备战2022年苏科版中考数学分类精练21：直角三角形与勾股定理（含答案）

1、2022年苏科版中考数学分类精练21：直角三角形与勾股定理一、选择题1、如图，在ABC中，ACB90，D是AB的中点，且DCAC，则B的度数是（）A25B30C45D60 2、下列四组数据中，不是勾股数的是（）A5，12，13B4，7，9C6，8，10D9，40，413、在ABC中，A，B，C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）A如果AB=C，那么ABC是直角三角形B如果a2=b2c2，那么ABC是直角三角形，且C=90C如果ABC=132，那么ABC是直角三角形D如果a2b2c2=91625，那么ABC是直角三角形4、在平面直角坐标系中，点P(，3)到原点的距离是( )AB4

2、CD25、已知的三边长分别为，2，则的面积为（ ）ABC3D6、如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） ABCD7、如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ） A厘米B10厘米C厘米D8厘米8、如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，DAC45，BAC30，E是AC的

3、中点，连接BE，BD则DBE的度数为（）A10B12C15D189、（2021扬州江都区教育局九年级模拟）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点C折叠纸片，使点C落在MN上的点F处，折痕为BE若AB的长为1，则FM的长为（ ）A1BCD10、（2020山东烟台市中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处若AB3，BC5，则tanDAE的值为（ ）ABCD二、填空题11、如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边AC的中点O处，已知AC6m，则点B到目标物的距离是 m12、如图，在

4、RtABC中，C90，点D在线段BC上，且B30，ADC60，BC，则BD的长度为_13、如图所示，在四边形中，连接，若，则长度是_14、如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端下落了_米15、如图，等腰中，于，且则_16、如图，已知ABC中，ACB90，O为AB的中点，点E在BC上，且CEAC，BAE15，则COE 度17、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合若BC=8，CD=6，则CF的长为_18、如图，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形

5、与中间的小正方形拼成的一个大正方形连结，交于点P，若正方形的面积为48，则的值是_三、解答题19、如图，把一块直角三角形（ABC，ACB90）土地划出一个三角形（ADC）后，测得CD3米，AD4米，BC12米，AB13米（1）求证：ADC90；（2）求图中阴影部分土地的面积20、如图，笔直的公路上A、B两点相距22km，C、D为公交公司两停车场，CAAB于点A，DBAB于点B，已知CA=6km，DB=16km，现在要在公路的AB段上建一个加油站M，使得C、D公交公司两停车场到加油站M的距离CM=DM，则加油站M应建在离B点多远处？21、如图，在一条东西走向的河流一侧有一工厂C，河边原有两个取水

6、点A和B，且ABAC工业园区规划改造后，原道路AC不再使用，现决定在河边新建一个取水点P，并新修一条路CP，测得CB6千米，CP4.8千米，PB3.6千米（1）CP是否为从工厂C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长22、（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接 _度；（答案直接填写在横线上）_ _（答案直接填写在横线上）;求的度数（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，连接当满足什么条件时，请给出证明23、如图，每个小方格都是边长为1的正方形（1）求图中格点四边形ABCD的面积；（2）求四边形ABCD的周长；（3）求ADC的度数24、在中，为上一点，连接，将绕点逆

7、时针旋转至，连接，过作交于，连接（1）求证：；（2）求证：； 25、已知，ABC中，AC=BC，ACB=90，D为AB的中点，若E在直线BC上任意一点，DFDE，交直线AC于F点G为EF的中点，延长CG交AB于点H（1）如图，若E在线段BC上，证明DE=DF；证明CG=GH；（2）若E在射线CB上，CG=GH还成立吗？直接写出结论，不需说明理由；（3）若E在直线BC上，BE=3，CH=5则线段BC=_ 26、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，若在ABC中，C=90，则AC2+BC2AB2我们定义为“商高定理”（1）如图1，在ABC中，C=90中，BC4，AB5，试求AC_

8、；（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，ACBD试证明：AB2+CD2AD2+BC2；（3）如图3，分别以RtACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE已知BC4，AB5，求GE2的值2022年苏科版中考数学分类精练21：直角三角形与勾股定理一、选择题1、如图，在ABC中，ACB90，D是AB的中点，且DCAC，则B的度数是（）A25B30C45D60 解：在ABC中，ACB90，D是AB的中点，ADCD，DCAC，ADCDAC，ACD是等边三角形，A60，B180906030，故选：B2、下列四组数据中，不是勾股数的是（）A5

9、，12，13B4，7，9C6，8，10D9，40，41【答案】B【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方【详解】A、52+122132，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；B、42+7292，不能构成直角三角形，不是勾股数，符合题意；C、62+82102，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；D、92+402412，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意故选：B3、在ABC中，A，B，C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）A如果AB=C，那么ABC是直角三角形B如果a2=b2c2，那么

