1、备战2022苏科版年中考数学分类精练20：等腰三角形一、选择题1、等腰三角形的一个内角是70，则它顶角的度数是（）A70B70或40C70或50D402、一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A7B9C12D9或123、如图，在ABC中ACBC，点D和E分别在AB和AC上，且ADAE连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若C40，则GAD的度数为（）A40B45C55D704、如图所示，已知，的垂直平分线交于点，则的度数为ABCD5、如图，ABC中，ABAC，ADBC于点D，DEAB于点E，BFAC于点F，DE2，则BF的长为（）A3B4C5D66、如图，在ABC中，ABAC，B
2、O、CO分别平分ABC、ACB，DE经过点O，且DEBC，DE分别交AB、AC于D、E，则图中等腰三角形的个数为（）A2B3C4D57、如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）ABCD8、如图，ABEACD，EBCDCB，则下列结论正确的有（）ABAC；ADAE；BDCE；CDBEA1个B2个C3个D4个9、如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，E在BC的延长线上，连接AE，E=2CAD，下列结论：ADBC；E=BAC；CE=2CD；AE=BE其中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10、如图，在第1个中，；在边上任取一点，延长到
3、，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的底角度数是 ABCD二、填空题11、如图，在ABC中，ABAC，A50，BD为ABC的平分线，则ABD_12、若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 13、若ABC的边AB8cm，周长为18cm，当边BC cm时，ABC为等腰三角形14、如图，在中，、分别是和的平分线，且，则的周长是 15、如图，ABC是等腰三角形，ABAC，A20，BP平分ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足BCD是等腰三角形，那么BDC的度数是 16、如图，ABC和DEF是两个等腰直角三角
4、形，BACDFE90，ABAC，FDFE，DEF的顶点E在边BC上移动，在移动过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA相交于点Q，当E为BC中点，连接AE、PQ，若AP3，AQ4，PQ5，则AC的长_17、如图，在中，M、N为边AB、BC上的两个动点，将沿MN翻折，翻折后点B的对应点D落在直线BC上方，连接CD，且，则当是等腰三角形时，_度18、如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM的周长的最小值为_三、解答题19、如图，在中，ABC和ACB的平分线交于点E，过
5、点E作MNBC交AB于M，交AC于N，求证：为等腰三角形20、如图，已知ABC90，D是直线AB上的点，ADBC，过点A作AFAB，并截取AFBD，连接DC，DF，CF，判断CDF的形状并证明21、如图，等边三角形，是中线，延长至，使求证：22、如图（1），在等边三角形中，是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接（1）和全等吗？请说明理由；（2）试说明：；（3）如图（2），将动点运动到边的延长线上，所作三角形仍为等边三角形，请问是否仍有？请说明理由 23、如图，在中，为边的中线，是边上一点（点不与点、重合），过点作于点，交的延长线于点（1）求证：AD/FG；（2）求证：；（3）若，且，直
6、接写出的长24、如图，是等腰直角三角形，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在射线上运动点出发后，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，使，连接，设点的运动时间为秒（1）的边上高为_；（2）求的长（用含的式子表示）；（3）就图中情形求证：；（4）当：时，直接写出的值25、如图，在等边ABC中，ABACBC6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts（1）当t为何值时，M、N两点重合；（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，AMN的形状会不断发生变化当t为何值时，
7、AMN是等边三角形；当t为何值时，AMN是直角三角形；（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰AMN时，求t的值26、如图1，在等边三角形中，于于与相交于点（1）求证：；（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点求证：（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点猜想：三条线段之间的数量关系，并证明备战2022苏科版年中考数学分类精练20：等腰三角形一、选择题1、等腰三角形的一个内角是70，则它顶角的度数是（）A70B70或40C70或50D40解：本题可分两种情况：当70角为底角时，顶角为18027040；70角为等腰三角形的顶角；因此
8、这个等腰三角形的顶角为40或70故选：B2、一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A7B9C12D9或12【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形【解答】解：当腰为5时，周长5+5+212；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12故选：C3、如图，在ABC中ACBC，点D和E分别在AB和AC上，且ADAE连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若C40，则GAD的度数为（）A40B45C55D70【分析】根据等
