1、20212022 学年江苏省常州市学年江苏省常州市八年级上八年级上期末数学试卷期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 1. 下列表示天气的标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点2, 1所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列实数：23、37、0、3、0.16g、0.1212212221（每相邻两个 1之间依次多 1 个 2） ，其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，已知AD
2、CBP，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCCDA的是（ ） A ABCD B. ABDCP C. BD D. BCAD 5. 已知ABC的三边长分别是 a、b、c，则下列条件中，能判断ABC是直角三角形的是（ ） A. a2（bc） （bc） B. a：b：c12：15：18 C. A：B：C2：3：4 D. A2B3C 6. 若一次函数3ykx的图像经过点P，且函数值y随着x增大而减小，则点P的坐标可能为（ ） A. 2,4 B. 5,2 C. 1, 3 D. 5, 1 7. 如图，ABC、ACD的平分线 BP、CP交于点 P，PFBD，PGBE，垂足分别为 F、G，下列结论：ABPS
3、：BCPSVAB： BC； APBACP90 ； ABC2APC180 ， 其中正确的结论有 （ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 8. 如图， 一次函数 ykxb 的图像与 x轴交于点 A （1， 0） ， 则关于 x的不等式 x （kxb） 0 的解集是 （ ） A. x0 B. x0 C. x1或 x0 D. x1或 x1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 9. 8的立方根为_ 10. 常州地铁 1 号线全长 33.837km，精确到 0.01km得到的近似值是_km 11. 点3(2,)A
4、到x轴的距离是_ 12. 如图， 已知函数 yx+1 和 yax+3 图象交于点 P， 点 P的横坐标为 1， 则关于 x， y的方程组13xyaxy 的解是_ 13. 如图，DEF的 3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形在图中，有_个格点三角形（不与DEF 重合）与DEF 全等 14. 九章算术卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺， 牵着绳索 （绳索头与地面接触） 退行， 在距木柱根部 8尺处时绳索用尽， 则绳
5、索长是_ 15. 如图， 小明将长方形纸片 ABCD 对折后展开， 折痕为 EF， 再将点 C翻折到 EF 上的点 G处， 折痕为 BH，则GBH_ 16. 如图，两条互相垂直的直线 m、n 交于点 O，一块等腰直角三角尺的直角顶点 A 在直线 m上，锐角顶点B 在直线 n上，D是斜边 BC的中点已知 OD7，BC4，则 SAOB_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 68 分第分第 17、18 题每题题每题 5 分，第分，第 19 题题 7 分，第分，第 20、21、22、23、24 题每题题每题 8 分，第分，第 25 题题 11 分）分） 17 计算：2( 3
6、)318（2）0 18. 已知 2（x1）3540，求 x的值 19. 已知：如图，C 是 AE的中点，ABCD，且 ABCD求证：BCDE 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点 A、B、C的坐标分别为（5，1） 、 （3，4） 、（1，3） （1）SABC ； （2）画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1； （3）已知点 P 在 x 轴上，且 PAPC，则点 P的坐标是 （4）若 y轴上存在点 Q，使QAC的周长最小，则点 Q 的坐标是 21. 如图， 一次函数 ykxb的图像与 x 轴正半轴交于点 A， 与一次函数 y2x3的图像交于点 B （m， 1） ，且 OA4
