1、小题压轴题专练4导数（2）1、 单选题1若关于的不等式在区间，为自然对数的底数）上有实数解，则实数的最大值是ABCD解：因为在区间，上有实数解，所以不等式变形为，则，设，下面求的最大值，则时，则在，单调递增；，单调递减，又（e）；，（e），则，即实数的最大值是故选：2若关于的不等式恒成立，则的最小整数值是A0B1C2D3解：若关于的不等式恒成立，问题等价于在恒成立，令，则，令，则，故在递减，不妨设的根是，则，则时，递增，时，递减，（1），（2），的最小整数值是1，故选：3已知函数，若存在，使得（a）（b）（c），则的最小值为A B1 CD无最小值解：由函数，画出图象：（a）（b）（c），由图可
2、知：，则设，可得函数在上单调递减，在，上单调递增故选：4函数在上的零点个数为A1B2C3D4解：由已知得在上的零点，由于不是零点，所以问题即转化为的根，也就是与在上图象交点的横坐标的图象容易画出令，显然时，故在上是减函数；当时，故在上是增函数且，时，；时，；（1），同一坐标系画出，在上的图象：可见，与有且只有两个交点，故在上的零点个数为2个故选：5已知函数，为自然对数的底数），使得成立，则实数的最小值为A1BC2D解：，为自然对数的底数），使得成立，即，使得成立，即，使得成立令，则，在上单调递增，又，（1），使得，此时取得极小值，也是最小值令，则，即，即，实数的最小值为1，故选：6已知函数，若
3、函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是A，B，C，D，解：由可得，设，则，令，在单调递减，在单调递增，故（1）当时，令，当时，单调递减，当时，单调递增，（1），此时在区间内无零点；当时，（1），此时在区间内有零点；当时，令，解得或1或，且，此时在单减，单增，单减，单增，当或时，此时在区间内有两个零点；综合知在区间内有零点故选：7设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是AB，CD，解：求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，在递减，在递增，显然在取得最小值，作的图象，并作的图象，注意到，（原定义域，这里为方便讨论，考虑，当时，直线与只有一个交点即只有一个零点（该零点值大
4、于；当时在两侧附近同号，不是极值点；当时函数有两个不同零点（其中一个零点等于，但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合故选：8设函数，为的导函数若和的零点均在集合，0，中，则A在上单调递增B在上单调递增C极小值为0D最大值为4【解答】解：，令得：或；得：，或；由知，和的零点构成的集合为，又和的零点均在集合，0，中，若，则，不符合题意，舍去；若，则，不符合题意，舍去；若，则，不符合题意，舍去；若，则，不符合题意，舍去；若，则，不符合题意，舍去；若，则，符合题意；故，令，得：或；，得：；为极小值点，排除；为极大值点，排除；在区间上单调递减，排除；在，单调递增，故在上单调递增，正确；故选：9已知函数
5、，若对于任意的，函数在，内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为ABCD解：函数在，内都有两个不同的零点，等价于方程在，内都有两个不同的根，所以当时，是增函数；当，时，是减函数，因此设，若在，无解，则在，上是单调函数，不合题意；所以在，有解，且易知只能有一个解设其解为满足，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数因为任意的方程在，有两个不同的根，所以：；，所以因为，所以，代入，得设，所以在上是增函数，而（1），由，可得（1），得由在上是增函数，得综上所述，故选：10已知函数有两个零点，则下列说法错误的是ABC有极大值点，且D解：由，可得，当时，在上单调递增，与题意不符；当时，可得当，解得：，可得
6、当时，单调递增，当时，单调递减，可得当时，取得极大值点，又因为由函数有两个零点，可得，可得，综合可得：，故正确；由上可得的极大值为，设，设，其中，可得，可得，可得，易得当时，当，故，故，由，易得，且，且时，单调递减，故由，可得，即，即：有极大值点，且，故正确，不正确；由函数有两个零点，可得，可得，可得，由前面可得，可得，故正确故选：2、 多选题11.已知定义在上的函数，定义函数（其中为实数），若对于任意的，都有，则整数可以为A4B5C6D7解：由题若对于任意的，都有，则有在恒成立，只需，令，在上单调递增，又由（3），（4），满足，即有，此时在上单调递减，在，上单调递增，所以，故选：12已知函数
