1、浙江省绍兴市新昌县浙江省绍兴市新昌县 2021-2022 学年九年级上期末数学试题学年九年级上期末数学试题 参考公式：抛物线参考公式：抛物线20yaxbxc a的顶点坐标是的顶点坐标是24,24bacbaa 卷卷（选择题）（选择题） 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分请选出每小题中一个最符合题意的选分请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 成语“水中捞月”所描述的事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 2. 如图，已知 AB
2、是 ABC 外接圆的直径，A=35 ，则B 的度数是（ ） A. 35 B. 45 C. 55 D. 65 3. 抛物线2513yx的顶点坐标为（ ） A. 1, 3 B. （1，3） C. 1,3 D. 1, 3 4. 如图，在 RtABC 中，C=90， AC=3，BC=4，则 sinA 的值为（ ） A. 34 B. 43 C. 35 D. 45 5. 已知扇形的圆心角为 120，半径为 3cm，则弧长为（ ） A. 2cm3 B. 2cm C. 4cm D. cm3 6. 如图，在下列四个三角形中，与 ABC 相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AB 是Oe的弦，OCA
3、B 于点 C，连结 OB，P是半径 OB上任意一点，连结 AP，若 OB5，OC3，则 AP的长不可能是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，取一根等宽的纸条打个结再拉紧，重叠部分是正五边形，则 FD：BF 的值为（ ） A. 512 B. 512 C. 0.618 D. 51 9. 如图，圆的半径为 4，则图中阴影部分的周长是（ ） A. 4 3 B. 8 3 C. 24 D. 24 3 10. 如图， 在矩形ABCD中， AB8， BC6， 顺次连结各边中点得到菱形1111DCBA， 再顺次连结菱形1111DCBA各边中点，得到矩形2222A B C D，再顺次连结矩
4、形2222A B C D各边中点，得到菱形3333A B C D，这样继续下去则四边形2022202220222022ABCD的面积为（ ） A. 201732 B. 201832 C. 201932 D. 2021482 卷卷（非选择题）（非选择题） 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11. 布袋中装有 1个红球和 2个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到球恰好为红球的概率为_ 12. 如图，点 A，B，C是Oe上的三个点，C50 ，则AOB_ 13. 将抛物线22yx向左平移12个单位，
5、再向下平移 2 个单位后，所得新抛物线的函数表达式是_ 14. 如图，在 ABC中，点 D，E 分别在 AB，AC上，AEDB，34ADAC，若四边形 BCED面积为 7，则 ADE 的面积为_ 15. 某车在弯路上做刹车试验，收集到的数据如下表所示： 速度 x（km/h） 0 5 10 15 20 a 刹车距离 y（m） 0 0.75 2 3.75 6 12 则 a_km/h 16. 如图，在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC6，BD2，以点 B 为圆心，BD长为半径作圆，点E 为Be上的动点，连结 EC，作 FCCE，垂足为 C，点 F 在直线 BC 的上方，且满足12CFCE，连
6、结BF当点 E 与点 D 重合时，BF 的值为_点 E在Be上运动过程中，BF存在最大值为_ 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，第小题，第 17 20 小题每小题小题每小题 8分，第分，第 21 小题小题 10 分，第分，第 22，23 小题小题每小题每小题 12 分， 第分， 第 24 小题小题 14 分， 共分， 共 80 分 解答需写出必要的文字说明、 演算步骤或证明过程）分 解答需写出必要的文字说明、 演算步骤或证明过程） 17. 计算： （1）cos452sin30tan60 （2）已知线段 a4，b6，求线段 a，b 的比例中项 c的长 18. 如图，在平面直角坐