7、 （1）求 k，b的值； （2）求一次函数 ykxb，y2x3 的图像与 x轴所围成的三角形的面积 22. 如图，在ABC中，AD是高，F 是 AC 的中点，E是 AB上一点，且 AEDE （1）求证：BED是等腰三角形； （2）EF 与 AD有怎样的位置关系？证明你的结论 23. 某中学计划举行以“青春启航，奋斗有我”为主题的演讲比赛，需要购买笔记本、中性笔两种奖品奖励给获奖学生，已知 1 本笔记本和 2支中性笔共需 40元，2 本笔记本和 3 支中性笔共需 70 元 （1）求笔记本、中性笔单价； （2）根据奖励计划，该中学需两种奖品共 60 件，且中性笔的数量不多于笔记本数量的 2 倍，应
8、如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用 24. 为迎接周年庆典，某商场面向消费者推出 VR（虚拟现实）体验优惠活动，活动方案如下： 方案一：若消费者购买一张 40 元的专享卡，每次 VR 体验费用按八折付费； 方案二：若消费者不购买专享卡，当 VR体验超过一定次数后，超过部分享受优惠 设某消费者参加 VR体验 x次，按照方案一所需费用为 y1元，按照方案二所需费用为 y2元，y2与 x 之间的函数图像如图所示 （1）优惠前每次的 VR 体验费用是 元； （2）分别 y1、y2与 x的函数表达式； （3）若 VR体验超过 10次，该消费者将选择哪种方案？为什么？ 25. 如图，一次函数的图像与
9、 x轴正半轴交于点 A，与 y轴正半轴交于点 B，点 D 在 x轴上如果将直线 AB沿直线 BD翻折，使得点 A 的对应点 C落在 y 轴上，那么直线 BD称为直线 AB 的“伴随直线”已知点 B的坐标为（0，6） ，BC10 （1）若点 C在 y 轴负半轴上，求直线 AB“伴随直线”BD的函数表达式； （2）已知在（1）条件下，存在第一象限内的点 E，使得BOD与以 B、D、E 为顶点的三角形全等，试求出点 E 的坐标； （3）直线 AB 的“伴随直线”BD 上是否存在点 F（异于点 D） ，使得 SABDSABF？若存在，直接写出点 F的坐标；若不存在，请说明理由 20212022 学年江
10、苏省常州市八年级上期末数学试卷学年江苏省常州市八年级上期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 1. 下列表示天气的标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据将图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形判断即可 【详解】A是轴对称图形， A符合题意； B不是轴对称图形， B不符合题意； C 不是轴对称图形， C 不符合题意； D 不是轴对称图形， D 不符合题意； 故选 A 【点睛】本题考查了轴对称图形即将图形沿着某条直线折叠，直线两旁部分能完全
11、重合的图形，熟记定义是解题的关键 2. 在平面直角坐标系中，点2, 1所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征进行判断即可得. 【详解】因20, 10 则点(2, 1)位于第四象限 故选：D. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系象限的性质，象限的符号规律：第一象限( , ) 、第二象限( , ) 、第三象限( , ) 、第四象限( , ) ，熟记象限的性质是解题关键. 3. 下列实数：23、37、0、3、0.16g、0.1212212221（每相邻两个 1之间依次多 1 个 2） ，其中无理数有（
12、） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无限不循环小数是无理数，进行判断即可 【详解】解：由题意知30.121221222173，是无理数 故选 C 【点睛】本题考查了无理数解题的关键在于理解无理数的定义 4. 如图，已知ADCBP，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCCDA的是（ ） A. ABCD B. ABDCP C. BD D. BCAD 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定的方法进行解答即可 【详解】解：A、ADBC，DAC=BCA，由 SSA 无法得出ABCCDA，不符合题意； B、ADBC，DAC=BCA，A
13、BDC，BAC=DCA，由 ASA 得出ABCCDA，符合题意； C、ADBC，DAC=BCA，BD ，由 AAS可得出ABCCDA，符合题意； D、ADBC，DAC=BCA，BCAD,由 SAS得出ABCCDA，符合题意； 故选：A 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是由已知得到两个已知条件，再根据全等三角形的判定找出能使ABCCDA的另一个条件 5. 已知ABC的三边长分别是 a、b、c，则下列条件中，能判断ABC是直角三角形的是（ ） A a2（bc） （bc） B. a：b：c12：15：18 C. A：B：C2：3：4 D. A2B3C 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾
