1、2022北京海淀高三（上）期末数学试卷本试卷共9页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知集合，则 A.B. C.D. 2. 抛物线的准线方程为A.B.C. D.3. 复数的虚部为A.B.C.D. 4. 在的展开式中，的系数为A.B.C. D. 5. 已知角的终边在第三象限，且，则A. B.C.D. 6. 已知是等差数列，是其前项和. 则“”是“对于任意且，”的A.充分不必要条件B.必要
2、不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7. 若函数在上单调递增，则的最大值为A.B.C. D. 8. 已知圆过点，则圆心到原点距离的最小值为A. B.C.D. 9. 如图，是两个形状相同的杯子，且杯高度是杯高度的，则杯容积与杯容积之比最接近的是A.B.C.D. 10. 已知函数，. 若对于图象上的任意一点，在的图象上总存在一点，满足，且，则实数 A.B. C.D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11. 双曲线的渐近线方程为_.12. 已知甲盒中有个白球，个黑球；乙盒中有个白球，个黑球. 现从这个球中随机选取一球，该球是白球的概率是_，若选出
3、的球是白球，则该球选自甲盒的概率是_.13. 已知函数的值域为，的图象向右平移个单位后所得的函数图象与的图象重合，写出符合上述条件的一个函数的解析式：_.14. 若，且，则_，的最大值为_.15. 如图，在正方体中，为棱的中点. 动点沿着棱从点向点移动，对于下列三个结论：存在点，使得；的面积越来越小；四面体的体积不变.所有正确的结论的序号是_.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16.（本小题14分）在中，.（）求的大小；（）再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的面积.条件：；条件：；条件：.17.（本小题14分）如图，已知长方体中，
4、. 为的中点，平面交棱与点.（）求证：；（）求二面角的余弦值，并求点到平面的距离.18.（本小题14分）某班组织冬奥知识竞赛活动，规定首轮比赛需要从道备选题中随机抽取道题目进行作答. 假设在道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中道题且另外道题不能完成.（）求甲至少正确完成其中道题的概率；（）设随机变量表示乙正确完成题目的个数，求的分布列及数学期望；（）现规定至少正确完成其中道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由.19.（本小题14分）已知点在椭圆上.（）求椭圆的方程和离心率；（）设直线（其中）
5、与椭圆交于不同两点，直线分别交直线于点. 当的面积为时，求的值.20.（本小题15分）函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数在上的最小值；（）直接写出的一个值，使恒成立，并证明.21.（本小题14分）已知行列（）的数表中，对任意的，都有.若当时，总有，则称数表为典型表，此时记.（）若数表，请直接写出是否是典型表；（）当时，是否存在典型表使得，若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由；（）求的最小值2022北京海淀高三（上）期末数学参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案CDCACBCBBB二、填空题共
6、5小题，每小题5分，共25分。题号（11）（12）（13）（14）（15）答案，或或其它三、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题共14分）解：（）由,可得 因为为三角形内角，所以. （）选择条件. 由（）知为锐角， 又因为，所以， 所以， 所以. 由正弦定理可得，所以， 所以的面积为. 说明：最后两步也可以如下计算：由正弦定理可得，所以， 所以的面积为. （17）（本小题14分）解：（）证法1：因为长方体中，平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 证法2：因为长方体中，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面=，所以. （）因为，两两垂直，所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，
