1、 2020-2021学年度第二学期期末考试数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1. 集合，则（ ）A. B. C. D.2如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，则复数对应的点位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限3.已知是正方形的中心若，其中，则（ ）（A） （B） （C） （D）4.关于直线、与平面、，有以下四个命题：若，且，则； 若，且，则；若，且，则；若，且，则.其中真命题的序号是（ ）ABCD5已知点，若椭圆上存在点，使得为等边三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A）（B）（C）（D）6.已知椭圆和双曲线的离心率之积为 ，则双曲线 的两条渐近线的
2、倾斜角分别为（ ）（A） （B） （C） （D）7.若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为（）A B.CD8. 已知曲线C:，则下列说法不正确的是（ ）A若，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若，则C是双曲线，其渐近线方程为C. 若，则C是圆，其半径是D. 若，则C是两条直线9. 已知圆的圆心为.直线过点且与轴不重合，交圆于两点，点在点，之间.过作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是( )A. 双曲线的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 圆的一部分10、已知点为抛物线：的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误的是（ ）A.使得的点有且仅有4个B.使
3、得的点有且仅有4个C.使得为等腰三角形的点有且仅有4个D.使得为直角三角形的点有且仅有4个二、填空题（每小题5分，共25分）11.设双曲线（a0）经过点（3,0），则该双曲线的渐近线方程是 .12. 已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若，则线段的中点到直线的距离为 .13. 过双曲线的一个焦点作其渐近线的平行线，直线与y轴交于点P，若线段OP的中点为双曲线的虚轴端点（O为坐标原点），则双曲线的离心率为_14.已知函数，若存在，使得，则a的取值范围是 .15已知点分别是抛物线和直线上的动点，点是圆上的动点 抛物线的焦点坐标为_； 的最小值为_三、解答题（共6个小题，满分85分）16.
4、已知函数.求函数的最小正周期；若对恒成立，求实数的取值范围.17.如图，在中，是上的点，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）角的大小；（2）的面积条件：；条件：18.在直角坐标系中，已知圆与直线相切，（1）求实数的值；（2）过点的直线m与圆交于两点，如果，求直线m方程，并求.19. 在梯形中，为的中点，线段与交于点（如图1）将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）（）求证：平面；（）求二面角的大小；（）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 图1 图220. 已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，. 经过点的直线与椭圆交
5、于，两点.（）求椭圆方程；（）当直线的倾斜角为时，求线段的长；（）记与的面积分别为和，求的最大值.21. 已知椭圆的离心率为，的面积为.（）求椭圆的方程；（）设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点. 求证：为等腰三角形. 高二数学期末试卷答案一、 选择ABDBC DACAA二、 填空11. 12.5 13. 2 14. 15.(1,0) ,16三、解答题16.已知函数.求函数的最小正周期；若对恒成立，求实数的取值范围.解:因为所以的最小正周期为“对恒成立”等价于“”因为所以当，即时的最大值为.所以，所以实数的取值范围为.试卷第7页，共7页17.如图，在中，是上的点
6、，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）角的大小；（2）的面积条件：；条件：选择条件：解：（1）在中，由余弦定理，得. 因为，所以. （2）由（1）知，因为，所以. 所以为直角三角形.所以，. 又因为，所以. 所以. 选择条件：解：（1）在中,，.由正弦定理 ，得. 由题可知 ，所以. （2）由（1）知，因为，所以. 所以为直角三角形，得. 又因为，所以. 所以.18.在直角坐标系中，已知圆与直线相切，（1）求实数的值；（2）过点的直线m与圆交于两点，如果，求直线m方程，并求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将圆的化为标准方程,求出圆心，半径，其中，根据圆与直线相切，再利
7、用点到直线的距离公式可得，解得；（2）当直线斜率不存在时，其方程为，求得，不合题意；但直线斜率存在，设其方程为，根据圆心到直线的距离，以及垂径定理即可求得.【详解】解:（1）圆的方程可化为，圆心，半径，其中，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，解得；（2）当直线斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离，由垂径定理，不合题意；故直线斜率存在，设其方程为，即，圆心到直线的距离，由垂径定理，即，解得，故直线的方程为，代入圆的方程，整理得，解得，于是，这里，)，所以.19. 在梯形中，为的中点，线段与交于点（如图1）将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）（）求证：平面；（）
8、求二面角的大小；（）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 图1 图2（）证明：因为在梯形中，为的中点， 所以， 所以四边形为平行四边形， 1分 因为线段与交于点， 所以为线段的中点， 所以中， 3分 因为平面，平面， 所以平面 4分（）解：因为平行四边形中， 所以四边形是菱形，垂足为， 所以， 因为平面，平面， 所以是二面角的平面角， 因为二面角为直二面角， 所以，即 可以如图建立空间直角坐标系，其中， 6分 因为在图1菱形中， 所以， 所以， 所以， 7分 设为平面的法向量， 因为， 所以，即 取，得到 所以， 易知平面的法向量为， 8分 所以
9、 9分 由图可知，二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为 10分（）解：线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，11分 设， 因为， 所以 12分 因为， 13分 所以， 因为，所以 14分 所以线段上存在点，且时，使得与平面所成角的正弦值为 20. 已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，. 经过点的直线与椭圆交于，两点.（）求椭圆方程；（）当直线的倾斜角为时，求线段的长；（）记与的面积分别为和，求的最大值.【分析】（）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；（）当直线l
10、不存在斜率时可得，|S1S2|0；当直线l斜率存在（显然k0）时，设直线方程为yk（x+1）（k0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；【解答】解：（I）因为F（1，0）为椭圆的焦点，所以c1，又b23，所以a24，所以椭圆方程为1；（）因为直线的倾斜角为45，所以直线的斜率为1，所以直线方程为yx+1，和椭圆方程联立得到，消掉y，得到7x2+8x80，所以288，x1+x2，x1x2，所以|CD|x1x2|；（）当直线l无斜率时，直线方程为x1，此时D（
11、1，），C（1，），ABD，ABC面积相等，|S1S2|0，当直线l斜率存在（显然k0）时，设直线方程为yk（x+1）（k0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2120，显然0，方程有根，且x1+x2，x1x2，此时|S1S2|2|y1|y2|2|y1+y2|2|k（x2+1）+k（x1+1）|2|k（x2+x1）+2k|，（k时等号成立）所以|S1S2|的最大值为21. 已知椭圆的离心率为，的面积为.（）求椭圆的方程；（）设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点. 求证：为等腰三角形.解：解法2：解法3：试卷第17页，共10页
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