1、湖北省新高考联考协作体2022届高三下2月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 若集合，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2. 已知，则是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3. 我国古代数学名著数书九章是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类，全书采用问题集形式，并不按数学方法来分类题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献数书九章中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米150
2、0石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）A 148石B. 149石C. 150石D. 151石4. 已知，则，大小关系是（ ）A. B. C. D. 5. 某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 6. 已知抛物线上的点到焦点的距离为4，若点在上，则点到点距离的最小值为（ ）A. B. C. D. 7. 过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）A. B. 3C. D
3、. 8. 从1,2,3，9中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个都是奇数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数在上述事件中，是对立事件的是 ()A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 若复数满足，则（ ）A. B. C. D. 10. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 11. 表示不大于的最大整数，设函数（ ）A. 为增函数B. 为奇函数C. D. 12. 如图，在直角梯形
4、中，且E为的中点，M，N分别是的中点，将三角形沿折起，则下列说法正确的是（ ）A. 不论D折至何位置（不在平面内），都有平面；B. 不论D折至何位置（不平面内），都有；C. 不论D折至何位置（不在平面内），都有；D. 在折起过程中，一定存在某个位置，使三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在的展开式中，的系数是_（用数字作答）14. 已知向量，若，则实数_15. 已知数列的前项和，满足，设，则数列的前2021项和 _16. 已知函数则函数的最小值为_；若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.
5、 已知数列的前项和为，且对任意的，都满足，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的最小项的值18. 如图，在梯形中，（1）求的值；（2）若的面积为4，求的长19. 如图，直三棱柱中，四边形是正方形，、分别是、的中点（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值20. 2021年3月6日，习近平总书记强调，教育是国之大计、党之大计要从党和国家事业发展全局的高度，坚守为党育人、为国育才，把立德树人融入思想道德教育、文化知识教育、社会实践教育各环节，贯穿基础教育、职业教育、高等教育各领域，体现到学科体系、教学体系、教材体系、管理体系建设各方面，培根铸魂、启智润心某中学将立德树人融入到教育的各个
6、环节，开展“职业体验，导航人生”的社会实践教育活动，让学生站在课程“中央”为了更好了解学生的喜好情况，根据学校实际将职业体验分为：救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类四种职业体验类型，并在全校学生中随机抽取100名学生调查意向选择喜好类型，统计如下；类型救死扶伤的医务类除暴安良的警察类百花齐放文化类公平正义的法律类人数30202030在这100名学生中，随机抽取了3名学生，并以统计的频率代替职业意向类型的概率（假设每名学生在选择职业类型时仅能选择其中一类，且不受其他学生选择结果的影响）（1）求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选
7、择的概率；（2）设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机数，求的分布列与数学期望21. 已知点是椭圆的右焦点，点到直线的距离为，椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）动直线（不垂直于坐标轴）交椭圆于，不同两点，设直线和的斜率分别为，若，试探究该动直线是否过轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由22. 已知函数（是自然对数的底数）（1）若，求的单调区间；（2）若，试讨论在上的零点个数（参考数据：）湖北省新高考联考协作体2022届高三下2月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 若集合，若，则实数的取值范围是（
8、 ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合的包含关系，列出的不等关系，求解即可.【详解】集合，若则，即的取值范围是.故选：D.2. 已知，则是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式化简，再由三角函数在各象限的符号求解.【详解】由得，又，是第二象限角故选：B3. 我国古代数学名著数书九章是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类，全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献数书九章中有“米谷粒分”一题，现
9、有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）A 148石B. 149石C. 150石D. 151石【答案】A【解析】【分析】抽样调查中简单随机抽样，对象被抽到概率是相同的， 304粒夹谷30粒，1500石米夹谷的比例是相同的，计算即可.【详解】由题意可知这批米内夹谷约为（石）故选：A.4. 已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的单调性判断.【详解】，即；，即；，即，故选：C5. 某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一
