1、 第24讲以平面向量为背景的取值范围问题专题一、选择题1已知在平面四边形ABCD中，ABBC ，ADCD，BAD=120,AD=1，AB=2，点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为A 2116 B -34 C 54 D 2516【答案】C【解析】如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B作BNx轴，过点B作BMy轴，ABBC，ADCD，BAD=120，AD=1，AB=2，AN=ABcos60=1，BN=ABsin60=3，DN=1+1=2，BM=2，CM=MBtan30=3，DC=DM+MC=23，A1,0，B2,3，C0,23，设E0,m，AE=-1,m
2、，BE=-2,m-3，0m23，AEBE=2+m2-3m=m-322+54，当m=32时，取得最小值为54，故选C.2已知平面向量满足，则最大值为( )A B C D 【答案】D【解析】设， 与所成夹角为，则：，则向量的夹角为60，设，则，故：，设O到BC的距离为，则，由可知点A落在以O位圆心，4为半径的圆上，A到BC的距离的最大值为，则ABC的面积的最大值为： 故最大值为本题选择D选项.3已知为原点，点的坐标分别是和其中常数，点在线段上，且，则的最大值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】因为点的坐标分别是和所以又由点P在线段AB上，且所以则，当t=0时候取最大为.故选A.4设为单位向量
3、，非零向量.若的夹角为，则的最大值等于（ ）A 4 B 3 C 2 D 1【答案】C【解析】|= 只考虑x0，则=2，当且仅当=时取等号。的最大值等于2.故答案为：2.5若向量，且，则的最大值是A 1 B C D 3【答案】D【解析】 ,选D.6已知在三角形中， ，边的长分别为方程的两个实数根，若斜边上有异于端点的两点，且，则的取值范围为 （ ）A B C D 【答案】C【解析】有题可知.建立如图所示的坐标系，有点.设，则.所以.因为点到边的距离，所以的面积为定值.所以，故，故选C.7已知a,b是单位向量，ab=0.若向量c满足c-a-b=1,则c的取值范围是（ ）A 2-1,2+1 B 2-
4、1,2+2 C 1,2+1 D 1,2+2【答案】A【解析】设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x,y)，则(x-1)2+(y-1)2=1. 设x=1+cos, y=1+sin，则c=x2+y2=3+22sin(+4)，故2-1c2+1，故选A.8已知非零向量满足，且关于的方程有实根，则向量与夹角的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B【解析】设与的夹角为，因为，所以， 本题选择B选项.9设是单位圆上三点，若，则的最大值为（ ）A 3 B C D 【答案】C【解析】是半径为1的圆上三点， ，根据余弦定理可知边所对的圆心角为60则=30在中，根据正弦定理可知.的最大值为，故选C.10已知
5、向量与的夹角为， ， ， ， ， 在时取最小值，当时， 的取值范围为（ ）A B C D 【答案】D【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意有： ，由向量关系可得： ，则： ，整理可得： ，满足题意时： ，据此可得三角不等式： ，解得： ，即 的取值范围是 .本题选择D选项.11已知平面向量， ， ， ，且.若为平面单位向量， 的最大值为（ ）A B 6 C D 7【答案】C【解析】，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值，则的最大值为，故选C.12如图在中， 为边上一点（含端点）， ，则的最大值为（ ）A 2 B 3 C 4 D 5【答案】D【
6、解析】 , , ，因为，所以，即的最大值为 .13已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界）一动点，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C【解析】建立坐标系如图所示，设，其中， ，易知，而，若设，则，由于，所以的取值范围是，故选C.14已知为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（ ）A B C D 【答案】D【解析】法一：由得，即，所以，则有，又因为，所以，由于，所以有，解得： ，故选则D. 法二：设向量，设向量，则，所以有，即，所以点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，如下图，因为，可以看作圆上动点到原点距离的最大值、最小值，先求圆心到原点的距离为，所以， ，所以，故选择D.15如图
