （共 9 分） 解： （）由于=2nan，对任意正整数n，122 (1 23)naaan LL， 说明12naaaL仍为数列 na中的项，所以数列 na具有性质P. .3 分 （）设 na的公差为d由条件知12(N )kaaa k， 则有1121adakd，即12kda， 因此必有2k ，且1322adkk 这样就有111111=3322nnnaandaakk， 而此时对任意正整数n， 1211111222nn nn naaanadankdL， 因此，只要32dk为整数，那么11122n nankd为 na中的一项 易知2k 可取13 ，这3个值，对应得到3个满足条件的等差数列 .7 分 （）有限个. .9 分
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