7、轴建立空间直角坐标系如图所示： -5分则， 平面的法向量为， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则，所以， 所以. 又因为二面角为锐角， 所以，二面角的余弦值为. 设点到平面的距离为，则. （18）（本小题14分）解：（）法1：设甲在首轮比赛中正确完成的题数为，易知， 所以. 法2：. （）由题意得的取值范围是 ， 所以的分布列为123所以 （） 从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；因为，所以，从正确完成实验操作的题数的方差方面分析,乙的水平更稳定；因为，所以.从至少正确完成2题的概率方面分析，乙通过的可能性更大. （19）（本小题14分）解：（）因为点在椭圆：上，所以将点代
8、入椭圆方程，可得，所以. 所以椭圆的方程为. 因为，所以椭圆的离心率为. （）由可得 . 恒成立，设，则，. 直线AE的方程为， 令，得点M的纵坐标为， 同理可得点N的纵坐标为， 所以 . 因为的面积，所以，即， 化简得，解得或.所以的值为0或2. （20）（本小题15分）解：（）因为， 所以且， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （）当，时,因为, 所以在上单调递增， 所以在上的最小值为. （）取，以下证明恒成立. 令，即证恒成立.（1）当时，有, ，所以， 所以在上单调递减，所以在上恒成立. （2）当时，令.因为, ，所以， 所以在上单调递增，所以在上恒成立. 所以在上单调递增，
9、所以在上恒成立. 综上，恒成立，所以恒成立. （21）（本小题14分）解：（）B不是典型表，C是典型表； （）方法1. 不可能等于17. 以下用反证法进行证明.证明：假设，那么典型表中有19个0，在六行中至少有一行0的个数不少于4，不妨设此行为第一行，且不妨设. 此时前四列中，每一列的其余位置中都至少有4个1，所以前四列中至少有16个1，所以与中至多有一个1，即与中至少有一个为0，不妨设，则第五列的其余位置中至少又有5个1，所以前五列中已经有不少于21个1了，与矛盾！所以假设不成立. 所以不可能等于17. （）方法2.不可能等于17，以下证明.证明：因为当典型表中0的个数不超过18时，那么1的
10、个数不少于18，所以；以下只需证明当典型表中0的个数大于18时，也有成立.当典型表中0的个数大于18时，在六行中至少有一行0的个数不少于4，不妨设此行为第一行. （1）若第一行0的个数为6，则，不合题意；（2）若第一行0的个数为5，不妨设，此时前5列中，每一列的其余位置都只能是1，所以.（3）若第一行0的个数为4，不妨设，此时前4列中，每一列的其余位置中都至少有4个是1，所以.综上，. 所以不可能等于17. （）方法1在水平方向的n行和竖直方向的n 列中，一定存在某一行或某一列中含有的1的个数最少，不妨设第一行中的1最少，并设其个数为，其中. 且不妨设第一行中前k个为1，后个为0.对于第一行中
11、为1的这k列中，因为每一列都至少有k个1，所以共有个1；对于第一行中为0的列中，每一列中都至少有个1，所以. 以下记，（1）当n为偶数时，则对任意的恒成立.而且可以取到. 例如：当“且”和“且”时，其它位置为0，此时.（2）当n为奇数时，则对任意的恒成立. 而且可以取到. 例如：当“且”和“且”时，其它位置为0，此时.综上，当n为偶数时，的最小值为；当n为奇数时，的最小值为. （）方法2（整体分析，算两次）设典型表A 的第i列有个0，（），A 的第j列有个0，（），则典型表A 中0的总个数为.由定义可得 ，所以，所以.又因为， ，所以，所以，所以.（1）当n为偶数时，可以取到. 例如：当“且”
12、和“且”时，其它位置为0，此时.（2）当n为奇数时，而且可以取到.例如：当“且”和“且”时，其它位置为0，此时.综上，当n为偶数时，的最小值为；当n为奇数时，的最小值为.（）方法3在水平方向的n行和竖直方向的n 列中，一定存在某一行或某一列中含有的的个数最少，不妨设第一行中的1最少，并设其个数为，其中. 且不妨设第一行中前k个为1，后个为0.（1）当n为偶数时，若，则；若，对于第一行中为1的这k列中，因为每一列都至少有k个1，所以共有 个1；对于第一行中为0的列中，每一列中都至少有个1，所以.而且可以取到. 例如：当“且”和“且”时，其它位置为0，此时.（2）当n为奇数时，若，则；若，对于第一行中为1的这k列中，因为每一列都至少有k个1，所以共有个1；对于第一行中为0的列中，每一列中都至少有个1，所以. 而且可以取到.例如：当“且”和“且”时，其它位置为0，此时.综上，当n为偶数时，的最小值为；当n为奇数时，的最小值为.
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