10、ABC是直角三角形，且C=90C如果ABC=132，那么ABC是直角三角形D如果a2b2c2=91625，那么ABC是直角三角形【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形定义即可【详解】解：A、A-B=C，ABC，ABC=180，A=90，ABC是直角三角形，此选项正确；B、如果a2=b2-c2，a2+c2=b2，ABC是直角三角形且B=90，此选项不正确；C、如果A：B：C=1：3：2，设A=x，则B=3x，C=2x，则x+3x+2x=180，解得：x=30，则3x=90，ABC是直角三角形，此选项正确；D、如果a2：b2：c2=9：16：25，则a2+b2=c2，

11、ABC是直角三角形，此选项正确；故选：B4、在平面直角坐标系中，点P(，3)到原点的距离是( )AB4CD2【答案】A【分析】本题主要考查平面直角坐标系中，两点间的距离公式，掌握“若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=”，是解题的关键根据平面直角坐标系中，两点间的距离公式，即可求解【详解】P(，3)，原点坐标为（0，0），点P(，3)到原点的距离=，故选A5、已知的三边长分别为，2，则的面积为（ ）ABC3D【答案】D【分析】本题考查勾股定理逆定理的运用，难度不大解题的关键在于用勾股定理逆定理判定三角形形状由勾股定理的逆定理和三角形三边长度可知是一个直角三角形，且长为的边是斜边，再结合

12、三角形面积公式即可求解【详解】解：设三角形三边分别为，且，为最长边是以为斜边的直角三角形故答案是：D6、如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） ABCD【答案】D【分析】由题意ACB为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的长，进一步求得风车的外围周长【详解】解：依题意ACB为直角，AD=6，CD=6+6=12，由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，BD2=122+52=169，所以BD=13，所以“数学风车”的周长是：(13+6)4=76故

13、选：D7、如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ） A厘米B10厘米C厘米D8厘米【答案】B【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.8、如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，DAC45，BAC30，E是AC的中点，连

14、接BE，BD则DBE的度数为（）A10B12C15D18【解答】解：连接DE，ADC90，E是AC的中点，DE=ACAE，EDADAC45，DECEDA+DAC90， 同理，BEC60，DEB90+60150，DE=AC，BE=AC，DEBE，DBE=（180150）15，故选：C9、（2021扬州江都区教育局九年级模拟）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点C折叠纸片，使点C落在MN上的点F处，折痕为BE若AB的长为1，则FM的长为（ ）A1BCD【答案】B【分析】根据翻折得到，在中，可利用勾股定理求出FM的值【详解】解：四边形是正方形，由折叠的性质可知，在中，

15、由勾股定理得：故选：B10、（2020山东烟台市中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处若AB3，BC5，则tanDAE的值为（ ）ABCD【答案】D【分析】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键先根据矩形的性质和折叠的性质得AFADBC=5，EFDE，在RtABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CEx，则DEEF3x，然后在RtECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解【详解】解：四边形AB

16、CD为矩形，ADBC5，ABCD3，矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，AFAD5，EFDE，在RtABF中，BF，CFBCBF541，设CEx，则DEEF3x在RtECF中，CE2+FC2EF2，x2+12（3x）2，解得x，DEEF3x，tanDAE，故选：D二、填空题11、如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边AC的中点O处，已知AC6m，则点B到目标物的距离是 m解：ABC90，点O是斜边AC的中点，BOAC3m，故答案为：312、如图，在RtABC中，C90，点D在线段BC上，且B30，ADC60，BC，则BD的长度为_【

17、答案】【分析】此题主要考查了含30角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC=可得答案【详解】解：C90，ADC60，DAC30，CDADB30，ADC60，BAD30，BDAD，BD2CDBC，CD2CD，CD，DB，故答案为：13、如图所示，在四边形中，连接，若，则长度是_【答案】10【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出【详解】解：在中，在中，故答案为：1014、如图，一个梯子长

18、为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端下落了_米【答案】1【分析】在中用勾股定理可得AC，梯子AB=DE长，在中用勾股定理可得CE的长，即可计算AE【详解】解：中，中，梯子AB=DE长，；故答案为：115、如图，等腰中，于，且则_【答案】【分析】在RtBCD中，由勾股定理求出CD，再设AD=x，则AB=AC=AD+CD=6+x，最后在RtABD中由勾股定理求出x即可求解【详解】解：在RtBCD中，由勾股定理可知，设AD=x，则AB=AC=AD+CD=x+6，在RtABD中，由勾股定理可知AB=AD+BD，代入数据：(x+6)=