9、腰三角形和平行线的性质即可得到结论【解答】解：ACCB，C40，BACB（18040）70，ADAE，ADEAED（18070）55，GHDE，GADADE55，故选：C4、如图所示，已知，的垂直平分线交于点，则的度数为ABCD【解答】解：，是的垂直平分线，故选：5、如图，ABC中，ABAC，ADBC于点D，DEAB于点E，BFAC于点F，DE2，则BF的长为（）A3B4C5D6【分析】先得出AD是ABC的中线，得出SABC2SABD2ABDEABDE2AB，又SABCACBF，将ACAB代入即可求出BF【解答】解：ABC中，ABAC，ADBC，AD是ABC的中线，SABC2SABD2ABDE
10、ABDE2AB，SABCACBF，ACBF2AB，ACAB，BF2，BF4，故选：B6、如图，在ABC中，ABAC，BO、CO分别平分ABC、ACB，DE经过点O，且DEBC，DE分别交AB、AC于D、E，则图中等腰三角形的个数为（）A2B3C4D5解：ABAC，ABC是等腰三角形，ABCACB，DEBC，ADEAED，ADE是等腰三角形，BO、CO分别为ABC和ACB的平分线，DBOOBCABC，ECOOCBACB，DEBC，DOBOBC，EOCOCB，ABCACB，DBOOBCDOBOCBOCEEOC，ODBD，OEEC，OBOC，OBD，OEC，OBC是等腰三角形，图中有5个等腰三角形故
11、选：D7、如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）ABCD【答案】D【分析】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用因为ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有ADBCDB90，且ABDCBD30，ACBCDEDEC60，又CDCE，可得CDECED30，所以就有CBDDEC，即DEBD，BDECDBCDE120.由此得出答案解决问题【详解】解：ABC是等边三角形，ABC=ACB60，BD是AC上的中线，ADBCDB90，ABDCBD30，ACBCDEDEC60，又CDCE，CDECED30，CBDDEC，DE=BD，
12、BDECDBCDE120，故ABC均正确故选：D8、如图，ABEACD，EBCDCB，则下列结论正确的有（）ABAC；ADAE；BDCE；CDBEA1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】由ABEACD，EBCDCB，可得出ABCACB，再利用等角对等边可得出ABAC，可判断；由AA，ABAC及ABEACD，可证出ABEACD（ASA），再利用全等三角形的性质可得出ADAE，CDBE，可判断；由ABAC，ADAE，可得出BDCE可判断即可【详解】解：ABEACD，EBCDCB，ABE+EBCACD+DCB，ABCACB，ABAC，结论正确；在ABE和ACD中，ABEACD（ASA），ADAE，
13、CDBE，结论正确；ABAC，ADAE，ABADACAE，BDCE，结论正确正确的结论有4个故选择：D9、如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，E在BC的延长线上，连接AE，E=2CAD，下列结论：ADBC；E=BAC；CE=2CD；AE=BE其中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】等腰三角形的性质，“三线合一”，顶角的平分线，底边的高和底边上的中线，三条线互相重合便可推得.【详解】解：在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，ADBC；在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，BAC=2CAD，E=2CAD，E=BAC；无法证明CE
14、=2CD；在中，AB=AC，B=ACB，ACB=E+CAE，E=BAC，B=EAB，AE=BE10、如图，在第1个中，；在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的底角度数是 ABCD【解答】解：在中，是的外角，；同理可得，第个三角形中以为顶点的底角度数是故选：二、填空题11、如图，在ABC中，ABAC，A50，BD为ABC的平分线，则ABD_【答案】32.5【分析】由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的定义即可求解【详解】解：AB=AC，A=50，ABC=C=65，又BD为ABC的平分线，ABD
15、=32.5故答案为：32.512、若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 【解答】解：在等腰中，为腰上的高，当在内部时，如图1，为高，；当在外部时，如图2，为高，而，综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或故答案为：或13、若ABC的边AB8cm，周长为18cm，当边BC cm时，ABC为等腰三角形解：ABC的边AB8cm，周长为18cm，BC+AC10cm当ABBC8cm时，AC2cm，能构成三角形，符合题意当BCAC5cm时，能构成三角形，符合题意当ABAC8cm时，BC2cm，能构成三角形，符合题意综上所述，BC的长度是8cm或5cm或2cm时，ABC为等腰三
16、角形故答案是：8cm或5cm或214、如图，在中，、分别是和的平分线，且，则的周长是 【解析】、分别是和的角平分线，的周长故答案是：815、如图，ABC是等腰三角形，ABAC，A20，BP平分ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足BCD是等腰三角形，那么BDC的度数是 解：当BCCD时，如图所示，A20，ABAC，ABC80，BP平分ABC，CBD40，BCCD，CBDBDC40，当BDBC时，如图所示，A20，ABAC，ABC80，BP平分ABC，CBD40，BDBC，BDC70当DBDC时，如图所示，A20，ABAC，ABC80，BP平分ABC，CBD40，BDCD，BDC100，故答
17、案为：40、70或10016、如图，ABC和DEF是两个等腰直角三角形，BACDFE90，ABAC，FDFE，DEF的顶点E在边BC上移动，在移动过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA相交于点Q，当E为BC中点，连接AE、PQ，若AP3，AQ4，PQ5，则AC的长_【答案】12【分析】在CQ上截取CH，使得CH=AP，连接EH，证明CHEAPE（SAS），由全等三角形的性质得出HE=PE，CEH=AEP，证明HEQPEQ（SAS），得出HQ=PQ，则可求出答案【详解】解：在CQ上截取CH，使得CH=AP，连接EH，ABC是等腰直角三角形，B=C=EAP=45，AB=AC，E是
