1、人教人教2019A版必修版必修 第一册第一册 4.1.2 无理指数幂及其运算 第第四四章章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则，会根据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法则进行计算分数指数幂； 2.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。 3.体会指数幂的运算法则有有理数的范围推广到实数的范围。 学习目标学习目标 1分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：amn (a0，m，nN*，且 n1) 负分数指数幂 规定：amn1amn (a0，m，nN*，且 n1) 0 的分数指数幂 0 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指
2、数幂没有意义. nam 1nam 0 没有意义 温故知新温故知新 2有理数指数幂的运算性质 (1)arasars(a0，r，sQ) (2)(ar)sars(a0，r，sQ) (3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ) ars arbr 1思考辨析 (1)0 的任何指数幂都等于 0.( ) (2)523 53.( ) (3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a2a12.( ) 答案 (1) (2) (3) 小试牛刀小试牛刀 2425等于( ) A25 B.516 C.415 D.54 B 425542516，故选 B. 3已知 a0，则 a23等于( ) A. a3 B13a2 C.1a3 D
3、3a2 B a231a2313a2. 4(m12)4(1)0_. m21 (m12)4(1)0m21. 无理数指数幂无理数指数幂 无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 观察下表： 的是 否表示一个确定的实数？ 25 无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 探究新知探究新知 的过剩近似值的过剩近似值 的近似值的近似值 1.51.5 11.180 339 8911.180 339 89 1.421.42 9.829 635 3289.829 63
4、5 328 1.4151.415 9.750 851 8089.750 851 808 1.414 31.414 3 9.739 872 629.739 872 62 1.414 221.414 22 9.738 618 6439.738 618 643 1.414 2141.414 214 9.738 524 6029.738 524 602 1.414 213 61.414 213 6 9.738 518 3329.738 518 332 1.414 213 571.414 213 57 9.738 517 8629.738 517 862 1.414 213 5631.414 213 5
5、63 9.738 517 7529.738 517 752 225 的近似值的近似值 的不足近似值的不足近似值 9.518 269 6949.518 269 694 1.41.4 9.672 669 9739.672 669 973 1.411.41 9.735 171 0399.735 171 039 1.4141.414 9.738 305 1749.738 305 174 1.414 21.414 2 9.738 461 9079.738 461 907 1.414 211.414 21 9.738 508 9289.738 508 928 1.414 2131.414 213 9.73
6、8 516 7659.738 516 765 1.414 213 51.414 213 5 9.738 517 7059.738 517 705 1.414 213 561.414 213 56 9.738 517 7369.738 517 736 1.414 213 5621.414 213 562 225 由上可以看出：由上可以看出： 可以由可以由 的不足近似的不足近似值和过剩近似值进行无限逼近。值和过剩近似值进行无限逼近。 225(1)(0, ,);rsr saaaar sR(2) ()(0, ,);rsrsaaar sR(3) ()(0,0,).rrraba b abrR2.指数幂的运
7、算法则是： 指数幂的运算法则指数幂的运算法则 例 1 将下列根式化成分数指数幂的形式： (1) a a(a0)；(2)13x5x22；(3)4b2323(b0). 题型 1 根式与分数指数幂的互化 典典例解析例解析 ( )( )2311333222243513249233935555532132 12143 4391,111112,3.a aaaaxxxxxxxxbbb-骣琪-创-琪桫骣琪轾=?=臌琪桫=骣骣琪琪琪琪桫桫轾骣犏琪=犏琪犏桫犏臌答案（ ）原式原式原式规律方法 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母， 被开方数(式)的指数分数指数的分子 (2)在具体计算时，通常会把
