1、20222022 北京门头沟初三（上）期末北京门头沟初三（上）期末数学试卷数学试卷 2022.01 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 第第 1- 8 题均有四个选项题均有四个选项，符合题意的选项符合题意的选项只只有有一个一个 1已知 2a 3b （ ab 0 ），下列 比例式成立的是 A32ab B32ab C23ab D32ba 2抛物线 y (x 3)2 +1 的顶点坐标是 A(3, 1) B (3,1) C( 3,1) D( 3, 1) 3已知O 的半径为 5，如果点 P 到圆心 O 的距离为 8，那么点 P 与O 的位置关系是 A点 P 在
2、O 上 B点 P 在O 内 C点 P 在O 外 D无法确定 4在 RtABC 中，如果C = 90 ，tan A = 2，那么 sin A 的值是 A23 B13 C2 55 D55 5如图，线段 AB 是O 的直径，弦 CD 丄 AB 于 E， 如果CAB = 20 ，那么AOD 等于 A120 B140 C150 D160 6如果将抛物线 y 2x2 先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后得到一条新的抛物线，这条新的抛物线的表达式是 A22(2)3yx B22(2)3yx C 22(2)3yx D 22(2)3yx 7如果1(1,)Ay与 2(2,)By 都在函数1ykx的图象上
3、，且 ，那么 k 的取值范围是 Ak1 Bk1 Ck1 D任意实数 8如图，如果抛物线2144yx与 x 轴交于 A、B 两点，点 P 是以 C 0, 3 为圆心，2 为半径的圆上的一个动点，点 Q 是线段 PA 的中点，连接 OQ，那么线段 OQ 的最大值是 A3 B412 C4 D72 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9如果23xy那么xyx的值是 . 10颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它 和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为 2米 的正六边形，那么这个地基的周长是
4、 米 11如果两个相似三角形的相似比是 1:3，那么这两个相似三角形的周长比是 . 12如图，扇形的圆心角AOB = 60 ，半径为 3cm如果点 C、D 是 AB 的三等分点，图中所有阴影部分的面积之和是 cm2 13把二次函数的表达式223yxx化为2()ya xhk 的形式为 14写出一个图象位于第一，三象限的反比例函数的表达式 15九章算术是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？” 其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？” 答：该直角三角形所能
5、容纳的最大圆的直径是 步 16函数2112yxx的图象如图所示，在下列结论中， 该函数自变量 x 的取值范围是 x 0 ；该函数有最小值32 方程21132xx有三个根；如果（ ， ）和（ ， ）是该函数图象 上的两个点，当120 xx时一定有12yy 所有正确结论的序号是 三、解答题三、解答题（本题共 68 分，第 1722 题每小题 5 分，2326 题每小题 6 分，第 2728 题每小题 7 分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17计算： 18已知：如图，在ABC 中，点 D 在 BC 上，点 E 在 AC 上，DE 与 AB 不平行 添加一个条件 ，使得CDECAB，然后再
6、加以证明 19已知：如图 1，在ABC 中，AB = AC 求作：O，使得O 是ABC 的外接圆 作法： 如图 2，作BAC 的平分线交 BC 于 D； 作线段 AB 的垂直平分线 EF； EF 与 AD 交于点 O； 以点 O 为圆心，以 OB 为半径作圆 O 就是所求作的ABC 的外接圆 根据上述尺规作图的过程，回答以下问题： 使用直尺和圆规，依作法补全图 2（保留作图痕迹） ； 完成下面的证明 证明： AB = AC，BAD =DAC， AB 的垂直平分线 EF 与 AD 交于点 O， OA = OB，OB = OC （ ） （填推理的依据） OA = OB = OC O 就是ABC 的
7、外接圆 20已知二次函数 y ax2 bx c （a0）图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y -3 -4 -3 0 5 （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出该二次函数的图象与 x 轴的交点坐标 21已知：如图，在 RtABC 中，ACB = 90 ，CD 是 AB 边上的高 （1）求证：ABCCBD； （2）如果 AC = 4，BC = 3，求 BD 的长 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y 2x 的图象与反比例函数 的图象的一个交点 为 A1, n 求反比例函数kyx的表达式； 如果 P 是坐标轴上一点，且满足 PA = OA，直接写出
8、点 P 的坐标 23“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动如图，他 们先在点 D 处用高 1.5 米的测角仪 AD 测得塔顶 M 的仰角为 30 ，然后沿 DF 方向前行 70 m 到达点 E 处，在点 E 处测得塔顶 M 的仰角为 60 求永定楼的高 MF （结果保留根号） 24在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边 DC 和 DA 足够长） ，用 28 m长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD（篱笆只围 AB 和 BC 两边） 设 AB = x m，S 矩形 ABCD = y m2 （1）求 y 与 x 之间的关系式，并写出自变量
