1、2021 年湖南省长沙市岳麓区年湖南省长沙市岳麓区二校联考二校联考中考数学三模试卷中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，共小题，共 30 分）分） 1 （3 分）如果零上 15记作+15，那么零下 5应记作（ ） A5 B20 C+5 D+20 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） A5m2m3 B （a2b）3a6b3 C （b2a） （2ab）b24a2 D （2m）2（m）34m5 3 （3 分）下列四个图案中，是中心对称图形的为（ ） A B C D 4 （3 分）下列说法正确的是（ ） A调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式 B数据 2，0，2，
2、1，3 的中位数是2 C可能性是 99%的事件在一次实验中一定会发生 D从 2000 名学生中随机抽取 100 名学生进行调查，样本容量为 2000 名学生 5（3 分） 如图， ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ABAC 若 AB4， AC6， 则 BD 的长为 （ ） A11 B10 C9 D8 6 （3 分）关于 x 的方程 x2mx10 根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D不能确定 7 （3 分）如图，ABC 的两条中线 BE、CD 交于点 O，则下列结论不正确的是（ ） A=12 B= CSDOE：SBOC1：2 DADE
3、ABC 8 （3 分） 二次函数 yax2+bx+c 与一次函数 yax+c，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是 （ ） A B C D 9 （3 分）如图，ABC 中，C90，BC5，O 与ABC 的三边相切于点 D、E、F，若O 的半径为 2，则ABC 的周长为（ ） A14 B20 C24 D30 10 （3 分）如图，在ABC 中，AD 平分BAC，按如下步骤作图： 第一步，分别以点 A、D 为圆心，大于12AD 的长为半径在 AD 两侧作弧，交于两点 M、N； 第二步，连接 MN，分别交 AB、AC 于点 E、F； 第三步，连接 DE，DF 若 BD6，AF4，CD3，则 BE
4、的长是（ ） A2 B4 C6 D8 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 11 （3 分）计算221624的结果是 12 （3 分） “万米的海底，妙不可言” 2020 年 11 月 10 日 8 时 12 分，中国“奋斗者”号载人潜水器在海洋最深处马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度为 10909m该数据用科学记数法可以表示为 m 13 （3 分）一个扇形的半径为 10，圆心角是 120，该扇形的弧长是 14 （3 分）如图，直线 AB 与O 相切于点 C，AO 交O 于点 D，连接 CD，OC若AOC60，则ACD 15 （3 分）已知反比例函数 y=
5、23的图象位于第二、四象限，则 k 的取值范围是 16 （3 分）如图，一海轮位于灯塔 P 的西南方向，距离灯塔 402海里的 A 处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 60方向上的 B 处，航程 AB 的值为 （结果保留根号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 题，共题，共 72 分）分） 17 （6 分）计算：16 2sin45+（13）1|22| 18 （6 分）先化简再求值： （a+2）23（a+1） （a1）+2a（a+1） ，其中 a5 19 （6 分）如图，在平面直角坐标系中ABC 的三个顶点分别为 A（1，2） ，B（2，4） ，C（4，1）
6、（1）画出ABC 关于原点 O 成中心对称的A1B1C1； （2）画出ABC 关于 y 轴对称的A2B2C2； （3）在 x 轴上找一点 P，使得点 P 到 B，C 两点的距离之和最小，则点 P 的坐标是 20 （8 分）某中学组织七、八、九年级学生参加全区作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图 1 和如图 2 两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题 （1）此次参赛的作文篇数共有 篇； （2）扇形统计图中九年级参赛作文对应的圆心角是 度并补全条形统计图； （3）经过评审，全校有 4 篇作文获特等奖，其中有一篇来自九年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，
7、请利用画树状图或列表的方法，求出九年级特等奖作文被选登在校刊上的概率 21 （8 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 的对角线 BD 上一点，连接 CP 并延长，交 AD 于 E，交 BA 的延长线于点 F （1）求证：DCPDAP； （2）如果 PE3，EF5，求线段 PC 的长 22 （9 分）越野自行车是中学生喜爱的交通工具，市场巨大竞争也激烈某品牌经销商经营的 A 型车去年销售总额为 5 万元， 今年每辆售价比去年降低 400 元， 若卖出的数量相同， 销售总额将比去年减少 20% B型车是今年增加供应市场的，功能多售价也高些 A、B 两种型号车今年的进货和销售价格如表： A 型车 B