7、标系中有一个 ABO，其中点 A，B的坐标分别为4,2，2,4 （1）以坐标原点 O为位似中心，作出 AOB的位似三角形，并把 ABO 的边长缩小到原来的12 （2）点2.4,3.6C 是边 AB上一点，根据你所画图形写出它对应点的坐标 19. 在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共 5个，小明做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复上述过程实验 n次，下表是小明“摸到白球”的频数、频率统计表 摸球实验次数 n 10 100 150 200 500 摸到白球的频数 m 2 22 31 39 101 摸到白球的频率 p 0.200 0.2
8、20 0.207 0.195 0.202 （1）观察上表，可以推测，摸一次摸到白球的概率为_ （2）请你估计盒子里白球个数 （3）若往盒子中同时放入 x个白球和 y 个黑球，从盒子中随机取出一个白球的概率是 0.25，求 y与 x 之间的函数关系式 20. 如图，葡萄园大棚支架的顶部形如等腰ABC经测量，钢条 ADBC，BC600cm，B38 （精确到 1cm，参考数据：sin 380.616，cos 380.788，tan 380.781） （1）求钢条 AB长 （2）为了加固支架，现在顶部加两根钢条 DE和 DF，已知 DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，求 DE 的长 21. 如图，
9、矩形 DEFG的四个顶点分别在正三角形 ABC的边上，已知ABC的边长为 4，记矩形 DEFG的面积为 S，线段 BE为 x （1）求 S 关于 x的函数表达式 （2）当3S 时，求 x 的值 22. 如图，已知Oe是等腰ABC 的外接圆，且 ABAC，点 D是AB上一点，连结 BD并延长至点 E，连结 AD，CD （1）求证：AD平分EDC （2）若EDA72，求BC的度数 23. 在平面直角坐标系 xOy 中，如果抛物线20yaxbxc a上存在一对点 P和P，且它们关于坐标原点 O 对称，那么我们把点 P和P叫做这条抛物线的成对点 （1）已知点2,Pm与P是抛物线224yxx成对点，求P
10、的坐标 （2）如图，已知点 A与 C为抛物线22yxxc 的成对点，且 A为该抛物线的顶点 求 c 的值 若这条抛物线的对称轴与 x轴交于点 B，连结 AC，BC，点 D是射线 AB上一点如果ADCACB，求点 D的坐标 24. 如图，在矩形 ABCD中，AD4cm，AB2cm，点 E从点 B出发，沿 BC以每秒 1cm的速度向点 C匀速运动，当点 E 到达点 C时停止运动，设点 E 的运动时间为 t秒连结 AE，过点 E作 EFAE，E为垂足，点 F 在直线 BC 的上方，且12EFAE，以点 F为圆心，FE 为半径作圆，连结 CF （1）当1t 时，判断点 C与Fe的位置关系 （2）当1t
11、 时，Fe是否会与矩形 ABCD的边所在的直线相切，若相切，求出 t的值，若不相切，请说明理由 （3）直接写出点 F 的运动路径长 浙江省绍兴市新昌县浙江省绍兴市新昌县 2021-2022 学年九年级上期末数学试题学年九年级上期末数学试题 参考公式：抛物线参考公式：抛物线20yaxbxc a的顶点坐标是的顶点坐标是24,24bacbaa 卷卷（选择题）（选择题） 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分请选出每小题中一个最符合题意的选分请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）项，不选、多选、错选，均不给分） 1
12、. 成语“水中捞月”所描述的事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可 【详解】水中捞月是不可能事件 故选 C 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 2. 如图，已知 AB 是ABC 外接圆的直径，A=35 ，则B 的度数是（ ） A. 35 B. 45 C. 55 D. 65 【答案】C 【解析】 【详解】试题
13、分析：由 AB 是ABC 外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得C=90 ，又由直角三角形两锐角互余的关系即可求得B 的度数： AB 是ABC 外接圆的直径，C=90 ， A=35 ，B=90 A=55 故选 C 考点：1.圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系. 3. 抛物线2513yx的顶点坐标为（ ） A. 1, 3 B. （1，3） C. 1,3 D. 1, 3 【答案】D 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点式 y=a(x-h)2+k，可直接写出顶点坐标 【详解】解：由2513yx， 根据 y=a(x-h)2+k，顶点坐标是（h，k） ， 可知2513yx顶点坐标为（-1，-