19、x+8，解得x=，故答案为：16、如图，已知ABC中，ACB90，O为AB的中点，点E在BC上，且CEAC，BAE15，则COE 度【解答】解：ACB90，CEAC，CAEAEC45，BAE15，CAB60，B30，ACB90，O为AB的中点，COBOAO=AB，AOC是等边三角形，OCBB30，ACOCCE，COECEO=（18030）75， 故答案为：7517、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合若BC=8，CD=6，则CF的长为_【答案】【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题【详解】解：是的中点，由折叠的性质知：，设，则， 在中，根据勾股定理得：，即：，

20、解得，故答案为：18、如图，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形连结，交于点P，若正方形的面积为48，则的值是_【答案】16【分析】先证明AEPCGM（ASA），则SAEP=SCGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE=x，BE=8-x，根据勾股定理得：AE2+BE2=AB2，x2+（8-x）2=48，则2x2-16x=-16，整体代入可得结论【详解】解：正方形ABCD的面积为48，AB2=48，设AE=x，AE+BE=8，BE=8-x，RtAEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，x2+（8-

21、x）2=48，2x2-16x=-16，AHBE，BECF，AHCF，EAP=GCM，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，AEBCGD，AE=CG，AEPCGM（ASA），SAEP=SCGM，EP=MG，SCFP-SAEP=SCFP-SCGM=S梯形FPMG=（MG+PF）FG=EFFG=S正方形EHGF，S矩形EHGF=S正方形ABCD-4SAEB=48-4x（8x）=2x2-16x+48=-16+48=32，则SCFP-SAEP的值是16；故答案为：16三、解答题19、如图，把一块直角三角形（ABC，ACB90）土地划出一个三角形（ADC）

22、后，测得CD3米，AD4米，BC12米，AB13米（1）求证：ADC90；（2）求图中阴影部分土地的面积【分析】（1）先由勾股定理求出AC5米，再由勾股定理的逆定理证出ADC90即可；（2）由三角形面积公式求解即可【解答】（1）证明：ACB90，BC12米，AB13米，CD3米，AD4米，AD2+CD2AC225，ADC90；（2）解：图中阴影部分土地的面积=ACBC-ADCD=512-4324（平方米）20、如图，笔直的公路上A、B两点相距22km，C、D为公交公司两停车场，CAAB于点A，DBAB于点B，已知CA=6km，DB=16km，现在要在公路的AB段上建一个加油站M，使得C、D公交

23、公司两停车场到加油站M的距离CM=DM，则加油站M应建在离B点多远处？【答案】6km【分析】根据CM=DM，CAAB于点A，DBAB于点B，可得A =B=90，由勾股定理得AC2+AM2=BM2+BD2，设BM=xkm，AM=(22-x)km， 可得方程，解之即可【详解】解：使得C、D公交公司两停车场到加油站M的距离相等，CM=DM，CAAB于点A，DBAB于点B，A =B=90，AC2+AM2=CM2，BM2+BD2=MD2，AC2+AM2=BM2+BD2，设BM=xkm，AM=(22-x)km，CA=6km，DB=16km，解得，加油站M应建在离B点6km远21、如图，在一条东西走向的河流

24、一侧有一工厂C，河边原有两个取水点A和B，且ABAC工业园区规划改造后，原道路AC不再使用，现决定在河边新建一个取水点P，并新修一条路CP，测得CB6千米，CP4.8千米，PB3.6千米（1）CP是否为从工厂C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长【答案】（1）是，计算见解析，（2）5千米【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，判断CP是否垂直AB即可；（2）根据勾股定理解答即可【详解】解：（1）是，理由是：在CPB中，CP2+BP2(4.8)2+(3.6)236，BC236，CP2+BP2BC2，CPAB，所以CP是从工厂C到河边的最近路；（2）设ACx千米，在RtACP

25、中，由已知得ACx，APx3.6，CP4.8，由勾股定理得：AC2AP2+CP2 x2(x3.6)2+(4.8)2，解得x5，答：原来的路线AC的长为5千米22、（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接 _度；（答案直接填写在横线上）_ _（答案直接填写在横线上）;求的度数（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，连接当满足什么条件时，请给出证明【答案】（1）；（2），证明见解析【分析】（1）由得到，继而证明即可解题；由得到，结合结论，可证明是等边三角形，即可解题；根据得到，在中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明为直角三角形，继而得到，再结合是等边三角形即可解得据此解题即可；（2）

26、由可得，可证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可【详解】解:（1）即故答案为：；，由得是等边三角形，故答案为：；为直角三角形为等边三角形；（2）当时，理由如下:，为等腰直角三角形，当时，为直角三角形，当满足时，23、如图，每个小方格都是边长为1的正方形（1）求图中格点四边形ABCD的面积；（2）求四边形ABCD的周长；（3）求ADC的度数【答案】（1）12.5；（2）；（3）90【分析】（1）四边形ABCD的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积；（2）由勾股定理求出AD、AB、BC、CD，即可得出四边形ABCD的周长；（3）求