8、 型车 进货价 1100 元/辆 1400 元/辆 销售价 x 元/辆 2000 元/辆 （1）求今年 A 型车每辆销售价 x 的值； （2）该品牌经销商计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批车售出后获利最多？ 23 （9 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，O 是线段 BC 上一点，以 O 为圆心，OC 为半径作O，AB 与O 相切于点 F，直线 AO 交O 于点 E，D （1）求证：AO 是CAB 的角平分线； （2）若 tanD=12，求的值； （3）如图 2，在（2）条件
9、下，连接 CF 交 AD 于点 G，O 的半径为 3，求 CF 的长 24 （10 分）已知抛物线 yx2+（13m）x3m， （14m2） 直线 l：y（k+1）x3m+4 （1）若该抛物线与 y 轴交点的纵坐标为4，求该抛物线的顶点坐标 （2）证明：该抛物线与直线 l 必有两个交点 （3）若该抛物线经过点（t，4） ，且对任意实数 x，不等式 x2+（13m）x3m4 都成立；当 k2xk 时，该二次函数的最小值为2k+1求直线 l 的解析式 25 （10 分）已知：二次函数 yax22ax3（a0） ，当 2x4 时，函数有最大值 5 （1）求此二次函数图象与坐标轴的交点； （2）将函数
10、 yax22ax3（a0）图象 x 轴下方部分沿 x 轴向上翻折，得到的新图象与直线 yn 恒有四个交点， 从左到右， 四个交点依次记为 A， B， C， D， 当以 BC 为直径的圆与 x 轴相切时， 求 n 的值 （3）若点 P（x0，y0）是（2）中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于 m 的一元二次方程 m2y0m+k4+y00 恒有实数根时，求实数 k 的最大值 参考答案与详解参考答案与详解 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，共小题，共 30 分）分） 1 （3 分）如果零上 15记作+15，那么零下 5应记作（ ） A5 B20 C+5 D+20 【分析】首
11、先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答 【解答】解：零上 15记作+15， 零下 5可记作5 故选：A 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） A5m2m3 B （a2b）3a6b3 C （b2a） （2ab）b24a2 D （2m）2（m）34m5 【分析】先根据合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式进行计算，再逐个判断即可 【解答】解：A.5m2m3m，故本选项不符合题意； B （a2b）3a6b3，故本选项符合题意； C （b2a） （2ab）（2ab）24a2+4abb2，故本选项不符合题意； D （2m）2（m）3 4m2 （m3） 4m5，故本选项不符合
12、题意； 故选：B 3 （3 分）下列四个图案中，是中心对称图形的为（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念判断 【解答】解：A、图形不是中心对称图形； B、图形不是中心对称图形； C、图形不是中心对称图形； D、图形是中心对称图形； 故选：D 4 （3 分）下列说法正确的是（ ） A调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式 B数据 2，0，2，1，3 的中位数是2 C可能性是 99%的事件在一次实验中一定会发生 D从 2000 名学生中随机抽取 100 名学生进行调查，样本容量为 2000 名学生 【分析】根据调查的方式、中位数、可能性和样本知识进行判断即可 【解答】解：A、调查
13、舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式，正确； B、数据 2，0，2，1，3 的中位数是 1，错误； C、可能性是 99%的事件在一次实验中不一定会发生，错误； D、从 2000 名学生中随机抽取 100 名学生进行调查，样本容量为 100，错误； 故选：A 5（3 分） 如图， ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ABAC 若 AB4， AC6， 则 BD 的长为 （ ） A11 B10 C9 D8 【分析】利用平行四边形的性质可知 AO3，在 RtABO 中利用勾股定理可得 BO5，则 BD2BO10 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， BD2BO，AOOC3 在
