1、人教人教2019A版必修版必修 第一册第一册 4.4.2 对数函数的图像和性质 第第四四章章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 学习目标学习目标 1.通过具体对数函数图像，掌握对数函数的图像和性质 特征，并能解决问题。 2.知道同底的对数函数与指数函数互为反函数。 我们该如何去研究对数函数的性质呢？ 提出提出问题问题 列表 x 1/4 1/2 1 2 4 xy2log 2 1 0 -1 -2 -2 -1 0 1 2 xy21log 作图步骤： 1. 列表 2. 描点 3. 连线 问题1. 画出函数 和 的图象。 xy2logxy21log问题探究问题探究 描点 连线 2 1 -1 -2 1
2、 2 4 0 y x 3 2114y=log2x x 1/4 1/2 1 2 4 xy2logxy21log -2 -1 0 1 2 2 1 0 -1 -2 列表 问题探究问题探究 问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关 于 y轴对称对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如 和 ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？ xy2logxy21log描点 连线 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 2114y=log1/2x y=log2x x 1/4 1/2 1 2 4 xy2logxy21log -2 -1 0 1 2 2 1
3、0 -1 -2 列表 这两个函数的图象有什么关系呢？ 关于x轴对称 问题3：底数a（a，且a）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？ 由此你能概括出对数函数 （a，且a）的值域和性质吗？ logayx=问题探究问题探究 问题探究问题探究 y=logax（a1）的图象 问题探究问题探究 y=logax（0a 1 时，y 0; 当 0 x 1 时， y 1 时，y 0; 当 0 x 0. 对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质 对数函数的性质的助记口诀: 对数增减有思路, 函数图象看底数; 底数只能大于0, 等于1来也不
4、行; 底数若是大于1, 图象从下往上增; 底数0到1之间, 图象从上往下减; 无论函数增和减, 图象都过(1,0)点. 记忆口诀记忆口诀 例1：比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5 ； log23.4 1, 函数在区间（0，+）上是增函数； 3.48.5 例题解析例题解析 例1：比较下列各组中，两个值的大小： （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 解（2）：考察函数y=log 0.3 x , a=0.3 1, 函数在区间（0，+）上是减函数； 1.8 log 0.3 2.7 例题解析例题解析 例1：比较下列各组中，两个值的大小： （3）
5、log a 5.1与 log a 5.9 （a，且a） 解（3）：考察函数log a 5.1与 log a 5.9 可看作函数y=log a x的 两个函值 , 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论 当a 1时, 因为y=log a x是增函数， 且5.1 5.9，所以log a 5.1 log a 5.9 ； 当0 a 1时, 因为y=log a x是减函数， 且5.1 log a 5.9 ； 例题解析例题解析 归纳总结：当归纳总结：当底数相同底数相同, ,真数不同真数不同时时, ,利用对数函数利用对数函数的的增减性增减性比较大小。注意比较大小。注意: :
6、当底数不确定时当底数不确定时, ,要对要对底底数与数与1 1的大小进行的大小进行分类讨论分类讨论。 归纳总结归纳总结 练习练习1: 1: 比较下列各题中两个值的大小比较下列各题中两个值的大小: : loglog10106 6 loglog10108 8 loglog0.50.56 6 loglog0.50.54 4 loglog0.10.10.5 0.5 loglog0.10.10.60.6 loglog1.51.51.6 1.6 loglog1.51.51.41.4 跟踪训练跟踪训练 练习练习2：已知下列不等式：已知下列不等式，比较正数比较正数m，n 的大小：的大小： (1) log 3 m