9、的取值范围； （2）当矩形花园的面积为 192 m2 时，求 AB 的长； （3）如果在点 P 处有一棵树（不考虑粗细） ，它与墙 DC 和 DA 的距离分别是 15m 和 6m，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界） ，直接写出矩形花园面积的最大值 25如图，AB 为O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 是O 的切线，D 为切点，OFAD 于点 E， 交 CD 于点 F （1）求证：ADC = AOF； （2）如果 BD = ，BD = 8，求 EF 的长 26在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y ax2 2ax 4 （a0） （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含 a
10、的代数式表示） ； （2）如果该抛物线的顶点恰好在 x 轴上，求它的表达式； （3）如果 三点均在抛物线y ax2 2ax 4，且总有y1y3y2，结合图象，直接写出 m 的取值范围 27在ABC 中，BAC = 45 ，CDAB 于点 D，AEBC 于点 E，连接 DE （1）如图 1，当ABC 为锐角三角形时， 依题意补全图形，猜想BAE 与BCD 之间的数量关系并证明； 用等式表示线段 AE，CE，DE 的数量关系，并证明 （2）如图 2，当ABC 为钝角时，直接写出线段 AE，CE，DE 的数量关系 28如图，在平面直角坐标系 xOy 中， C 0, 2 ，C 的半径为 1如果将线段
11、AB 绕原点 O 逆时针旋转 （0 180 ）后的对应线段 A B 所在的直线与C 相切，且切点在线段 A B 上，那么线段 AB 就是C 的“关联线段”，其中满足题意的最小 就是线段 AB 与C 的“关联角” （1）如图 1，如果 A2, 0 ，线段 OA 是C 的“关联线段” ，那么它的“关联角”为 （2）如图 2，如果 A1 3,3 、 B1 2,3 ， A2 1,1 、 B2 3, 2 ， A3 3, 0 、 B3 3, 2 那么C 的“关联线段”有 （填序号，可多选） 线段 A1 B1 线段 A2 B2 线段 A3 B3 （3）如图 3，如果 B 1, 0 、 D t,0 ，线段 B
12、D 是C 的“关联线段” ，那么 t 的取值范围是 （4）如图 4，如果点 M 的横坐标为 m，且存在以 M 为端点，长度为 3 的线段是C 的“关联线段” ，那么 m 的取值范围是 参考答案 2022.1 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C B D A D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 52 12 1:3 12 212yx 略 6 三、解答题三、解答题（本题共（本题共 68 分，第分
13、，第 1722 题每小题题每小题 5 分，分，2326 题每小题题每小题 6 分，第分，第 2728 题每小题题每小题 7 分）分） 17（本小题满分 5 分） 解：原式3=22 35 1.24 分 =3 34. 5 分 18（本小题满分 5 分） 解：添加条件正确；2 分 证明过程正确 5 分 19（本小题满分 5 分） 解：（1）作图正确；2 分 （2）依据正确 5分 20（本小题满分 5 分） 解：（1）设这个二次函数的表达式为23yaxbx. 由题意得， 1 分 解得，12ab. 223yxx. 3 分 （2）1,0，3,0 . 5分 21（本小题满分 5 分） （1）证明： ACB
14、= 90 ，CD 是 AB 边上的高， ACB =CDB = 90 1 分 3034abab 又 B =B， ABCCBD 2分 （2）解：在 RtABC 中，ACB = 90 ，AC = 4，BC = 3 由勾股定理得 AB=5 3分 ABCCBD， ABBCCBBD 4分 223955BCBDAB 5分 22（本小题满分 5 分） 解（1）A(1, n)在一次函数xy2的图象上， n=2 (1)=2. 1 分 点 A的坐标为(1, 2). 2 分 点 A在反比例函数xky 的图象上， 2k. 反比例函数的解析式为xy2. 3分 （2）点 P 的坐标为(-2, 0)或(0, 4). 5分 2
15、3（本小题满分 6 分） 解：根据题意，得，. 设为 x m. 1 分 在中， . 2分 同法可求. 3 分 . 4 分 解得.5分 . 答：永定楼的高为35 31.5米. 6分 24（本小题满分 6 分） 解：（1）由题意得 22828 .yxxxx 1 分 028.x 2 分 1.5CFBEAD70ABDEMCRtMCBtan=MCMBCBC3=tan603xBCx3ACx33 =703xx35 3x 35 31.5mMFMCCF（ ）OFEDCBA（2）由题意得 228192.xx3 分 解得1212,16.xx 答：AB的长为 12米或 16米 5分 （3）当13x 时，面积的最大值为
16、 195 米26分 25（本小题满分 6 分） 解：（1）连接OD. CD是Oe的切线， ODCD. 90ADCODA. OFAD， 90AOFDAO . ODADAO ， ADCAOF . 3 分 （2）设半径为，在Rt OCD中，1sin3C ， 13ODOC. ODr，3OCr. OAr，2ACOCOAr. AB为Oe的直径， 90ADB. OFBDP， 12OEOABDAB. 4OE . 34OFOCBDBC， 6OF . 2EFOFOE. 6 分 26（本小题满分 6 分） 解：（1）由题意得 对称轴为直线，顶点坐标为 2分 （2）抛物线的顶点恰好在 x轴上， 40.a 解得 抛物线
17、的表达式为 4 分 （3）6 分 r222414.yaxaxa xa1x 1,4 .a 4.a 2484.yxx10.2mDFEBCA 27（本小题满分 7 分） 解：（1） 依题意，补全图形. 1 分 猜想：BAE = BCD. 2分 证明：CDAB，AEBC， BAE+B = 90 ，BCD+B = 90 . BAE = BCD. 3分 线段 AE，CE，DE 的数量关系：CE +2DE = AE. 4 分 证明：如图，在 AE上截取 AF = CE，连接 DF. BAC = 45 ，CDAB， AD = CD. 又BAE = BCD， ADFCDE . DF = DE，ADF = CDE. ABCD，ADF+FDC = 90 . CDE+FDC = EDF = 90 . EDF是等腰直角三角形. EF = . AF + EF = AE， CE +2DE = AE. 6分 （2）线段 AE，CE，DE的数量关系：CE2DE = AE . 7分 28（本小题满分 7 分） 解：（1）60 . 2 分 （2）， . 4 分 （3）3.t5分 （4）24.m 7 分 说明： 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。 DE2
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