14、股定理的逆定理判定选项 A 和选项 B 即可；根据三角形的内角和定理求出三角形中最大角的度数即可判断选项 C 和选项 D 【详解】解：A、2abcbc， 222abc，即222bac， ABCV是直角三角形，故本选项符合题意； B: :12:15:18a b c， 设12ak，15bk，18ck， 222abc， ， ABCV不是直角三角形，故本选项不符合题意； C:2:3:4ABC，180ABC ， 418080234C ， ABCV不是直角三角形，故本选项不符合题意； D23ABC ，180ABC ， 331802CCC， 36011C，36039011A ， ABCV不是直角三角形，故本
15、选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握运用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键 6. 若一次函数3ykx的图像经过点P，且函数值y随着x增大而减小，则点P的坐标可能为（ ） A. 2,4 B. 5,2 C. 1, 3 D. 5, 1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得 k0，然后把 k 用 x 和 y 表示出来，再把 4 个选项的 x 和 y 分别代入可以求得 k 的值，根据 k0 经过筛选即可得到解答 【详解】解：由题意可得 k0，且3ykx， A、x=2，y=4，所以 k=431022，不合题意； B、23152055xy
16、k ，不合题意； C、3313601xyk ，不合题意； D、1 3451055xyk ，符合题意， 故选 D 【点睛】本题考查一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性并运用逆向思维法求解是解题关键 7. 如图，ABC、ACD的平分线 BP、CP交于点 P，PFBD，PGBE，垂足分别为 F、G，下列结论：ABPS：BCPSVAB： BC； APBACP90 ； ABC2APC180 ， 其中正确的结论有 （ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，得到 PG=PF，结合面积公式，可以判断结论；过点 P 作 PMAC，垂足
17、为 M，则 PF=PM=PG，得到 PA平分EAC，利用角的平分线定义，1=2+3，1+2=3+4+5，4=5，得证2=4，从而判断结论，利用四边形内角和定理结合角的平分线判断最后结论 【详解】ABC、ACD的平分线 BP、CP 交于点 P，PFBD，PGBE， PG=PF， ABPS：BCPSV11:22AB PGBC PFgg=AB：BC， 结论正确； 过点 P作 PMAC，垂足为 M，根据题意，得 PF=PM=PG， PA平分EAC， PAG=PAM， PA=PA，PGA=PMA=90 PAGPAM，同理可证，PCMPCF，PBGPBF， 1=2+3，1+2=3+4+5，4=5， 2=4
18、， 4ACP90 ， 2ACP90 ， APBACP90 ， 结论正确， ABCBGP+ GPF+PFB360 ，BGP=BFP90 ， ABCGPF180 ， 1=2+3，1+2=3+4+5，4=5， GPF=2APC， ABC2APC180 ， 结论正确， 故选 D 【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定，四边形的内角定理，三角形面积公式，熟练掌握角的平分线的性质和判定是解题的关键 8. 如图， 一次函数 ykxb 的图像与 x轴交于点 A （1， 0） ， 则关于 x的不等式 x （kxb） 0 的解集是 （ ） A. x0 B. x0 C. x1或 x0 D. x1或 x1 【答案】C
19、 【解析】 【分析】因为不等式 x（kx+b）0，则00 xkx b或00 xkxb，根据函数的图象与 x 轴的交点为（1，0）进行解答即可 【详解】解：不等式 x（kx+b）0， 00 xkxb或00 xkxb， 一次函数 y=kx+b的图象与 x轴交于点 A（1，0） ， 由图象可知，当 x1 时，y0；当 x1时，y0， 关于 x的不等式 x（kx+b）0 的解集是 x1或 x0 故选：C 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是能利用数形结合求出不等式的解集 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 9.