7、，扇形p中，OA=1,AOB=90，M是OB中点，m是弧AB上的动点，N是线段OA上的动点，则PMPN的最小值为A 0 B 1-52 C 5-32 D 1-52【答案】D【解析】 建立如图所示平面直角坐标系，设P(cost,sint),M(0,12),N(m,0)，则PM=(-cost,12-sint),PN=(m-cost,-sint)，故PMPN=1-(12sint+mcost)，因为0m1，所以PMPN=1-(12sint+mcost)1-(12sint+cost)；又因为1-(12sint+cost)=1-14+1sin(t+)=1-52sin(t+)(tan=2)，所以1-(12si
8、nt+cost)=1-52sin(t+)1-52（当且仅当sin(t+)=1取等号），应选答案D。二、填空题16， 分别为的中点，设以为圆心， 为半径的圆弧上的动点为 (如图所示)，则的取值范围是 _.【答案】【解析】以A 为原点，以AB为x轴，以AD 为y轴建立平面直角坐标系，设，则， ， ， ， ，（其中 ），当时， 取得最大值，当在点位置时 ， 取最小值 ，则的取值范围.17定义域为a,b的函数y=f(x)的图象的两个端点为A，B，M(x,y)是f(x)图象上的任意一点，其中x=a+(1-)b(R)，向量ON=OA+(1-)OB，其中O是坐标原点.若不等式|MN|k恒成立，则称函数f(x
9、)在a,b上“k阶线性近似”.若y=x+1x在1,2上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围是_【答案】32-2,+)【解析】由题意知a=1，b=2，A(1,2)，B(2,52)；直线AB的方程为y=12x+32；xM=+2(1-)=2-，ON=(1,2)+(1-)(2,52)=(2-,52-2)；M，N两点的横坐标相同，且点N在直线AB上；|MN|=|yM-yN|=|x+1x-12x-32|=|x2+1x-32|，x2+1x2x21x=2，x=2时取“=”；又232，|MN|=|x2+1x-32|32-2；要使|MN|k恒成立，k的取值范围是k32-2故答案为：32-2,+)18在ABC中，D
10、是BC的中点，H是AD的中点，过点H作一直线MN分别与边AB,AC交于M,N，若AM=xAB，AN=yAC，则x+4y的最小值是_【答案】94【解析】ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，且AM=xAB,AN=yAC，AH=AM+MH=xAB+MH=12AD=14AB+AC，MH=14-xAB+14AC，同理，NH=14AB+14-yAC，又MH与NH共线，存在实数，使MH=NH1+2，所以两圆外离，所以|PD|最小值为32-1-2=22-1，所以|PA+PB|的最小值为422.故答案为：422.28如图，已知扇形AOB的弧长为823，半径为42，点C在弧AB上运动，且点C不与点A,B重
11、合，则四边形OACB面积的最大值为_【答案】163【解析】已知扇形AOB的弧长为823，半径为42，所以AOB=23。由三角形的面积公式可知SOCA=12sinAOCOAOC=16sinAOC，SOCB=12sinBOCOBOC=16sinBOC，所以四边形OACB面积为SOCA+SOCB=16(sinAOC+sinBOC)，因为AOC+BOC=AOB=23，所以BOC=23-AOC，由此四边形OACB面积为SOCA+SOCB=16sinAOC+sin23-AOC=1632sinAOC+32cosAOC=163sin(AOC+6)，AOC（0，23），AOC+6（6，56），所以最大值为163
12、，当AOC=3时取等号。29若ABC中，AB=2,BC=8,B=45，D为ABC所在平面内一点且满足(ABAD)(ACAD)=4，则AD长度的最小值为_【答案】2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，B(-1,-1),C(7,-1)，设D(x,y)，所以AB=(-1,-1),AC=(7,-1),AD=(x,y)， 所以(ABAD)(ACAD)=(-x-y)(7x-y)=4，即(x+y)(y-7x)=4，令x+y=my-7x=n，则x=18(m-n)y=18(7m+n)，所以mn=4，所以AD=x2+y2=18(m-n)2+(7m+n)2=1850m2+2n2+12mn =2825m2+
13、n2+242810mn+24=2，当且仅当5m=n=25时，AD取得最小值2.30如图，棱形ABCD的边长为2，A=60,M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则AMAN的最大值为_【答案】9【解析】如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，A=60，M为DC的中点，故点A(0,0)，则B(2,0),C(3,3),D(1,3),M(2,3)，设N(x,y)，N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域.因为AM=(2,3),AN=(x,y)，则AMAN=2x+3y，令z=2x+3y，则y=-233x+