14、RtABO 中，利用勾股定理可得 BO= 42+ 32=5 BD2BO10 故选：B 6 （3 分）关于 x 的方程 x2mx10 根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D不能确定 【分析】先计算（m）241（1）m2+4，由于 m2为非负数，则 m2+40，即0，根据一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac 的意义即可判断方程根的情况 【解答】解：（m）241（1）m2+4， m20， m2+40，即0， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 7 （3 分）如图，ABC 的两条中线 BE、CD 交于点 O，则下列结论不正确的是（ ）
15、 A=12 B= CSDOE：SBOC1：2 DADEABC 【分析】根据中线 BE、CD 交于点 O，可得 DE 是ABC 的中位线，根据三角形的中位线定理得出 DEBC，DE=12BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可 【解答】解：BE 和 CD 是ABC 的中线， DE 是ABC 的中位线， DE=12BC，DEBC， =12，故 A 选项正确； DEBC， =，故 B 选项正确； DEBC， DOECOB， =（）2（12）2=14，故 C 选项错误； DEBC， ADEABC，故 D 选项正确； 故选：C 8 （3 分） 二次函数 yax2+bx+c 与一次函数
16、 yax+c，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是 （ ） A B C D 【分析】根据二次函数的开口方向， 与 y 轴的交点； 一次函数经过的象限， 与 y 轴的交点可得相关图象 【解答】解：一次函数和二次函数都经过 y 轴上的（0，c） ， 两个函数图象交于 y 轴上的同一点，排除 B、C； 当 a0 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除 D； 当 a0 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A 正确； 故选：A 9 （3 分）如图，ABC 中，C90，BC5，O 与ABC 的三边相切于点 D、E、F，若O 的半径为 2，则ABC 的周长为（ ） A14 B20 C
17、24 D30 【分析】设 ADx，由切线长定理得 AEx，根据题意可得四边形 OECF 为正方形，则 CECF2，BDBF3，在直角三角形 ABC 中，利用勾股定理求出 x，然后求其周长 【解答】解：连接 OE、OF，设 ADx，由切线长定理得 AEx， O 与 RtABC 的三边分别点 D、E、F， OEAC，OFBC， 四边形 OECF 为正方形， O 的半径为 2，BC5， CECF2，BDBF3， 在 RtABC 中， AC2+BC2AB2，即（x+2）2+52（x+3）2， 解得 x10， ABC 的周长为 12+5+1330 故选：D 10 （3 分）如图，在ABC 中，AD 平分
18、BAC，按如下步骤作图： 第一步，分别以点 A、D 为圆心，大于12AD 的长为半径在 AD 两侧作弧，交于两点 M、N； 第二步，连接 MN，分别交 AB、AC 于点 E、F； 第三步，连接 DE，DF 若 BD6，AF4，CD3，则 BE 的长是（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】 根据已知得出 MN 是线段 AD 的垂直平分线， 推出 AEDE， AFDF， 求出 DEAC， DFAE，得出四边形 AEDF 是菱形，根据菱形的性质得出 AEDEDFAF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可 【解答】解：根据作法可知：MN 是线段 AD 的垂直平分线， AEDE，AFDF E
19、ADEDA， AD 平分BAC， BADCAD， EDACAD， DEAC， 同理 DFAE， 四边形 AEDF 是菱形， AEDEDFAF， AF4， AEDEDFAF4， DEAC， =， BD6，AE4，CD3， 63=4， BE8， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 11 （3 分）计算221624的结果是 8162 【分析】先对分式进行因式分解化简，再通分计算即可 【解答】解：原式=2(+4)(4)24 =2(+4)(4)2(+4)(+4)(4) =228216 =8162 12 （3 分） “万米的海底，妙不可言” 2020
20、年 11 月 10 日 8 时 12 分，中国“奋斗者”号载人潜水器在海洋最深处马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度为 10909m该数据用科学记数法可以表示为 1.0909104 m 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：10909m该数据用科学记数法可以表示为 1.0909104m 故答案为：1.0909104 13 （3 分）一个扇形的半径为 10，圆心角是 120，该扇形的弧长是