20、8的立方根为_ 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的意义即可完成 【详解】328 8的立方根为 2 故答案为：2 【点睛】本题考查了立方根的意义，掌握立方根的意义是关键 10. 常州地铁 1 号线全长 33.837km，精确到 0.01km得到的近似值是_km 【答案】33.84 【解析】 【分析】根据近似数的精确度，把千分位上的数字 7 进行四舍五入即可. 【详解】Q 用四舍五入法对 33.837 取近似数并精确到 0.01 得到近似值是 33.84 故答案为： 33.84 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有精确到哪一位，保留几个有效
21、数字等说法；从精确到数的数位的右边一位进行四舍五入是解题的关键 11. 点3(2,)A到x轴的距离是_ 【答案】3 【解析】 【分析】根据到 x轴的距离等于点的纵坐标的长度是解题的关键 【详解】解：点（2，-3）到 x轴的距离为|-3|=3 故答案为 3 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记到 x轴的距离等于纵坐标的长度，到 y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键 12. 如图， 已知函数 yx+1 和 yax+3 图象交于点 P， 点 P的横坐标为 1， 则关于 x， y的方程组13xyaxy 的解是_ 【答案】12xy 【解析】 【分析】先把 x1代入 yx+1，得出 y2，则两个一次函数的交
22、点 P 的坐标为（1，2） ；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解 【详解】解：把1x 代入1yx，得出2y ， 函数1yx和3yax的图象交于点(1,2)P， 即1x ，2y 同时满足两个一次函数的解析式， 所以关于x，y的方程组13xyaxy 的解是12xy 故答案为12xy 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标 13. 如图，DEF的 3
23、个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形在图中，有_个格点三角形（不与DEF 重合）与DEF 全等 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是用 SSS判定两三角形全等认真观察图形可得答案 【详解】解：如图，不妨设小正方形的边长为 1，由勾股定理可求得5 3 2 2DEDFEF 当一条边和 DF重合时，则点 M 在点 E 右侧一个单位，VDMF满足条件 当一条边 NC 和 DF平行时，则共有两个，ACN和BCN满足条件 综上可知最多可画 3 个格点三角形， 可画出如图所示， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，注意确
24、定出三角形的位置 14. 九章算术卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺， 牵着绳索 （绳索头与地面接触） 退行， 在距木柱根部 8尺处时绳索用尽， 则绳索长是_ 【答案】736尺 【解析】 【分析】设绳索长为 x尺，根据勾股定理列出方程，求解即可得出答案 【详解】设绳索长为 x尺，根据题意有， 22238xx， 解得736x ， 故答案为：736尺 【点睛】本题主要考查勾股定理，正确的解方程是关键 15. 如图， 小明将长方形纸片 ABCD
25、对折后展开， 折痕为 EF， 再将点 C翻折到 EF 上的点 G处， 折痕为 BH，则GBH_ 【答案】30 【解析】 【分析】连接 CG，由折叠与对称的性质可得 BC=BG，BG=CG，GBH=CBH，可判定BCG 为等边三角形，结合等边三角形的性质可求解 【详解】解：如图 1，连接 CG Q长方形纸片 ABCD对折后展开，折痕为 EF，再将点 C 翻折到 EF 上的点 G处，折痕为 BH， BC=BG，BG=CG，GBH=CBH， BC=BG=CG， BCG 为等边三角形， GBC=60， GBH=12GBC=30， 故答案为：30 【点睛】本题主要考查折叠与对称的性质，等边三角形的判定与
26、性质，求出BGC 的度数是解题的关键 16. 如图，两条互相垂直的直线 m、n 交于点 O，一块等腰直角三角尺的直角顶点 A 在直线 m上，锐角顶点B 在直线 n上，D是斜边 BC的中点已知 OD7，BC4，则 SAOB_ 【答案】32#1.5 【解析】 【分析】过点 D 作 DEDO，交直线 n 于点 E，连接 AD，根据等腰直角三角形的性质可得222 2ABADBD，ADO=BDE，再根据四边形的内角和等于 360可得DAO=DBE，从而证得DAODBE， 进而得到7DEDO， OA=BE， 再由勾股定理可得2214OEDODE，从而得到14OBOA，再由勾股定理可得2228OBOAAB，