10、个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设截面圆半径为，球的半径为，根据截面圆的周长求得，再利用求解.【详解】设截面圆半径为，球的半径为，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2，根据截面圆的周长可得，则，由题意知，即，该球的表面积为故选：A6. 已知抛物线上的点到焦点的距离为4，若点在上，则点到点距离的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据抛物线的定义求得点的坐标，然后结合圆的几何性质求得正确答案.【详解】依题意，故，则；由对称性
11、，不妨设，的圆心为，半径，故到点距离的最小值为故选：B7. 过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）A. B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得圆的圆心和半径，再根据关于，即关于轴对称，结合求解.【详解】如图所示：圆标准方程是，圆心为，半径为，关于对称，即关于轴对称，而，故选：D8. 从1,2,3，9中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个都是奇数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数在上述事件中，是对立事件的是 ()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】根据题意，从1，2，3，9中任取两数，其中可能的情况有“两个
12、奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况；依次分析所给的4个事件可得，、恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是奇数不是对立事件；、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件；、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件.故选C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得
13、5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 若复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】利用复数的模及除法运算求解.【详解】因为，所以，则，故选：AC10. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】求得双曲线的渐近线方程为，根据题意得出或，求得的值，可得出的值，进而可求得双曲线的离心率的值.【详解】如图所示，双曲线的渐近线方程为，若，则，又，；若，则，又，.故选：AD11. 表示不大于的最大整数，设函数（ ）A. 为增函数B. 为奇函数C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】由题设，即知A、C、D
14、的正误，利用奇偶性定义判断B的正误.【详解】由题意，时，得；时，得，不是增函数，故A错误，即为奇函数，故B正确；由解析式知，故C正确；，故D正确.故选：BCD.12. 如图，在直角梯形中，且E为的中点，M，N分别是的中点，将三角形沿折起，则下列说法正确的是（ ）A. 不论D折至何位置（不在平面内），都有平面；B. 不论D折至何位置（不在平面内），都有；C. 不论D折至何位置（不平面内），都有；D. 在折起过程中，一定存在某个位置，使【答案】ABD【解析】【分析】利用平面几何知识得到四边形为平行四边形，由此画出折叠后的立体图形，利用线线、线面位置关系的判定进行逐一分析判断，即可得到答案.【详解】
15、由已知，在未折叠的原梯形中，所以四边形为平行四边形，所以，折叠后如图所示，过点作，交于点，平面，平面，平面，连接， 因为M，N分别是的中点，所以为中点，故，平面，平面，平面，又，平面平面，又平面，平面，故A正确；由已知，所以，又，平面，平面，又平面，故B正确；假设，则与确定平面，从而平面，平面，这与和是异面直线矛盾，故C错误；当时，证明如下：因为平面，所以平面，又平面，所以，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查了线面平行、线线平行、线线垂直，涉及了平面中线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，解题的关键是能正确画出折叠后的立体图形.三、填空题：本题共4小题，每小题
16、5分，共20分13. 在的展开式中，的系数是_（用数字作答）【答案】40【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，得到的系数.【详解】的展开式的通项公式为：，令，解得：，的系数是故答案为：4014. 已知向量，若，则实数_【答案】【解析】【分析】直接利用向量数量积的坐标运算求解即可.【详解】，即，解得故答案为：.15. 已知数列的前项和，满足，设，则数列的前2021项和 _【答案】【解析】【分析】根据题意和公式求出，进而求出，利用裂项相消求和法即可求出结果.【详解】，时，也适合上式，故答案为：16. 已知函数则函数的最小值为_；若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是_【答案】 .
17、. 【解析】【分析】根据导数求出函数在每段上的最小值，比较大小即可；求出过点且与相切的直线的斜率，再由数形结合可得出与有4个交点时的斜率取值范围，即可得解.【详解】令，表示过定点，斜率为的动直线，当时，当时，；当，在上单调递减，在上单调递增，当时，故在上单调递减，在上单调递增，又，在同一坐标系内作出函数图象与直线，如图所示，关于的方程有四个不同的实根，等价于函数的图象与直线有四个不同的交点，当时，的图象在点处切线斜率为，该切线过点时，满足，解得，的图象过点的切线斜，当时，的图象在点处的切线斜率为，该切线过点时，解得，的图象过点的切线斜率为2，由函数图象知，当动直线在直线与所夹不含轴的对顶角区域
