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    2022年北京市海淀区高三上期末数学试卷(含答案)

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    2022年北京市海淀区高三上期末数学试卷(含答案)

    1、2022北京海淀高三(上)期末数学试卷本试卷共9页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1. 已知集合,则 A.B. C.D. 2. 抛物线的准线方程为A.B.C. D.3. 复数的虚部为A.B.C.D. 4. 在的展开式中,的系数为A.B.C. D. 5. 已知角的终边在第三象限,且,则A. B.C.D. 6. 已知是等差数列,是其前项和. 则“”是“对于任意且,”的A.充分不必要条件B.必要

    2、不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7. 若函数在上单调递增,则的最大值为A.B.C. D. 8. 已知圆过点,则圆心到原点距离的最小值为A. B.C.D. 9. 如图,是两个形状相同的杯子,且杯高度是杯高度的,则杯容积与杯容积之比最接近的是A.B.C.D. 10. 已知函数,. 若对于图象上的任意一点,在的图象上总存在一点,满足,且,则实数 A.B. C.D. 第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。11. 双曲线的渐近线方程为_.12. 已知甲盒中有个白球,个黑球;乙盒中有个白球,个黑球. 现从这个球中随机选取一球,该球是白球的概率是_,若选出

    3、的球是白球,则该球选自甲盒的概率是_.13. 已知函数的值域为,的图象向右平移个单位后所得的函数图象与的图象重合,写出符合上述条件的一个函数的解析式:_.14. 若,且,则_,的最大值为_.15. 如图,在正方体中,为棱的中点. 动点沿着棱从点向点移动,对于下列三个结论:存在点,使得;的面积越来越小;四面体的体积不变.所有正确的结论的序号是_.三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16.(本小题14分)在中,.()求的大小;()再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知,使得存在,求的面积.条件:;条件:;条件:.17.(本小题14分)如图,已知长方体中,

    4、. 为的中点,平面交棱与点.()求证:;()求二面角的余弦值,并求点到平面的距离.18.(本小题14分)某班组织冬奥知识竞赛活动,规定首轮比赛需要从道备选题中随机抽取道题目进行作答. 假设在道备选题中,甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响,乙能正确完成其中道题且另外道题不能完成.()求甲至少正确完成其中道题的概率;()设随机变量表示乙正确完成题目的个数,求的分布列及数学期望;()现规定至少正确完成其中道题才能进入下一轮比赛,请你根据所学概率知识进行预测,谁进入下一轮比赛的可能性较大,并说明理由.19.(本小题14分)已知点在椭圆上.()求椭圆的方程和离心率;()设直线(其中)

    5、与椭圆交于不同两点,直线分别交直线于点. 当的面积为时,求的值.20.(本小题15分)函数.()求曲线在点处的切线方程;()当时,求函数在上的最小值;()直接写出的一个值,使恒成立,并证明.21.(本小题14分)已知行列()的数表中,对任意的,都有.若当时,总有,则称数表为典型表,此时记.()若数表,请直接写出是否是典型表;()当时,是否存在典型表使得,若存在,请写出一个;若不存在,请说明理由;()求的最小值2022北京海淀高三(上)期末数学参考答案一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)答案CDCACBCBBB二、填空题共

    6、5小题,每小题5分,共25分。题号(11)(12)(13)(14)(15)答案,或或其它三、解答题共6小题,共85分。(16)(本小题共14分)解:()由,可得 因为为三角形内角,所以. ()选择条件. 由()知为锐角, 又因为,所以, 所以, 所以. 由正弦定理可得,所以, 所以的面积为. 说明:最后两步也可以如下计算:由正弦定理可得,所以, 所以的面积为. (17)(本小题14分)解:()证法1:因为长方体中,平面平面,平面平面, 平面平面,所以. 证法2:因为长方体中,平面平面,平面,所以平面, 因为平面,平面平面=,所以. ()因为,两两垂直,所以以点为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,

    7、轴建立空间直角坐标系如图所示: -5分则, 平面的法向量为, 设平面的法向量为,则,可得, 令,则,所以, 所以. 又因为二面角为锐角, 所以,二面角的余弦值为. 设点到平面的距离为,则. (18)(本小题14分)解:()法1:设甲在首轮比赛中正确完成的题数为,易知, 所以. 法2:. ()由题意得的取值范围是 , 所以的分布列为123所以 () 从正确完成实验操作的题数的均值方面分析,两人水平相当;因为,所以,从正确完成实验操作的题数的方差方面分析,乙的水平更稳定;因为,所以.从至少正确完成2题的概率方面分析,乙通过的可能性更大. (19)(本小题14分)解:()因为点在椭圆:上,所以将点代