7、 log 0.3 n (3) log a m loga n (0a log a n (a1) m n m n m n 跟踪训练跟踪训练 7.:lg,/.(1)(2)10/.pHpHpHHHpHHpH+-=-=例2溶液酸碱度的测量溶液酸碱度是通过刻画的的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔 升根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔 升，计算纯净水的值11(1)lglglg,pHHHH+ -+=-=解：根据对数的运算性质得., ,.1lg1), 0(其酸碱度就越小越大即溶液中氢离子的浓度减小增大所以减小也减小，
8、即减小，增大，上，在pHHpHHHH例题解析例题解析 . 7. 710lg10)2(77是即纯净水的时，当解：pHpHH.0 . 70 . 5之间之间应该在应该在的的国家规定，饮用纯净水国家规定，饮用纯净水 pH 7.:lg,/.(1)(2)10/.pHpHpHHHpHHpH+-=-=例2溶液酸碱度的测量溶液酸碱度是通过刻画的的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔 升根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔 升，计算纯净水的值 因此，函数因此，函数 y = logax (a0,且且a1)与指数函数与指数函数y
9、 = ax互为反函数。互为反函数。 已知已知函数函数 y=2x （xR ，y （0，+） 可可得到得到x=log2y ，对于任意一个，对于任意一个y（0，+），），通过式子通过式子x=log2y ，x在在R中都有唯一确定的值和它对应。也就中都有唯一确定的值和它对应。也就是说，可以把是说，可以把y作为自变量，作为自变量，x作为作为y的函数，这是我们就说的函数，这是我们就说x=log2y （y（0，+）是函数）是函数 y=2x （ xR） 的的反函数反函数。 但但习惯上习惯上，我们通常用，我们通常用x表示自变量，表示自变量，y表示函数。为此我们常常对调函数表示函数。为此我们常常对调函数x=log2
10、y 中的字母中的字母x，y，把它写成，把它写成y=log2x ,这样，对数函数这样，对数函数y=log2x （ x（0，+） ）是指数函数）是指数函数y=2x （xR ）的反函数。）的反函数。 反函数反函数 图图 象象 性性 质质 对数函数y=log a x (a0, a1) 指数函数y=ax (a0,a1) (4) a1时时, x0,0y0,y1 0a1时时,x1;x0,0y1时时,0 x1,y1,y0 0a1时时,0 x0; x1,y1时时, 在在R上是增函数；上是增函数； 0a1时时,在在(0,+)是增函数；是增函数； 0a1) y=ax (0a1) y=logax (0a1，故选 A.
11、 当堂达标当堂达标 2.当 a1 时，在同一坐标系中，函数 yax与 ylogax 的图象为( ) A B C D 解析：C (1)a1，01，yax是减函数， ylogax是增函数，故选C. 当堂达标当堂达标 3.已知f(x)loga|x|，满足f(5)1，试画出函数f(x)的图象. 解析： f(x)loga|x|，f(5)loga51，即 a5， f(x)log5|x|， f(x)是偶函数，其图象如图所示 当堂达标当堂达标 4函数 f(x)loga(2x5)的图象恒过定点_ 【答案】(3,0) 由 2x51 得 x3， f(3)loga10. 即函数 f(x)恒过定点(3,0) 当堂达标当
12、堂达标 5.比较下列各组数中两个值的大小: 6log, 7log)1(768 . 0log,log)2(23 解:(1)log67log661 log76log771 log67log76 (2)log3log310 log20.8log210 log3log20.8 方法方法:当当底数不同，真数不同时底数不同，真数不同时， 可可考虑这些数与考虑这些数与1或或0的大小的大小 。 当堂达标当堂达标 6:解不等式: 2log) 12(log2121x解：原不等式可化为：解：原不等式可化为： 212012xx2121x2121，原不等式的解集是当堂达标当堂达标 1对数函数的图象及性质 a 的范围 0a1 图象 定义域 (0，) 值域 R 性质 定点 (1,0)，即 x1时，y0 单调性 在(0，)上是减函数 在(0，)上是增函数 (1,0) 1 0 减函数 增函数 课堂小结课堂小结 2反函数 指数函数yax(a0，且 a1)和对数函数 ylogx(a0 且 a1)互为反函数 yax logax(a0且a1) 3.思想方法类比： 类比的思想方法；类比指数函数的研究方法； 数形结合思想方法是研究函数图像和性质；
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