14、3） 故选：D 【点睛】本题考查二次函数顶点式 y=a(x-h)2+k，顶点坐标是（h，k） ，对称轴是 x=h，把完全平方项的底数中的常数当作顶点坐标的横坐标是本题的易错点， 顶点坐标横坐标应当是能使完全平方项底数为0的x的值 4. 如图，在 RtABC 中，C=90， AC=3，BC=4，则 sinA 的值为（ ） A. 34 B. 43 C. 35 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求出 AB，根据正弦的定义计算，得到答案 【详解】解：在Rt ABCV中，90C，3AC ，4BC ， 由勾股定理得，225ABACBC， 4sin5BCAAB， 故选：D 【点睛】本题考
15、查了锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做A的正弦是解题的关键 5. 已知扇形的圆心角为 120，半径为 3cm，则弧长为（ ） A. 2cm3 B. 2cm C. 4cm D. cm3 【答案】B 【解析】 【分析】扇形的弧长=圆形周长360扇形圆心角，根据公式列出算式计算即可 【详解】解：扇形的弧长：1202 32360 ， 故选：B 【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握扇形的弧长公式是解决本题的关键 6. 如图，在下列四个三角形中，与ABC 相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用图形中的方格，算出每一个三角形的三
16、边，比较比值是否与题中三角形一致即可判断是否相似 【详解】解：由图可知，ABC 各边比值为：2：2 2：10， 三角形各边比值为：2:4：2 5=2：2 2：10，符合题意； 三角形各边比值为：5：17：3 2，不符合题意； 三角形各边比值为：5：13：4，不符合题意； 三角形各边比值为：2：3 2：2 5，不符合题意 故选：A 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定，三边比值相同的三角形为相似三角形，结合实际图形进行判定是解题的关键 7. 如图，AB 是Oe的弦，OCAB 于点 C，连结 OB，P是半径 OB上任意一点，连结 AP，若 OB5，OC3，则 AP的长不可能是（ ） A. 6
17、B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】 首先利用勾股定理得出 BC 的长， 求出 AB 长， 再利用三角形边之间的关系进而得出 AOAPAB，即可得出答案. 【详解】如图 1，连接 OA， Q OCAB于点 C， OB= 5， OC= 3， BC=OBOC2222534 ， AB=2 48 ， QAOAPAB， 5AP8， AP 的长度不可能是： 9 故选：D 【点睛】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出 AP 的取值范围是解题关键，垂直于弦的直径平分这条弦 8. 如图，取一根等宽的纸条打个结再拉紧，重叠部分是正五边形，则 FD：BF 的值为（ ） A. 512 B.
18、 512 C. 0.618 D. 51 【答案】A 【解析】 【 分 析 】 根 据 正 五 边 形 的 性 质 ， 可 得521801085ABCDABC ， BC=CD ，DCF=CBD， 从而得到CBD=BDC=DCF=36， 进而得到BCF=72， CF=DF， 可得到 BF=BC，易得DBCDCF，即可求解 【详解】解： 根据题意得：多边形 ABCDE 是正五边形， 521801085BAEBCDABC ，BC=CD，DCF=CBD， CBD=BDC=DCF=36， BCF=BCD-DCF=72， CF=DF， BFC=180-CBF-BCF=72， BF=BC=CD， CBD =D
19、CF, BDC=FDC, DBCDCF， DFCDCDBD， DFBFBFDFBF， FDBF =512 故选：A 【点睛】本题主要考查了正五边形的性质，黄金三角形的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 9. 如图，圆的半径为 4，则图中阴影部分的周长是（ ） A. 4 3 B. 8 3 C. 24 D. 24 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据内接正三角形的性质，求出正三角形的一边，即可求出阴影部分的周长 【详解】解：如图所示， 90OCB，30OBA，圆的半径为 4， OC=2， BC=2 3， AB=2BC=4 3， 阴影部分的周长为：6 4 3=
