1、小题压轴题专练11双曲线（2）1、 单选题1已知，分别为双曲线的左，右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若，则双曲线的离心率ABCD解：设，则，由双曲线的定义知，在中，由余弦定理知，化简得，或（舍负），即，即，离心率故选：2已知双曲线的左焦点为，若直线，与双曲线交于、两点，且，则双曲线的离心率的取值范围是ABCD解：如图，由直线，可得直线的倾斜角为，由对称性可得四边形为矩形，则，则，得，由在双曲线上，可得，整理可得：解得或（舍，即；又，即，得双曲线的离心率的取值范围是，故选：3设点，分别为双曲线的左、右焦点，点，分别在双曲线的左、右支上，若，且，则双曲线的离心率为ABCD解：设，则，即，则
2、，即，解得或若时，不满足（舍去），若时，满足，则，在中，即，整理得，即，得故选：4已知双曲线，其左、右焦点分别为，点的坐标为，双曲线上的点，满足，则与面积的差AB2C4D6解：双曲线的，、，点，故由余弦定理可得，直线的方程为把它与双曲线联立可得，故选：5已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该双曲线的离心率的取值范围是ABCD解：是以为底边的等腰三角形，在中，由余弦定理知，由双曲线的定义知，离心率，即故选：6已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线支上，满足，又直线与双曲线的左、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是ABCD解：以，为边，作平行四边
3、形，如图所示：则，又，所以，因为对角线相等的平行线四边形是矩形，所以，根据双曲线的性质，可知，因为，所以，即，在中，有，又，所以，所以，因为，即，所以，解得，又因为双曲线的离心率，所以，由题意知，双曲线的渐近线方程为，又直线与双曲线的左右两支各交于一点，所以直线的斜率大于双曲线的渐近线的斜率，所以，即，所以，解得（或舍去），综上所述，故选：7已知双曲线的左焦点为，是双曲线右支上的一点，点关于原点的对称点为，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线的离心率的取值范围是ABCD解：由题意可知，设双曲线右焦点为，则四边形为矩形，设，则，由双曲线定义可知：，故，设，则，故，又，所以故，故并且，故该双曲线的离
4、心率的取值范围是，故选：8设、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段垂直平分线经过，若和的离心率分别为、，则的最小值A2B4C6D8解：设椭圆的方程为，焦距为，双曲线的方程为，焦距为，、是椭圆和双曲线的公共焦点，线段垂直平分线经过，由，得，则，则，当且仅当时，上式等号成立的最小值为8故选：9已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为ABCD解：由双曲线的定义知，点在以为直径的圆上，焦点到渐近线的距离，在中，在中，由余弦定理知，化简得，解得或（舍，故选：10已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的
5、左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为ABCD解：，设，则，根据双曲线的定义，得，即，解得，即，中，在三角形中，可得，因此，该双曲线的离心率故选：2、 多选题11已知，分别为双曲线的左、右焦点，分别为其实轴的左、右端点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，则下列结论正确的有A离心率B点的横坐标为定值C若成立，则D若垂直轴于点，则解：，且，即选项正确；设内切圆与的三边分别相切于点，如图所示，由圆的切线长定理知，由双曲线的定义知，而，即点的横坐标为定值，故选项正确；设圆的半径为，即，即，即选项正确；假设点在第一象限，设其坐标为，则，垂直轴于点，若，则，化简得，此时点与重合，不符合题意，即选
6、项错误故选：12已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，成等比数列为双曲线的半焦距），点为双曲线右支上的点，点为的内心若成立，则下列结论正确的是A当轴时，B离心率CD点的横坐标为定值解：，成等比数列，对于，当轴时，点为，显然，即选项错误；对于，解得（舍负），即选项正确；对于，设圆的半径为，即，由双曲线的定义知，即，故选项正确；对于，设直线，和分别与圆相切于点，如图所示，由双曲线的定义和切线长的性质可知，即，点的横坐标为定值，即选项正确故选：13已知点是双曲线的右支上一点，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是A点的横坐标为B的周长为CD的内切圆半径为解：设的内心为，连接，双曲线中的
7、，不妨设，由的面积为20，可得，即，由，可得，故符合题意；由，且，可得，则，则，故符合题意；由，则的周长为，故符合题意；设的内切圆半径为，可得，可得，解得，故不符合题意故选：14已知，分别为双曲线的左右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为的内心，过原点作的平行线交于，若成立，则下列结论正确的有ABC点的横坐标为D解：，整理得为双曲线的离心率），设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，故，所以正确，错误设内切圆与、的切点分别为，可得，由，可得，可得的坐标为，即的横坐标为，故正确；设延长线与交于，可得，由，可得，由三角形的相似的性质可得，由可得故正确故选：3、 填空题15已知双曲线的左顶点为，分别为双曲
8、线左、右两支上的点，且轴，过，分别作直线，的垂线，两垂线相交于点，若，则解：由双曲线方程，得，由题意设，则点，得，且直线的斜率，则直线的方程为同理可得直线的方程为，联立，解得，则，结合，得，又，解得，则，故答案为：16如图，已知为双曲线的右焦点，过点的直线交两渐近线于，两点若，内切圆的半径，则双曲线的离心率为解：过作垂直渐近线于，则，在中，由余弦定理知，即，解得，设的内心为，作于，则，即，故答案为：17已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，的内切圆圆心为，半径为，的内切圆圆心为，半径为，则直线的方程为：；若，则解：的内切圆圆心为，边、上的切点分别为、，
9、则，由，得，则，即，记的横坐标为，则，于是，得，同理可得内心的横坐标也为，则有直线的方程为；设直线的倾斜角为，则，在中，在中，由，可得，解得，则直线的斜率为故答案为：；18已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为2；若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，是抛物线上一点，的延长线交轴的正半轴于点，交抛物线的准线于点，且，则解：由双曲线的一条渐近线方程为，得，则双曲线的离心率为；且双曲线的右焦点为，而抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，抛物线的焦点为，则，抛物线抛物线的焦点为，准线方程为，根据题意画出图形，根据，设，则，过作垂直于准线，垂足为，交轴于点，由抛物线的定义知，由，得，即，又，则故答案为：2；
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