27、出AD2+CD2=AC2，由勾股定理的逆定理即可求出结果【详解】解：（1）根据题意得：四边形ABCD的面积=55-33-23-24-21=12.5；（2）由勾股定理得：AD=，AB=，BC=，CD=，四边形ABCD的周长=；（3）AD2+CD2=5+20=25，AC2=52=25，AD2+CD2=AC2，三角形ADC为直角三角形，ADC=9024、在中，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，过作交于，连接（1）求证：；（2）求证：； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析; 【分析】（1）根据等腰三形的腰相等、旋转前后线段相等、同角的余角相等，利用SAS即可证明全等；（2）连接EF，通

28、过已证的全等三角形对应边相等和垂直平分线的性质定理，可证ADBE和DFEF，把要证明的线段转化到中，利用勾股定理即可证明；【详解】（1）将绕点逆时针旋转至，可得是等腰直角三角形，在和中，（2）如图，连接，是等腰直角三角形，是的垂直平分线，又，中，25、已知，ABC中，AC=BC，ACB=90，D为AB的中点，若E在直线BC上任意一点，DFDE，交直线AC于F点G为EF的中点，延长CG交AB于点H（1）如图，若E在线段BC上，证明DE=DF；证明CG=GH；（2）若E在射线CB上，CG=GH还成立吗？直接写出结论，不需说明理由；（3）若E在直线BC上，BE=3，CH=5则线段BC=_ 解答解：（

29、1）如图1中，连接CD，AC=BC，AD=BD，ACB=90， CDAB，CD=AD=BD，A=B=ACD=45，EDF=CDB=90，CDF=BDE，在CDF和BDE中，DCF=BCD=BDCDF=BDEDCF=BCD=BDCDF=BDE，CDFBDE，DF=DE连接DG在RtEFC中，EG=GF，CG=EF，在RtDEF中，EG=GF，DG=EF，CG=DG，GCD=GDC，GCD+CHD=90，GDC+GDH=90，GDH=GHD，GD=GH=CGCG=GH（2）如图2中，结论：CG=CH仍然成立在CDF和BDE中，DCF=BCD=BDCDF=BDEDCF=BCD=BDCDF=BDE，C

30、DFBDE，DF=DE在RtEFC中，EG=GF，CG=EF，在RtDEF中，EG=GF，DG=EF，CG=DG，GCD=GDC，GCD+CHD=90，GDC+GDH=90，GDH=GHD，GD=GH=CGCG=GH（3）解：AC=7或1，理由是：如图1中，由（1）可知，EF=GH=5，CF=BE=3， AC=BC=CE+BE=4+3=7当E在CB的延长线上时，可得AC=BC=1，综合上述：AC=7或126、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，若在ABC中，C=90，则AC2+BC2AB2我们定义为“商高定理”（1）如图1，在ABC中，C=90中，BC4，AB5，试求AC_

31、；（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，ACBD试证明：AB2+CD2AD2+BC2；（3）如图3，分别以RtACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE已知BC4，AB5，求GE2的值【答案】（1）AC3; （2）见解析；（3）73.【分析】（1）根据勾股定理求出AC即可；（2）在RtDOA中根据勾股定理有OD2+OA2AD2，同理有OD2+OC2CD2，OB2+OC2BC2，OA2+OB2AB2，又AB2+ CD2OA2+OB2+ OD2+OC2，AD2+ BC2OD2+OA2+ OB2+OC2 即可证明AB2+ CD2AD2

32、+ BC2；（3）连接CG、AE，根据GBC=EBA=900得ABG=EBC，则证明ABGEBC，则12 ，34，由（2）可知AC2+GE2CG2+AE2，则可求出CG2、AE2 、AC2从而求出GE2.【解析】解：（1）在ABC中，C=90中，BC4，AB5 AC=3（2）在RtDOA中，DOA900，OD2+OA2AD2 同理：OD2+OC2CD2OB2+OC2BC2 OA2+OB2AB2AB2+ CD2OA2+OB2+ OD2+OC2 AD2+ BC2OD2+OA2+ OB2+OC2 AB2+ CD2AD2+ BC2 （3）GBC=EBA=900 GBC+CBA=EBA+CBA ABG=EBC 如图1，在ABG和EBC中 ABGEBC（SAS） 如图2，12 ，345AIJ900 AGCB 连接CG、AE，由（2）可知 AC2+GE2CG2+AE2 在RtCBG中，CG2BC2+BG2 CG242+4232在RtABE中，AE2BE2+AB2 AE252+5250在RtABC中，AB2AC2+BC2 52AC2+42 AC29AC2+GE2CG2+AE2 9+ GE232+50 GE273