21、203 【分析】直接利用弧长公式计算即可 【解答】解：扇形的弧长=12010180=203， 故答案为：203 14 （3 分）如图，直线 AB 与O 相切于点 C，AO 交O 于点 D，连接 CD，OC若AOC60，则ACD 30 【分析】由相切得到ACO90，由AOC60得到三角形 OCD 为等边三角形，再通过三角形外角等于不相邻的两个内角和求解 【解答】解：AB 与O 相切于点 C， OC 垂直于 AB，ACO90， AOC60，ODOC， 三角形 OCD 为等边三角形，即ODC30， AACOAOC30， ACDODCA30 故答案为：30 15 （3 分）已知反比例函数 y=23的图
22、象位于第二、四象限，则 k 的取值范围是 k32 【分析】根据反比例函数的性质得 2k30，然后解不等式即可 【解答】解：根据题意得 2k30， 解得 k32 故答案是：k32 16 （3 分）如图，一海轮位于灯塔 P 的西南方向，距离灯塔 402海里的 A 处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 60方向上的 B 处，航程 AB 的值为 40+403 （结果保留根号） 【分析】过点 P 作 PCAB 于 C，根据等腰直角三角形的性质求出 AC、PC，根据正切的定义求出 BC，结合图形计算，得到答案 【解答】解：过点 P 作 PCAB 于 C， 在 RtAPC 中，APC4
23、5，AP422海里， ACPC=22AP=22402 =40（海里） ， 在 RtBPC 中，BPC60，tanBPC=， BCPCtanBPC403， ABAC+BC（40+403）海里， 航程 AB 的值为 40+403， 故答案为：40+403 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 题，共题，共 72 分）分） 17 （6 分）计算：16 2sin45+（13）1|22| 【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质进而化简得出答案 【解答】解：原式4222+3（22） 42 +32+2 5 18 （6 分）先化简再求值： （a+2）23（a
24、+1） （a1）+2a（a+1） ，其中 a5 【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可 【解答】解：原式a2+4a+43（a21）+2a2+2a a2+4a+43a2+3+2a2+2a 6a+7， 当 a5 时，原式30+723 19 （6 分）如图，在平面直角坐标系中ABC 的三个顶点分别为 A（1，2） ，B（2，4） ，C（4，1） （1）画出ABC 关于原点 O 成中心对称的A1B1C1； （2）画出ABC 关于 y 轴对称的A2B2C2； （3）在 x 轴上找一点 P，使得点 P 到 B，C 两点的距离之和最小，则点 P 的坐标是 （185，0） 【分析】 （1）利用关于原
25、点对称的点的坐标特征写出 A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到A1B1C1； （2）利用关于 y 轴对称的点的坐标特征写出 A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到A2B2C2； （3）作 C 点关于 x 轴的对称点 C，连接 BC交 x 轴于 P 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时 PB+PC 的值最小，利用待定系数法求出直线 BC的解析式为 y= 52x9，然后求出此直线与 x 轴的交点坐标即可 【解答】解： （1）如图，A1B1C1为所作； （2）如图，A2B2C2为所作； （3）作 C 点关于 x 轴的对称点 C，连接 BC交 x 轴于 P 点，如图， PCPC， PB+PC
26、PB+PCBC， 此时 PB+PC 的值最小， C 点与 C关于 x 轴对称， C（4，1） ， 设直线 BC的解析式为 ykx+b， 把 C（4，1） ，B（2，4）代入得4 + = 12 + = 4，解得 = 52 = 9， 直线 BC的解析式为 y= 52x9， 当 y0 时，52x90，解得 x= 185， 当点 P 的坐标为（185，0）时，使得点 P 到 B，C 两点的距离之和最小 故答案为（185，0） 20 （8 分）某中学组织七、八、九年级学生参加全区作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图 1 和如图 2 两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题
27、（1）此次参赛的作文篇数共有 100 篇； （2）扇形统计图中九年级参赛作文对应的圆心角是 126 度并补全条形统计图； （3）经过评审，全校有 4 篇作文获特等奖，其中有一篇来自九年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法，求出九年级特等奖作文被选登在校刊上的概率 【分析】 （1）根据七年级的人数以及百分比，求出总人数即可； （2）求出总的作文篇数，即可得出九年级参赛作文篇数对应的圆心角的度数；求出八年级的作文篇数，补全条形统计图即可： （3）假设 4 篇荣获特等奖的作文分别为 A、B、C、D，其中 A 代表九年级获奖的特等奖作文利用列表法画出图形即可解决问