20、24 3 故选：D 【点睛】本题考查了正多边形与圆，掌握内接正三角形的计算是解题的关键 10. 如图， 在矩形ABCD中， AB8， BC6， 顺次连结各边中点得到菱形1111DCBA， 再顺次连结菱形1111DCBA各边中点，得到矩形2222A B C D，再顺次连结矩形2222A B C D各边中点，得到菱形3333A B C D，这样继续下去则四边形2022202220222022ABCD的面积为（ ） A. 201732 B. 201832 C. 201932 D. 2021482 【答案】B 【解析】 【分析】根据1 1 11A B C DS，2222A B C DS，3333A B
21、 C DS可知第 n个菱形的面积482nnnnA B C DnS，故可推出第 2022个菱形面积 【详解】解：根据题意得：1 1 1114822A B C DSAB CB 22221 1 11214822A B C DA B C DSS， 33332222314822A B C DA B C DSS， 故规律为：482nnnnA B C DnS， 20222022202220222022201848322ABCDS ， 故选：B 【点睛】本题考查寻找，归纳，总结，应用规律的能力，以及菱形的面积，能够准确找到面积之间的规律是解决本题的关键 卷卷（非选择题）（非选择题） 二、填空题（本大题有二、填
22、空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11. 布袋中装有 1个红球和 2个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率为_ 【答案】13 【解析】 【分析】根据概率公式， 求摸到红球的概率，即用红球的个数除以小球总个数即可得到摸出红球的概率 【详解】解：布袋中装有 1个红球和 2个白球， 摸出一个球为红球的概率为：11123， 故答案为：13 【点睛】本题考查简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解答本题的关键 12. 如图，点 A，B，C是Oe上的三个点，C50 ，则AOB_ 【答案】100 【解析】 【分析】
23、根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”得到AOB=2C=100 【详解】解：由“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可知： AOB=2C=2 50 =100 ， 故答案为：100 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键 13. 将抛物线22yx向左平移12个单位，再向下平移 2 个单位后，所得新抛物线的函数表达式是_ 【答案】21222yx 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的规律解答即可 【详解】解：将抛物线2yx=向左平移12个单位，再向下平移 2个单位，所得抛物线相应的函数表达式是21()22yx 故答案为：21()22yx 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，
24、要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式 14. 如图，在ABC中，点 D，E 分别在 AB，AC上，AEDB，34ADAC，若四边形 BCED 的面积为 7，则ADE 的面积为_ 【答案】9 【解析】 【分析】证明ADEACB，得到34ADAC，进一步得到916ADEABCSS，再由 BCED的面积为 7 即可求解 【详解】解：A=A，AEDB， ADEACB， 3344ACADACAC， 2239416ADEABCSADSAC， 设9ADESx，则16ABCSx， 16977BCEDABCADESSSxxx， 1x ， 99ADESx， 故答案为：9 【点睛】本题考查
25、了相似三角形的判定性质，相似三角形面积等于相似比的平方，熟练掌握性质是解决本题的关键 15. 某车在弯路上做刹车试验，收集到的数据如下表所示： 速度 x（km/h） 0 5 10 15 20 a 刹车距离 y（m） 0 0.75 2 3.75 6 12 则 a_km/h 【答案】30 【解析】 【分析】利用图表中的数据，得出 y 与 x 的函数关系为二次函数关系，设 y=2mxbxc，进行代入求值，求出解析式中的系数，将 y=12 代入，即可求出 a 值 【详解】解：设刹车距离 y 与速度 x 的函数关系式为：y=2mxbxc， 将 x=0，y=0；x=10，y=2；x=20，y=6，分别代入