27、从而得到3OB OA，即可求解 【详解】解：过点 D作 DEDO，交直线 n于点 E，连接 AD， ODE=90， ABC为等腰直角三角形，CAB=90， AB=AC， 点 D为 BC的中点， ADB=ODE=90，122ADBDBC， 222 2ABADBD，ADO=BDE， mn， AOB=90， DAO+DBO=360-ADB-AOB=180， DBO+DBE=180， DAO=DBE， AD=BD， DAODBE， 7DEDO，OA=BE， 2214OEDODE， 14OBBE， 14OBOA， 22214OBOAOB OA， 22222 28OBOAAB, 3OB OA， 1322A
28、OBOSA OBV 故答案为：32 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 68 分第分第 17、18 题每题题每题 5 分，第分，第 19 题题 7 分，第分，第 20、21、22、23、24 题每题题每题 8 分，第分，第 25 题题 11 分）分） 17. 计算：2( 3)318（2）0 【答案】72 【解析】 【分析】根据算术平方根及立方根的求法，零次幂的运算进行计算即可得 【详解】解：2031328， 191
29、2， 1312， 72 【点睛】题目主要考查算术平方根及立方根的求法、零次幂的运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键 18. 已知 2（x1）3540，求 x的值 【答案】2x 【解析】 【分析】将方程变形为3 127x ，利用立方根的定义计算即得出答案 【详解】解：3（2 1） 540 x ， 3（ 1）=-27x， 则 1=-3x， 解得：=-2x 【点睛】本题主要考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题关键 19. 已知：如图，C 是 AE的中点，ABCD，且 ABCD求证：BCDE 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由题意知ACCE，ADCE ，证明ABCCDE SASVV，有AC
30、BE，进而可证明BCDEP 【详解】证明：由题意知ACCE ABCD ADCE 在ABCV和CDE中 ABCDADCEACCE ABCCDE SASVV ACBE BCDEP 【点睛】本题考查了三角形全等，平行线的判定与性质解题的关键在于证明三角形全等 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点 A、B、C的坐标分别为（5，1） 、 （3，4） 、（1，3） （1）SABC ； （2）画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1； （3）已知点 P 在 x 轴上，且 PAPC，则点 P的坐标是 （4）若 y轴上存在点 Q，使QAC的周长最小，则点 Q 的坐标是 【答案】 （1）4 （
31、2）见解析 （3） （-2，0） （4） （0，83） 【解析】 【分析】 （1）利用ABC所在的矩形面积减去周围三个直角三角形面积即可 （2）根据轴对称的性质即可画出A1B1C1 （3）根据线段垂直平分线的性质可得出点 P 的位置，从而得出坐标 （4）连接 AC1，交 y轴于 Q，根据待定系数法求出 k和 b的值即可 【小问 1 详解】 解：1113 43 22 14 24222ABCS 故答案为：4 【小问 2 详解】 解：如图所示，111A BC 即为所求 【小问 3 详解】 解：如图，点 P（-2,0） ， 故答案为： （-2,0） 【小问 4 详解】 解：连接 AC1，交 y 轴于
32、Q，设 AC1的函数关系式为 ykxb， 51,3kbkb 解得13,83kb 8(0,),3Q 故答案为：8(0,)3 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，待定系数法求函数解析式等知识，准确找出点的位置是解题的关键 21. 如图， 一次函数 ykxb的图像与 x 轴正半轴交于点 A， 与一次函数 y2x3的图像交于点 B （m， 1） ，且 OA4 （1）求 k，b的值； （2）求一次函数 ykxb，y2x3 的图像与 x轴所围成的三角形的面积 【答案】 （1）122kb （2）54 【解析】 【分析】 （1）根据点 B（m，1）在一次函数 y2x3 的图像上，求出 m
33、 的值，从而求出 B 点坐标，由 A、B 两点坐标代入一次函数 ykxb 列出方程组求出结果； （2） 设一次函数 y = 2x一 3 的图象与 x轴的交点为 C， 求出 C点坐标， 根据三角形面积公式即可求得结论 【小问 1 详解】 解：Q 点 B（m，1）在一次函数 y2x3的图像上， 12 3m 解得 m=2， B（2，1） ， QOA4，A 在 x 轴上， A（4，0） ， Q A（4，0） ，B（2，1）两点在一次函数 ykxb的图像上， 4021kbkb ，解得122kb ， 【小问 2 详解】 解：如图 1， Q直线 BC：y2x3， C（32，0） ， Q A （4，2） ，B