7、，则以下结论正确的是A函数的单调减区间是B函数有且只有1个零点C存在正实数，使得成立D对任意两个正实数，且，若，则解：对于选项，定义域为，令，则，函数的单调减区间是，即选项正确；对于选项，恒成立，即函数在上单调递减，（1），（2），存在唯一的，使得，即选项正确；对于选项，若，则令，则，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减（1），即，在上单调递减，无最小值，不存在正实数，使得成立，即选项错误；对于选项，令，则，设，在上单调递减，即令，若，则成立，满足题意；若，显然有成立综上可知，选项正确故选：13定义在上的函数满足，（1），则下列说法正确的是A在处取得极小值，极小值为B只有一个零点C若在上恒成
8、立，则D（1）解：对，且，可得：可得： 故 为常数（1） 可得：（1） 求得：故： 整理可得：当，即 解得：，此时 单调递增，当，即， 解得：当，即 解得：，此时 单调递减 取得极大值， 故错误；对， ，画出 草图：如图根据图象可知： 只有一个零点，故说法正确；对，要保证 在 上恒成立即：保证 在 上恒成立，可得 在 上恒成立 故只需，令，当时， 当时，当时， ，故 说法正确，对，根据 单调递增， 单调递减，可得，又，又，根据，故：，故说法正确综上所述，正确的说法是：故选：14已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则A的最小值为B使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线C函数至少存在一个零点D使
9、得曲线在点处的切线也是曲线的切线解：令，得，令，得，则点、，如下图所示：由图象可知，其中，令，则，则函数单调递增，且，当时，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，选项正确；，则，曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，令，即，即，则满足方程，使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线，选项正确；构造函数，可得，函数在上为增函数，由于，（1），则存在，使得，可得，当时，；当时，函数没有零点，选项错误；设曲线在点处的切线与曲线相切于点，则曲线在点处的切线方程为，即，同理可得曲线在点处的切线方程为，消去得，令，则，函数在上为减函数，（1），则存在，使得，且当时，当时，函数在上为减函数，由零点存
10、定理知，函数在上有零点，即方程有解使得曲线在点处的切线也是曲线的切线故选：3、 填空题15已知函数，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是，解：，令，解得：，令，解得：或，故在，递减，在，递增，在，递减，而（1），故（1），若对任意的，都有成立，则只需即可；，时，在，递增，故，解得：（舍，时，令，解得：，令，解答：，故在递减，在递增，故（a），故，即，解得：，故答案为：，16若关于的不等式恒成立，则的最大值是解：由，原不等式可化为恒成立，设，则，当时，递增；，递减所以，在处取得极大值，且为最大值；且时，结合图象可知，的图象恒在的图象的上方，显然不符题意；当时，为直线的横截距，其最大值为的横截距
11、，再令，可得，所以取得最大值为此时，直线与在点处相切，的最大值为故答案为：17若对任意实数，恒成立，则解：设，则当，即时，则在，上单调递减，故，解得，所以不符合题意；当，即时，在上单调递减，在，上单调递增，则因为，所以令，不等式可转化为，设，则，令，得；令，得，则在上单调递减，在上单调递增；当时，有最小值0，即，因为，所以，此时，故故答案为：18已知方程的两根为，且曲线在处的切线斜率等于，则，1，2，的最小值是1解：不防设，对函数求导得又，整理得，令，易知，所以，所以，令，则，由得所以时，是减函数；时，是增函数又令容易得到所以函数在上递增，所以所以，所以因为函数在上递增，则，即，下面再证，令，所以，由得，当时，递减；时，递增函数的最小值为所以恒成立又因为可得即，所以（1），当且仅当时取等号因为函数在上递增，所以，即所以，1，2，的最小值为1故答案为：1
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