28、题； 【解答】解： （1）2020%100； （2）九年级参赛作文篇数对应的圆心角 36035100=126； 100203545， 补全条形统计图如图所示： 故答案为 100，126 （3）列表如下： A B C D A AB AC AD B AB BC BD C AC BC CD D AD BD CD 由表格可知，共有 12 种可能性结果，它们发生的可能性相等，其中九年级特等奖作文被选登在校刊上的有 6 种结果， 九年级特等奖作文被选登在校刊上的概率为12 21 （8 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 的对角线 BD 上一点，连接 CP 并延长，交 AD 于 E，交 BA 的延长线于点
29、F （1）求证：DCPDAP； （2）如果 PE3，EF5，求线段 PC 的长 【分析】 （1）由菱形的性质可得 ADCD，ADBCDB，CDAB，由“SAS”可证ADPCDP，可得结论； （2）通过证明APEFPA，可得=，可求 AP 的长，即可求解 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是菱形， ADCD，ADBCDB，CDAB， ADCD，ADBCDB，且 DPDP， ADPCDP（SAS） APPC，DCPDAP； （2）CDAB， DCPF，且DCPDAP， FDAP，且APEAPF， APEFPA， =， 3+5=3， AP26， PC26 22 （9 分）越野自行车是中学生喜爱
30、的交通工具，市场巨大竞争也激烈某品牌经销商经营的 A 型车去年销售总额为 5 万元， 今年每辆售价比去年降低 400 元， 若卖出的数量相同， 销售总额将比去年减少 20% B型车是今年增加供应市场的，功能多售价也高些 A、B 两种型号车今年的进货和销售价格如表： A 型车 B 型车 进货价 1100 元/辆 1400 元/辆 销售价 x 元/辆 2000 元/辆 （1）求今年 A 型车每辆销售价 x 的值； （2）该品牌经销商计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批车售出后获利最多？
31、【分析】 （1）今年 A 型车每辆售价 x 元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建立分式方程求出其解即可； （2）设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车（60a）辆，获利 y 元，由条件表示出 y 与 a 之间的关系式，由 a 的取值范围就可以求出 y 的最大值 【解答】解： （1）今年 A 型车每辆售价 x 元，则去年每辆售价（x+400）元由题意得： 50000+400=50000(120%)， 解得：x1600 经检验，x1600 是所列方程的根 x1600 （2）设车行新进 A 型车 a 辆，则 B 型车为（60a）辆，获利 y 元由题意，得： y（1600110
32、0）a+（20001400） （60a） ， 即 y100a+36000 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的 2 倍 60a2a a20 由 y 与 a 的关系式可知，1000，y 的值随 a 的值增大而减小， a20 时，y 的值最大， 60a602040（辆） ， 当车行新进 A 型车 20 辆，B 型车 40 辆时，这批车获利最多 23 （9 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，O 是线段 BC 上一点，以 O 为圆心，OC 为半径作O，AB 与O 相切于点 F，直线 AO 交O 于点 E，D （1）求证：AO 是CAB 的角平分线； （2）若 tanD=12，求的值； （3
33、）如图 2，在（2）条件下，连接 CF 交 AD 于点 G，O 的半径为 3，求 CF 的长 【分析】 （1）连接 OF，可得 OFAB，由ACB90，OCOF，可得出结论； （2） 连接CE， 先求证ACEODC， 然后可知ACEADC， 所以=， 而tanD=12； 于是得到结论； （3）连接 CF 交 AD 于点 G，由（2）可知，AC2AEAD，先求出 AE，AC 的长，则 AO 可求出，证CGOACO，可得 OC2OGOA，求出 OG，CG，则 CF2CG 可求解 【解答】 （1）证明：连接 OF， AB 与O 相切于点 F， OFAB， ACB90，OCOF， OAFOAC， 即
34、AO 是ABC 的角平分线； （2）如图 2，连接 CE， ED 是O 的直径， ECD90， ECO+OCD90， ACB90， ACE+ECO90， ACEOCD， OCOD， OCDODC， ACEODC， CAECAE， ACEADC， =， tanD=12， =12， =12； （3）由（2）可知：=12， 设 AEx，AC2x， ACEADC， =， AC2AEAD， （2x）2x（x+6） ， 解得：x2 或 x0（不合题意，舍去） ， AE2，AC4， AOAE+OE2+35， 如图 3，连接 CF 交 AD 于点 G， AC，AF 是O 的切线， ACAF，CAOOAF， C
35、FAO， ACOCGO90， COGAOC， CGOACO， =， OC2OGOA， OG=95， CG= 2 2=32 (95)2=125， CF2CG=245 24 （10 分）已知抛物线 yx2+（13m）x3m， （14m2） 直线 l：y（k+1）x3m+4 （1）若该抛物线与 y 轴交点的纵坐标为4，求该抛物线的顶点坐标 （2）证明：该抛物线与直线 l 必有两个交点 （3）若该抛物线经过点（t，4） ，且对任意实数 x，不等式 x2+（13m）x3m4 都成立；当 k2xk 时，该二次函数的最小值为2k+1求直线 l 的解析式 【分析】 （1）依题意可知3m4，即可求解； （2）