8、根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题 归纳总结归纳总结 1将下列根式与分数指数幂进行互化 (1)a33a2；(2)a4b23ab2(a0，b0) .2,134611323124312243224311323323323bababaabbaabbaaaaaaa答案跟踪训练跟踪训练 题型 2、利用分数指数幂的运算性质化简求解 例例2、化简求值：、化简求值： ( )()( )() () ()( )12132103342314233611 0.02762562 23;42412;3 243 b .a ba ba b caab-骣琪-+-+琪桫?复典典例解析例解析 ( )()(
9、 )( )()()()( )122313233423432 13 1423422111111 11333663 66225110.3421235170.342164;2315241211;3331326332aba b caabcaccaa bbabb- - +- - - - -轾骣骣犏琪轾琪=-+-+琪臌琪犏桫桫臌=-+ -+ =-?=-=-=-骣骣琪琪=阜=?琪琪桫桫答案原式原式原式14633.2a b=规律方法 指数幂运算的常用技巧1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算2负指数幂化为正指数幂的倒数3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便
10、于用指数幂的运算性质提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 归纳总结归纳总结 2(1)计算：0.06413780(2)343160.75|0.01|12； (2)化简：3a92a3)3a73a13(a0) . 12,801431 . 08116110.41 . 02210.410613676369313213721233129311 -21275. 044313aaaaaa原式原式答案跟踪训练跟踪训练 1.a1a2和a1a2存在怎样的等量关系？ 题型 3 指数幂运算中的条件求值 提示：a1a2a1a24. 2已知 a1a的值，如何求 a1a的值？反之呢？ 提
11、示：设 a1am，则两边平方得 a1am22；反之若设 a1an，则 nm22，m n2.即 a1a n2. 典典例解析例解析 例例 3、已知 a12a124，求下列各式的值： (1)aa1；(2)a2a2. 思路探究：a12a124 两边平方，得 aa1的值， aa1两边平方，得 a2a2的值。 解 (1)将 a12a124 两边平方，得 aa1216，故 aa114. (2)将 aa114 两边平方，得 a2a22196，故 a2a2194. 解 2、令 aa1t，则两边平方得 a2a2t22， t22194，即 t2192，t 8 3，即 aa1 8 3. 解 1、由上题可知，a2a2(
12、aa1)(aa1) 8 314 112 3. 母题探究：母题探究：1.在本例条件不变的条件下，求在本例条件不变的条件下，求aa1的值的值 2在本例条件不变的条件下，求在本例条件不变的条件下，求a2a2的值的值 规律方法 解决条件求值的思路 1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值 2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用 归纳总结归纳总结 1下列运算结果中，正确的是( ) Aa2a3a5 B(a2)3(a3)2 C( a1)01 D(a2)3a6 答案答案 A a2a3a23a5；(a2)3
13、a6(a3)2a6；( a1)01，若成立，需要满足 a1，故选 A. 当堂达标当堂达标 2把根式 a a化成分数指数幂是( ) A(a) 32 B(a) 32 Ca32 Da32 答案答案 D 由题意可知 a0，故排除 A、B、C 选项，选 D. 3. 4若 10m2,10n3，则 103mn_. 答案答案 83 10m2，103m238，又 10n3， 所以 103mn103m10n83. 答案答案 111-44442811622.3168133轾骣骣骣犏琪琪琪=犏琪琪琪桫桫桫犏臌1-481_.16骣琪琪桫的值是 112222111122222111122221,2,903,12,5m5,
14、35aatattaaaaaamammaaaaa-轾+=+=臌+=-=+-= =?+=-=?答案 设则即由知，设则即综上可知，。2022/2/23 1.分数指数概念分数指数概念 (1);mmnnaa 11(2);mnmmnnaaa (a0,m,nN* *, n1) 2 2. .指数指数幂运算性质幂运算性质 ( )(0, ,);( ) ()(0, ,);( ) ()(0,0,).1 12 23 3rsrsrsrsrrra aaar sRaaar sRaba babrR (3)0(3)0的正分数指数幂为的正分数指数幂为0,00,0的负分数指数幂没有意义的负分数指数幂没有意义. . 课堂小结课堂小结
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