34、（2，1） ， 13514224BCAS V 答：图像与 x轴所围成的三角形的面积为54 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，两直线平行或相交问题，三角形的面积利用待定系数法求出函数解析式，进而求出函数与坐标轴的交点是解题的关键 22. 如图，在ABC中，AD是高，F 是 AC 的中点，E是 AB上一点，且 AEDE （1）求证：BED是等腰三角形； （2）EF 与 AD有怎样的位置关系？证明你的结论 【答案】 （1）见解析； （2）EF 垂直平分 AD，见解析 【解析】 【分析】 （1）因为等边对等角，所以DAEADE ，因为等角的余角相等，所以BDEB ，又等角对等边，得到BEDE，
35、可知BEDV是等腰三角形； （2）直角三角形斜边的中线是斜边的一半可得DFAF，到线段两点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点 E 和点 F 都在线段垂直平分线上，两点确定一条直线，故 EF 垂直平分 AD 【小问 1 详解】 证明：AEDEQ， DAEADE ， 又ADQ高，90ADB， 90ADEBDE，90BADB ， BDEB ， BEDE， BEDV是等腰三角形 【小问 2 详解】 答：EF垂直平分 AD， 理由如下： 90ADCQ，F是 AC 的中点， 12DFACAF， 点 F 在 AD 的垂直平分线上， 又AEDEQ， 点 E 在 AD 的垂直平分线上， EF 垂直平分 A
36、D 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定以及线段垂直平分线的判定，综合性较强，灵活运用所学等腰三角形的知识点和线段垂直平分线判定方法是做出本题的关键 23. 某中学计划举行以“青春启航，奋斗有我”为主题的演讲比赛，需要购买笔记本、中性笔两种奖品奖励给获奖学生，已知 1 本笔记本和 2支中性笔共需 40元，2 本笔记本和 3 支中性笔共需 70 元 （1）求笔记本、中性笔的单价； （2）根据奖励计划，该中学需两种奖品共 60 件，且中性笔的数量不多于笔记本数量的 2 倍，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用 【答案】 （1）笔记本 20 元，中性笔 10元； （2）购买笔记本 20 本
37、，中性笔 40 支，费用最小为 800 元 【解析】 【分析】 （1）设笔记本的单价为 x元，中性笔的单价为 y 元，根据题意列出二元一次方程组求解即可得； （2）设购买笔记本 m本，则购买中性笔60m支，根据题意列出不等式得出20m，设所需总费用为W元，根据题意得出 W与 m的一次函数，然后根据其性质求解即可得 【小问 1 详解】 解：设笔记本的单价为 x元，中性笔的单价为 y元，根据题意可得： 2402370 xyxy， 解得：2010 xy， 答：笔记本的单价为 20 元，中性笔的单价为 10元； 【小问 2 详解】 解：设购买笔记本 m本，则购买中性笔60m支，根据题意可得： 0602
38、mm， 解得：20m， 设所需总费用为 W元，根据题意可得： 2010 6010600Wmmm， 当20m时，W取得最小值为 800 元， 即购买笔记本 20本，购买中性笔 40 支，总费用为 800 元 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及不等式、一次函数的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键 24. 为迎接周年庆典，某商场面向消费者推出 VR（虚拟现实）体验优惠活动，活动方案如下： 方案一：若消费者购买一张 40 元的专享卡，每次 VR 体验费用按八折付费； 方案二：若消费者不购买专享卡，当 VR体验超过一定次数后，超过部分享受优惠 设某消费者参加 VR体验 x次，按照方案一所需费
39、用为 y1元，按照方案二所需费用为 y2元，y2与 x 之间的函数图像如图所示 （1）优惠前每次的 VR 体验费用是 元； （2）分别 y1、y2与 x的函数表达式； （3）若 VR体验超过 10次，该消费者将选择哪种方案？为什么？ 【答案】 （1）30 （2）12440yx，230 (010)20100(10)xxyxx （3）当 VR 体验超过 15 次时，选择方案二，当 VR 体验等于 15 次时，两种方案一样，当 VR 体验超过 10次且小于 15次时，选择方案一 【解析】 【分析】 （1）由函数图像可知10 x，消费者的体验费用为原价为300030100元； （2） 由题意知1403