18、内转动（不含边界直线）时，函数的图象与直线有四个不同的交点，此时的取值范围是故答案为：；四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列的前项和为，且对任意的，都满足，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的最小项的值【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）利用条件得到首项，判断出等比数列，求出等比数列的通项公式；（2）写出的通项公式，得到，利用求出当时，结合，求出最小项的值.【小问1详解】由，知，解得：，数列 是以 2 为公比的等比数列.，【小问2详解】，易知，当时，即当时，又，当时，有最小值18. 如图，在梯形中，（1）求的值；（2）若的面积
19、为4，求的长【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理结合条件可得答案.（2）在梯形中，由条件可得，由（1）先求出，由，可求出，由面积公式可求出，再由余弦定理可得答案.【详解】（1）中，由正弦定理知，所以，因为，即（2）在中，则为锐角因为，所以，在梯形中，,则所以，显然为锐角，所以，因为，所以，所以，所以19. 如图，直三棱柱中，四边形是正方形，、分别是、的中点（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】(1)取的中点，连接、，根据正方形的性质与中位线的性质可得四边形为平行四边形，进而得出，结合线面平行的判定定理即可证明；
20、(2)建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出和平面的法向量，根据向量数量积即可求得结果.【小问1详解】取的中点，连接、，四边形为正方形，则且，为的中点，且，分别为、的中点，则且，且，故四边形为平行四边形，从而而平面，平面，平面；【小问2详解】以点为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系则、 从而，设平面的法向量为，由得，取，则，直线与平面所成角的正弦值为20. 2021年3月6日，习近平总书记强调，教育是国之大计、党之大计要从党和国家事业发展全局的高度，坚守为党育人、为国育才，把立德树人融入思想道德教育、文化知识教育、社会实践教育各环节，贯穿基础教育、职业教育、高等教育各
21、领域，体现到学科体系、教学体系、教材体系、管理体系建设各方面，培根铸魂、启智润心某中学将立德树人融入到教育的各个环节，开展“职业体验，导航人生”的社会实践教育活动，让学生站在课程“中央”为了更好了解学生的喜好情况，根据学校实际将职业体验分为：救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类四种职业体验类型，并在全校学生中随机抽取100名学生调查意向选择喜好类型，统计如下；类型救死扶伤的医务类除暴安良的警察类百花齐放的文化类公平正义的法律类人数30202030在这100名学生中，随机抽取了3名学生，并以统计频率代替职业意向类型的概率（假设每名学生在选择职业类型时仅能选择其中
22、一类，且不受其他学生选择结果的影响）（1）求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选择的概率；（2）设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机数，求的分布列与数学期望【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为【解析】【分析】首先根据条件写出选择每一类型职业的概率，再根据条件，分类求概率；（2）由条件可知，利用二项分布求分布列和数学期望.【详解】（1）由题设职业体验选择救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类的概率分别为、，则易知，所以救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两类职业类在这3名学生中都有选择的概率为：；（2）由题知选择除暴安良的
23、警察类的概率为，这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机数的所有可能值有：0，1，2，3，则，所以的分布列如下：0123所以的数学期望为【点睛】关键点点睛：本题考查独立事件的概率和二项分布，本题第一问的关键是根据条件整理将事件分类，再求其概率的和.21. 已知点是椭圆的右焦点，点到直线的距离为，椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）动直线（不垂直于坐标轴）交椭圆于，不同两点，设直线和的斜率分别为，若，试探究该动直线是否过轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由【答案】（1） （2）直线过定点【解析】【分析】(1)根据点到直线的距离公式和离心率即可求出c、a的值，进而求得椭圆方程；(2)设
24、，该直线过定点，设直线的方程，联立椭圆方程消去y，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理和两点坐标求直线斜率公式列出关于t的方程，解之即可.【小问1详解】由题意知，点到直线的距离，又椭圆的离心率，椭圆方程；【小问2详解】设该直线过定点，设直线的方程，联立消去整理得，设，则，即，解得，即直线过定点22. 已知函数（是自然对数的底数）（1）若，求的单调区间；（2）若，试讨论在上的零点个数（参考数据：）【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，令可得增区间，可得减区间；（2）利用导数判断在上单调递增，在上单调递减，又，从而分和两种情况讨论，根据函数
25、零点存在定理及函数的单调性，求出的单调区间，从而即可求解.【小问1详解】解：，则，定义域为，由，解得，可得，解得，由，解得，可得，解得，的单调递增区间为，单调递减区间为；【小问2详解】解：由已知，令，则，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减，当时，即时，使得，当时，；当时，在上单调递增，上单调递减，又，由函数零点存在性定理可得，此时在上仅有一个零点；若时，又在上单调递增，在上单调递减，而，使得， 且当、时，；当时，在和上单调递减，在上单调递增，又，由零点存在性定理可得，在和内各有一个零点，即此时在上有两个零点综上所述，当时，在上仅有一个零点；当时，在上有两个零点【点睛】关键点点睛：本题（2）问的解题关键是根据函数零点存在定理及的单调性，求得函数的单调区间.
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