36、将 y （k+1） x3m+4 代入 yx2+ （13m） x3m， 整理得： x2 （k+3m） x40， （k+3m） 24（4）（k+3m）2+160，即可求解； （3）分 k1、1k3、k3 三种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）依题意可知3m4，解得：m=43， 该抛物线对应的函数解析式为 = 2 3 4 = ( 32)2254， 该抛物线的顶点坐标为（32，254） （2）联立 y（k+1）x3m+4 和 yx2+（13m）x3m 并整理得：x2（k+3m）x40， （k+3m） 24（4）（k+3m）2+160， 该抛物线与直线 l 必有两个交点 （3）由抛物线经过点（t，
37、4） ，且对任意实数 x，不等式 x2+（13m）x3m4 都成立， 抛物线 yx2+（13m）x3m 的最小值为4， yx2+（13m）x3m= ( +132)2 3 (132)2= ( +132)292+6+14， 92+6+14= 4，整理得 3m2+2m50， 解得 m1 或 = 53（5314，舍去） ， 当 m1 时，抛物线的解析式为 yx22x3（x1）24， 当 k1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小， 当 xk 时，ymink22k3， k22k32k+1， 解得 k2 或 k2（舍去） ， 直线 l 的解析式为 yx+1； 当 k21k 时，即 1k3， 当 x1 时，
38、ymin42k+1，解得 =52， 直线 l 的解析式为 =72 + 1； 当 k21 时，函数值 y 随 x 的增大而增大， 当 xk2 时，ymin（k2）22（k2）3， （k2）22（k2）32k+1， 解得 k1k22（舍去） ， 综上，直线 l 的解析式为 yx+1 或 =72 + 1 25 （10 分）已知：二次函数 yax22ax3（a0） ，当 2x4 时，函数有最大值 5 （1）求此二次函数图象与坐标轴的交点； （2）将函数 yax22ax3（a0）图象 x 轴下方部分沿 x 轴向上翻折，得到的新图象与直线 yn 恒有四个交点， 从左到右， 四个交点依次记为 A， B， C
39、， D， 当以 BC 为直径的圆与 x 轴相切时， 求 n 的值 （3）若点 P（x0，y0）是（2）中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于 m 的一元二次方程 m2y0m+k4+y00 恒有实数根时，求实数 k 的最大值 【分析】 （1）根据函数解析式作出大致图象，结合函数图象的增减性和对称性质解答； （2）其折叠得到的部分对应的解析式为：y（x1）2+4（1x3） ，其顶点为（1，4） 结合函数图象得到n的取值范围为0n4 根据函数与直线的交点方程求得 = 1 4 ， 易得BC的长度 当以 BC 为直径的圆与 x 轴相切时，BC2n由此求得 n 的值； （3）由根的判别式知，= (0)
40、2 4( 4 + 0) 0恒成立，即4 02 40+ 16恒成立，即 (02)2+124恒成立根据点 P（x0，y0）是（2）中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，则 0y04，由二次函数函数值的取值范围求得实数 k 的最大值 【解答】解： （1）抛物线 yax22ax3（a0）的对称轴为： = 22= 1 a0，抛物线开口向上，大致图象如图所示 当 x1 时，y 随 x 增大而增大； 由已知：当 2x4 时，函数有最大值 5 当 x4 时，y5， 16a8a35，得：a1 yx22x3 令 x0，得 y3，令 y0，得 x1 或 x3， 抛物线与 y 轴交于（0，3） ， 抛物线与 x 轴交于
41、（1，0） 、 （3，0） ； （2）yx22x3（x1）24， 其折叠得到的部分对应的解析式为：y（x1）2+4（1x3） ，其顶点为（1，4） 图象与直线 yn 恒有四个交点， 0n4 由（x1）2+4n，解得 = 1 4 ， (1 4 ，)，(1 + 4 ，)， = 24 当以 BC 为直径的圆与 x 轴相切时，BC2n 即：24 = 2， 4 = 2， n24n， 得 =1172， 0n4， =1+172 （另法：BC 直径，且F 与 x 轴相切， FCyn， 对称轴为直线 x1， F（1，n） ，则 C（1+n，n） ， 又C 在 y（x1）2+4（1x3）上， n（1+n1）2+4， 得 =1172， 0n4， =1+172） （3） 若关于 m 的一元二次方程 m2y0m+k4+y00 恒有实数根， 则须= (0)2 4( 4 + 0) 0恒成立，即4 02 40+ 16恒成立，即 (02)2+124恒成立 点 P（x0，y0）是（2）中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点， 0y04， 3 (02)2+124 4 （ k 取 (02)2+124值之下限） 实数 k 的最大值为 3
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