18、BC的中点，AE=CE，在CHE与APE中：，CHEAPE（SAS），HE=PE，CEH=AEP，HEQ=AEC-CEH-AEQ=AEC-AEP-AEQ=AEC-PEF=90-45=45，HEQ=PEQ=45，在HEQ与PEQ中，HEQPEQ（SAS），HQ=PQ，AC=AQ+QH+CH=AQ+PQ+AP=4+5+3=12，故答案为：1217、如图，在中，M、N为边AB、BC上的两个动点，将沿MN翻折，翻折后点B的对应点D落在直线BC上方，连接CD，且，则当是等腰三角形时，_度【答案】40【分析】此题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，灵活掌握分类讨论思想是解
19、答此题的关键连接BD，根据折叠性质可得，得 ，再分DN=DC，DN=NC，NC=DC三种情况讨论可得结果【详解】解：连接BD，如图，由折叠可得，MB=MD，BN=DN， ， 是等腰三角形，分三种情况讨论：当NC=DC时， 又 整理得， ，故此种情况不存在；当DN=DC时， ，解得，；AMD20，此种情况须舍去；当DN=NC时， ，解得， ， 综上，的度数为 故答案为：18、如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM的周长的最小值为_【答案】9【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的
20、性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题.能根据轴对称的性质得出AM=MC，并由此得出MC+DM=MA+DMAD是解决此题的关键.连接AD，AM，由于ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故ADBC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DMAD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论【详解】连接AD，MAABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABCBCAD6AD18，解得AD6，EF是线段AC的垂直平分线，点A关于直线EF的对称点为点C，MAMC，MC+DMMA
21、+DMAD，AD的长为CM+MD的最小值，CDM的周长最短（CM+MD）+CDAD+BC6+66+39故答案为9三、解答题19、如图，在中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，求证：为等腰三角形【答案】证明见解析【分析】根据角平分线的性质得到MBEEBC，再根据平行线的性质得到EBCMEB，通过等价代换得到MEBMBE，即可证明为等腰三角形【详解】解：BE是ABC的平分线，MBEEBC又MNBC，EBCMEBMEBMBE为等腰三角形20、如图，已知ABC90，D是直线AB上的点，ADBC，过点A作AFAB，并截取AFBD，连接DC，DF，CF，判断CDF的形
22、状并证明【分析】利用SAS证明AFD和BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FDDC，即可判断三角形的形状【解答】解：CDF是等腰直角三角形，理由如下：AFAD，ABC90，FADDBC，在FAD与DBC中，FADDBC（SAS），FDDC，CDF是等腰三角形，FADDBC，FDADCB，BDC+DCB90，BDC+FDA90，CDF是等腰直角三角形21、如图，等边三角形，是中线，延长至，使求证：【分析】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质和判定进行推理证明利用等腰三角形三线合一得出，再结合等腰三角形的底角相等和外角的性质得出，利用等角对等边证
23、明即可【详解】解：是等边三角形，是中线，22、如图（1），在等边三角形中，是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接（1）和全等吗？请说明理由；（2）试说明：；（3）如图（2），将动点运动到边的延长线上，所作三角形仍为等边三角形，请问是否仍有？请说明理由 【答案】（1）和全等，理由见解析；（2）过程见解析；（3）仍有，理由见解析.【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质.（1）要证两个三角形全等，已知的条件有：AC=BC，CE=CD，且BCD和ACE都是60减去一个ACD，即可证明两个三角形全等；（2）根据DBCEAC可得EAC=B=60，又ACB=60，所
24、以EAC=ACB，即可得出结论；（3）结合（1）（2）问的思路证明即可得出答案.【详解】解：（1）和全等证明：ABC和DEC均为等边三角形，ACB=ECD=60，BC=AC,CD=CE又ACB=BCD+ACD，ECD=ECA+ACD，BCD=ECA在DBC和EAC中DBCEAC（SAS）（2）DBCEACEAC=B=60又ACB=60，EAC=ACB，AEBC（3）仍有AEBC理由：ABC和DEC均为等边三角形，ACB=ECD=60，BC=AC,CD=CEBCA+ACD=ACD+DCE，BCD=ACE在DBC和EAC中DBCEAC（SAS）EAC=B=60又ACB=60，EAC=ACBAEBC
25、23、如图，在中，为边的中线，是边上一点（点不与点、重合），过点作于点，交的延长线于点（1）求证：AD/FG；（2）求证：；（3）若，且，直接写出的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CG=7【分析】本题考查平行线的判定与性质及等腰三角形的性质及判定，等腰三角形底边中线、底边上的高线及顶角的角平分线“三线合一”；熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键（1）根据等腰三角形“三线合一”性质可得，由即可得出结论；（2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，根据平行线的性质可得，可得，即可证明；（3）根据，AB=AC=4可得，利用（2）结论可得出AG的长，进而可得答案【详解】（