    8、入椭圆方程,可得,所以. 所以椭圆的方程为. 因为,所以椭圆的离心率为. ()由可得 . 恒成立,设,则,. 直线AE的方程为, 令,得点M的纵坐标为, 同理可得点N的纵坐标为, 所以 . 因为的面积,所以,即, 化简得,解得或.所以的值为0或2. (20)(本小题15分)解:()因为, 所以且, 所以, 所以曲线在点处的切线方程为,即. ()当,时,因为, 所以在上单调递增, 所以在上的最小值为. ()取,以下证明恒成立. 令,即证恒成立.(1)当时,有, ,所以, 所以在上单调递减,所以在上恒成立. (2)当时,令.因为, ,所以, 所以在上单调递增,所以在上恒成立. 所以在上单调递增,

    9、所以在上恒成立. 综上,恒成立,所以恒成立. (21)(本小题14分)解:()B不是典型表,C是典型表; ()方法1. 不可能等于17. 以下用反证法进行证明.证明:假设,那么典型表中有19个0,在六行中至少有一行0的个数不少于4,不妨设此行为第一行,且不妨设. 此时前四列中,每一列的其余位置中都至少有4个1,所以前四列中至少有16个1,所以与中至多有一个1,即与中至少有一个为0,不妨设,则第五列的其余位置中至少又有5个1,所以前五列中已经有不少于21个1了,与矛盾!所以假设不成立. 所以不可能等于17. ()方法2.不可能等于17,以下证明.证明:因为当典型表中0的个数不超过18时,那么1的

    10、个数不少于18,所以;以下只需证明当典型表中0的个数大于18时,也有成立.当典型表中0的个数大于18时,在六行中至少有一行0的个数不少于4,不妨设此行为第一行. (1)若第一行0的个数为6,则,不合题意;(2)若第一行0的个数为5,不妨设,此时前5列中,每一列的其余位置都只能是1,所以.(3)若第一行0的个数为4,不妨设,此时前4列中,每一列的其余位置中都至少有4个是1,所以.综上,. 所以不可能等于17. ()方法1在水平方向的n行和竖直方向的n 列中,一定存在某一行或某一列中含有的1的个数最少,不妨设第一行中的1最少,并设其个数为,其中. 且不妨设第一行中前k个为1,后个为0.对于第一行中

    11、为1的这k列中,因为每一列都至少有k个1,所以共有个1;对于第一行中为0的列中,每一列中都至少有个1,所以. 以下记,(1)当n为偶数时,则对任意的恒成立.而且可以取到. 例如:当“且”和“且”时,其它位置为0,此时.(2)当n为奇数时,则对任意的恒成立. 而且可以取到. 例如:当“且”和“且”时,其它位置为0,此时.综上,当n为偶数时,的最小值为;当n为奇数时,的最小值为. ()方法2(整体分析,算两次)设典型表A 的第i列有个0,(),A 的第j列有个0,(),则典型表A 中0的总个数为.由定义可得 ,所以,所以.又因为, ,所以,所以,所以.(1)当n为偶数时,可以取到. 例如:当“且”

    12、和“且”时,其它位置为0,此时.(2)当n为奇数时,而且可以取到.例如:当“且”和“且”时,其它位置为0,此时.综上,当n为偶数时,的最小值为;当n为奇数时,的最小值为.()方法3在水平方向的n行和竖直方向的n 列中,一定存在某一行或某一列中含有的的个数最少,不妨设第一行中的1最少,并设其个数为,其中. 且不妨设第一行中前k个为1,后个为0.(1)当n为偶数时,若,则;若,对于第一行中为1的这k列中,因为每一列都至少有k个1,所以共有 个1;对于第一行中为0的列中,每一列中都至少有个1,所以.而且可以取到. 例如:当“且”和“且”时,其它位置为0,此时.(2)当n为奇数时,若,则;若,对于第一行中为1的这k列中,因为每一列都至少有k个1,所以共有个1;对于第一行中为0的列中,每一列中都至少有个1,所以. 而且可以取到.例如:当“且”和“且”时,其它位置为0,此时.综上,当n为偶数时,的最小值为;当n为奇数时,的最小值为.


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