26、 y=2mxbxc得： 0210010640020cmbcmbc，解得11001100mbc， 即，函数解析式为：y=21110010 xx， 将 y=12代入解析式得：12=21110010 xx， 解得：130 x ，240 x （不符合题意，舍去） ， 即 a=30 km/h， 故答案为：30 【点睛】本题主要考查的是利用待定系数法求函数关系式，最终得出的值需要符合题意也是本题的关键 16. 如图，在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC6，BD2，以点 B 为圆心，BD长为半径作圆，点E 为Be上的动点，连结 EC，作 FCCE，垂足为 C，点 F 在直线 BC 的上方，且满足12
27、CFCE，连结BF当点 E 与点 D 重合时，BF 的值为_点 E在Be上运动过程中，BF存在最大值为_ 【答案】 . 2 10 . 3 51#1 3 5 【解析】 【分析】根据题意可知当点 E 与点 D 重合时，点 F在 AC上，且可求出CE的长，从而可求出 CF的长，即在Rt BCFV中，利用勾股定理求出 BF 的长即可；连接 AF、BE，由题意即可求出12ACCFBCCE再根据90ACFACE，90BCEACE，可得出ACFBCE，即证明ACFBCE:，得出12AFBE从而可求出 AF的长，即说明点 F在以点 A 为圆心，半径为 1 的圆上运动则可知当点 F在BA 的延长线上时 BF最大
28、， 最大值为AFAB 在Rt ABCV中， 利用勾股定理求出 AB的值， 即得出答案 【详解】根据题意可知，当点 E与点 D重合时，点 F在 AC上，如图， 6 24CEBCBD ， 122CFCE 在Rt BCFV中，2222622 10BFBCCF； 如图，连接 AF、BE 3162ACBC，12CFCE， 12ACCFBCCE 90ACFACE，90BCEACE， ACFBCE， ACFBCE:， 12AFCFBECE 2BEBD， 112AFBE，即 AF的长为定值 点 F在以点 A 为圆心，半径为 1的圆上运动 当点 F 在 BA 的延长线上时 BF 最大，且值为AFAB 在Rt A
29、BCV中，2222633 5ABBCAC， max1 3 5BF 故答案为：2 10，1 3 5 【点睛】本题考查勾股定理，三角形相似的判定和性质，较难利用数形结合的思想是解答本题的关键在解决第二个空时，证明出点 F 在以点 A为圆心，半径为 1 的圆上运动是关键 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，第小题，第 17 20 小题每小题小题每小题 8分，第分，第 21 小题小题 10 分，第分，第 22，23 小题小题每小题每小题 12 分， 第分， 第 24 小题小题 14 分， 共分， 共 80 分 解答需写出必要的文字说明、 演算步骤或证明过程）分 解答需写出必要的文字说明
30、、 演算步骤或证明过程） 17. 计算： （1）cos452sin30tan60 （2）已知线段 a4，b6，求线段 a，b 的比例中项 c的长 【答案】 （1）2132 （2）2 6c 【解析】 【分析】 （1）利用特殊的三角函数值，代入计算即可； （2）c 为线段 a，b 的比例中项，则2cab，即可求出2 6c 【小问 1 详解】 解：原式212322 2132 【小问 2 详解】 解：由题意得，2cab，a4，b6，0c ， 2 6c 【点睛】本题重点考查的是特殊三角函数值，以及相似中比例中项的应用，熟练掌握特殊三角函数值以及比例中项的运算是解题的关键 18. 如图，在平面直角坐标系中
31、有一个ABO，其中点 A，B 的坐标分别为4,2，2,4 （1）以坐标原点 O为位似中心，作出AOB的位似三角形，并把ABO 的边长缩小到原来的12 （2）点2.4,3.6C 是边 AB上一点，根据你所画图形写出它对应点的坐标 【答案】 （1）见解析 （2）1.2, 1.8或1.2,1.8 【解析】 【分析】(1)分位似三角形在第二象限或第四想象两种情况讨论即可； (2)根据相似比为12可知，相当于将2.4,3.6C 的坐标缩小为原来的一半，由此即可求解 小问 1 详解】 解：如图，11ABOV或22A B OV就是所求作的三角形 【小问 2 详解】 解：相似比为12， 2.4,3.6C 坐标