26、1），为的中点，；（2），为的中点，；（3），AB=AE+BE，由（2）可知，24、如图，是等腰直角三角形，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在射线上运动点出发后，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，使，连接，设点的运动时间为秒（1）的边上高为_；（2）求的长（用含的式子表示）；（3）就图中情形求证：；（4）当：时，直接写出的值【答案】（1）3；（2）当时，当时，；（3）见解析；（4）的值为或【分析】本题考查三角形上的动点问题和等腰三角形性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和对动点问题要进行分类讨论是解题的关键.（1）由题意利用等腰三角形三线合一结合直角三角形斜边
27、中线是斜边的一半进行分析计算即可；（2）根据题意先得出点在线段上运动的时间，进而即可用含的式子表示的长；（3）根据题意直接利用全等三角形的SAS进行分析求证即可；（4）由题意分当：时，当时，以及当：时，当时，两种情况进行分析求解即可.【详解】解：（1） 是等腰直角三角形，的边上高，故答案为：；（2），动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在射线上运动，点在线段上运动的时间为秒，当时，当时，；（3）证明：是等腰直角三角形，在与中，；（4），当：时，当时，解得：，当：时，当时，解得：，综上所述，的值为或25、如图，在等边ABC中，ABACBC6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边
28、运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts（1）当t为何值时，M、N两点重合；（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，AMN的形状会不断发生变化当t为何值时，AMN是等边三角形；当t为何值时，AMN是直角三角形；（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰AMN时，求t的值【答案】（1）当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2），AMN是等边三角形；当或时，AMN是直角三角形；（3）【分析】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，将动点问题
29、转化为线段的长是解题的关键（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于A等于60，所以只要AMAN三角形ANM就是等边三角形；分别就AMN90和ANM90列方程求解可得；（3）首先假设AMN是等腰三角形，可证出ACMABN，可得CMBN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x1+62x，解得：x6，即当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2
30、）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图1，AMt，AN62t，ABACBC6cm，A60，当AMAN时，AMN是等边三角形，t62t，解得t2，点M、N运动2秒后，可得到等边三角形AMN当点N在AB上运动时，如图2，若AMN90，BN2t，AMt，AN62t，A60，2AMAN，即2t62t，解得；如图3，若ANM90，由2ANAM得2（62t）t，解得综上所述，当t为或时，AMN是直角三角形；（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图4，假设AMN是等腰三角形，ANAM，AMNANM，AMCANB，ABB
31、CAC，ACB是等边三角形，CB，在ACM和ABN中，AMCANB，CB，ACAB，ACMABN（AAS），CMBN，t6182t，解得t8，符合题意所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形26、如图1，在等边三角形中，于于与相交于点（1）求证：；（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点求证：（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点猜想：三条线段之间的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OF=OG+OA，理由见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含30 角的直角三角形
32、，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键（1）由等边三角形的可求得OAC=OAB=OCA=OCB=30，理由含30角的直角三角形的性质可得OC=2OD，进而可证明结论；（2）理由ASA证明CGBCGF即可证明结论；（3）连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，可证得OMG是等边三角形，进而可利用ASA证明GMFGOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可说明猜想的正确性【详解】解：（1）证明：ABC为等边三角形，AB=BC=AC，BAC=ACB=60，ADBC，CEAB，AD平分BAC，CE平分ACB，OAC=OAB=OCA=OCB=30，
33、OA=OC，在RtOCD中，ODC=90，OCD=30，OC=2OD，OA=2OD；（2）证明：AB=AC=BC，ADBC，BD=CD，BG=CG，GCB=GBC，CG平分BCE，FCG=BCG=BCF=15，BGC=150，BGF=60，FGC=360-BGC-BGF=150，BGC=FGC，在CGB和CGF中，CGBCGF（ASA），GB=GF；（3）解：OF=OG+OA理由如下：连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，CA=CB，CEAB，AE=BE，OA=OB，OAB=OBA=30，AOB=120，AOM=BOM=60，OM=OG，OMG是等边三角形，GM=GO=OM，MGO=OMG=60，BGF=60，BGF=MGO，MGF=OGB，GMF=120，GMF=GOB，在GMF和GOB中，GMFGOB（ASA），MF=OB，MF=OA，OF=OM+MF，OF=OG+OA
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