14、33z，由图像可得当目标函数z=2x+3y过点C(3,3)时，z=2x+3y取得最大值，此时z=23+33=9，故答案为9.31在ABC中，AB=3AC=9,ACAB=AC2，点P是ABC所在平面内一点，则当PA2+PB2+PC2取得最小值时，PABC=_【答案】24.【解析】由ACAB=AC2，得ACABcosA=AC2，ABcosA=AC=3，BCAC，即C=2，以C为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A3,0,B0,62，设Px,y，则PA2+PB2+PC2 =x-32+y2+x2+y-622+x2+y2=3x2-6x+3y2-122y+81=3x-12+y-222+18，当x=1,y=2
15、2时取得最小值，此时P1,22，则PAPB=2,-220,-62=24，故答案为24.32在ABC中,D为AB的中点,AC=2CD=4,ABC的面积为6,BECD且BE交CD于点E,将BCD沿CD翻折,翻折过程中，AC与BE所成角的余弦值取值范围是_【答案】0,34.【解析】：如图所示，根据题意，过A作CD的垂线，垂足为F,过B作CD的垂线，垂足为E,由题AC=2CD=4,ABC的面积为6，SACD=12SABC=12AFCD=3, BE=AF=3 ，设BE,AC 的夹角为，BEAC=BEAF+FC=BEAF-912cos9-34cos34,故C与BE所成角的余弦值取值范围是0,34.即答案为
16、0,34.33如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则APBP的取值范围是_； 若向量AC=DE+AP，则+的最小值为_. 【答案】0,1 12【解析】如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，结合题意，可知A(0,0),B(1,0),P(sin,cos)(0,2)，所以APBP=(cos,sin)(cos-1,sin) =cos(cos-1)+sinsin =cos2-cos+sin2 =1-cos，因为0,2，所以cos0,1，所以1-cos0,1，所以APBP的范围是0,1；根据AC=
17、DE+AP，可得(1,1)=(12,-1)+(cos,sin)，即1=12+cos1=-+sin，从而可以求得=2sin-2cossin+2cos,=3sin+2cos，所以+=2sin-2cos+3sin+2cos，因为0,2，所以sin0,1,cos0,1，所以当cos取得最大值1时，同时sin取得最小值0，这时+取得最小值为0-2+30+2=12，所以+的最小值是12.34已知a，b是两个单位向量，而c=13，ab=12，ca=1，cb=2，则对于任意实数t1,t2，c-t1a-t2b的最小值是_【答案】3【解析】|c-t1a-t2b|2=c2+t12a2+t22b2-2t1ac-2t2
18、bc+2t1t2ab=13+t12+t22-2t1-4t2+t1t2=(t1+t2-22)2+34(t2-2)2+99当且仅当t2=2，t1=0时取等号，即c-t1a-t2b的最小值是3.35如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC=DE+AP,则+最小值为_【答案】12【解析】以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设正方形ABCD的边长为1，则E（12，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0） 设 P（cos，sin），AC=(1,1).又向量所以，（12，-1）+（cos，sin）=（2+cos，-+sin），
19、2+cos1-+sin1，0,22sin-2cos2cos+sin32cos+sin，+=3+2sin-2cos2cos+sin=(-2cos-sin)+3sin+32cos+sin=-1+3sin+32cos+sin令f()=sin+12cos+sin,0,2，则f()=2-cos+2sin（2cos+sin）20所以当=0时，+取最小值为.36如图，正方形ABCD的边长为2，三角形DPC是等腰直角三角形（P为直角顶点），E，F分别为线段CD，AB上的动点（含端点），则PEPF的范围为_【答案】3,4【解析】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，正方形ABCD的边长为2，三角形DPC是等腰直角三角形，P(1,3)设E(a,2),F(b,0)，0a2,0b2，0ab4,0ab2，又PE=a-1,-1,PF=(b-1,-3)，PEPF=(a-1,-1)(b-1,-3)=ab-(a+b)+4，由基本不等式得ab-(a+b)+4ab-2ab+4=(ab-1)2+3，当且仅当a=b时等号成立。又0ab2，3(ab-1)2+34，故PEPF的范围为3,4
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