40、0 80yx； 当10 x时，230yx， 当10 x 时， 设函数表达式为2ykxb，将10,300和20,500代入2ykxb解得, k b的值，进而可得函数表达式； （3）令40 2420100 xx，解得15x ，可知当体验次数大于 15 次时，选择方案二更优惠；当体验次数等于 15 次时，两方案均可；当体验次数超过 10 次小于 15次时，选择方案一更优惠 【小问 1 详解】 解：由函数图像可知10 x，消费者的体验费用为原价 300030100 优惠前每次的 VR体验费用是 30元 【小问 2 详解】 解：由题意知14030 804024yxx 当10 x时，230yx 当10 x
41、 时，设函数表达式为2ykxb 将10,300和20,500代入2ykxb得3001050020kbkb 解得20100kb 220100yx y1、y2与 x的函数表达式分别为14024yx，23001020100 10 xxyxx 【小问 3 详解】 解：令40 2420100 xx 解得15x 可知当体验次数大于 15 次时，选择方案二更优惠； 当体验次数等于 15 次时，两方案均可； 当体验次数超过 10 次小于 15 次时，选择方案一更优惠； 当 VR 体验超过 15 次时，选择方案二，当 VR 体验等于 15次时，两种方案一样，当 VR体验超过 10次且小于 15次时，选择方案一
42、【点睛】本题考查了一次函数，分段函数的应用解题的关键在于从函数图象上获取信息 25. 如图，一次函数的图像与 x轴正半轴交于点 A，与 y轴正半轴交于点 B，点 D 在 x轴上如果将直线 AB沿直线 BD翻折，使得点 A 的对应点 C落在 y 轴上，那么直线 BD称为直线 AB 的“伴随直线” 已知点 B的坐标为（0，6） ，BC10 （1）若点 C在 y 轴负半轴上，求直线 AB的“伴随直线”BD 的函数表达式； （2）已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点 E，使得BOD与以 B、D、E 为顶点的三角形全等，试求出点 E 的坐标； （3）直线 AB的“伴随直线”BD上是否存在点 F（异于
43、点 D） ，使得 SABDSABF？若存在，直接写出点 F的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）26yx （2） （3，6）或（245，125） （3）存在， （-3，12） 【解析】 【分析】 （1）由对称性可得 AB=8，OC=4，如图，由 SABD=ADOB=ABDT 求出 D（3，0） ，用待定系数法即可求 BD 的解析式； （2） 分两种情况： 当 E点与 O点关于直线 BD对称时， OBDEDB， 求出直线 BA的解析式为 y=34x+6，设 E（t，34t+6） ，再由 DE=3=223(3)(6)4tt ，即可求 E（2245，125） ；当 BEy轴，DEx轴时，OB
44、DEDB 此时四边形 BOCE是矩形，则 E（3，6） ； （3）当 F 点与 D点关于 B 点对称时，BF=BD，设 F（m，-2m+6） ，再由 BD=BF=35=22( 2 )mm ，即可求 F 点坐标；同理，当 C 点在 y轴正半轴上时，求 F点坐标 【小问 1 详解】 解：直线 AB沿直线 BD翻折点 A 对应点 C落在 y轴上， 直线 BD为ABO的平分线所在直线， 如图所示，过点 D 作线段，DTAB 于点 T设点 D（d，0） ，则 OD=DT=d， 由对称性可知，AB=BC=10， 点 B坐标为（0，6） ， OB=6 在 RtAOB中，OA=22ABOB=26106=8 A
45、D=OA-OD=8-d， SABD=12AD OB=12AB DT 12(8-d)6=1210 d 解得：d=3 D（3，0） ， 设直线 BD的解析式为 y=kx+6（k0） ， 36 0k ， 2k， y=-2x+6； 【小问 2 详解】 如图 2， 当 E 点与 O 点关于直线 BD对称时，OBDEDB， E点在直线 AB上， D（3，0） ，A（8，0） ， AD=5， OD=3， DE=3， 设直线 BA的解析式为 y=kx+b， 806kbb ， 346kb， y=34x+6， 设 E（t，34t+6） ， 3=223(3)(6)4tt ， t=245， E（245，125） ； 如图 3， 当 BEy 轴，DEx轴时，OBDEDB 此时四边形 BOCE 是矩形， E（3，6） ； 综上所述：E点坐标为（245，125）或（3，6） ； 【小问 3 详解】 存，理由如下： 如图 4， 当 F 点与 D 点关于 B点对称时，BF=BD， SABD=SABF， F点在直线 BD上， 设 F（m，-2m+6） ， BD=22OBOD=2263=35， BF=35=22( 2 )mm ， m= 3， F（3，0） （舍）或 F（-3，12） ； 故点 F坐标为（-3，12） 【点睛】本题是一次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合
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