32、缩小为原来的一半， 当位似三角形在第二象限时，2.4,3.6C 在位似三角形中所对应的坐标为1.2,1.8， 当位似三角形在第四象限时，2.4,3.6C 在位似三角形中所对应的坐标为1.2, 1.8 【点睛】本题考查了位似变化的作图问题，位似必相似，但相似不一定位似，熟练掌握位似三角形的性质是解决本类题的关键 19. 在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共 5个，小明做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复上述过程实验 n次，下表是小明“摸到白球”的频数、频率统计表 摸球实验次数 n 10 100 150 200 500 摸到白球的频数
33、 m 2 22 31 39 101 摸到白球的频率 p 0.200 0.220 0.207 0.195 0.202 （1）观察上表，可以推测，摸一次摸到白球的概率为_ （2）请你估计盒子里白球个数 （3）若往盒子中同时放入 x个白球和 y 个黑球，从盒子中随机取出一个白球的概率是 0.25，求 y与 x 之间的函数关系式 【答案】 （1）0.2 （2）1个 （3）31yx 【解析】 【分析】 （1）观察表格发现摸到白球的频率在 0.2左右波动，所以 n很大时摸到白球的概率将会接近 0.2； （2）设盒子里白球有 m个，根据题意列出方程m0.25，解方程即可得出答案； （3）根据等可能事件概率的
34、计算方法，得到等式10.255xxy，化简后即可得答案 【小问 1 详解】 Q 观察表格发现摸到白球的频率在 0.2 左右波动， 摸到白球的频率为 0.2 【小问 2 详解】 设盒子里白球有 m 个，根据题意得， m0.25 解得 m=1 答:盒子里白球有 1 个 【小问 3 详解】 解：由题意得：10.255xxy 化简整理得：31yx y与 x之间的函数关系式为：31yx （x为正整数） 【点睛】本题考查用频率估计概率，理解概率的意义，能根据事件发生的频率来估计该事件的概率是解题的关键. 20. 如图，葡萄园大棚支架的顶部形如等腰ABC经测量，钢条 ADBC，BC600cm，B38 （精确
35、到 1cm，参考数据：sin 380.616，cos 380.788，tan 380.781） （1）求钢条 AB的长 （2）为了加固支架，现在顶部加两根钢条 DE和 DF，已知 DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，求 DE 的长 【答案】 （1）钢条 AB长为 381cm； （2）钢条 DE的长为 185cm 【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形性质以及解直角三角形即可求解； （2）在直角BDE 中，解直角三角形即可求解 【小问 1 详解】 解：在等腰ABC 中，ADBC BC2BD600， BD300 ABC38 ， 300381 cmcos0.788BDABB 答：钢条 AB 的
36、长为 381cm； 【小问 2 详解】 解：DEAB 于点 EBD300 sin300 0.616185 cmDEBDB 答：钢条 DE 的长为 185cm 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用， 、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 21. 如图，矩形 DEFG的四个顶点分别在正三角形 ABC的边上，已知ABC的边长为 4，记矩形 DEFG的面积为 S，线段 BE为 x （1）求 S 关于 x的函数表达式 （2）当3S 时，求 x 的值 【答案】 （1）22 34 302Sxxx （2）212x 【解析】 【分析】 （1）由等边三角形的性质可得出BC60 ，即可求出tan603DEBEx根据
37、题意易证BEDCFG AAS，即得出 BECFx，从而可求出42EFx最后根据面积公式即可求出 S关于 x 的函数表达式； （2）将3S 代入（1）求出的函数表达式，解出 x，再判断 x的值是否符合题意即可 【小问 1 详解】 解：在正三角形 ABC 中，线段 BE 为 x， BC60 tan603DEBEx 矩形 DEFG 的四个顶点分别在正三角形 ABC 的边上， DEGF，BEDCFG90 ， BEDCFG AAS BECFx ABC的边长为 4， 42EFx 23422 34 302SDE EFxxxxx 【小问 2 详解】 当3S 时，得22 34 33xx 解得212x 02x，
38、212x 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解直角三角形，等边三角形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质利用数形结合的思想是解答本题的关键 22. 如图，已知Oe是等腰ABC 的外接圆，且 ABAC，点 D是AB上一点，连结 BD并延长至点 E，连结 AD，CD （1）求证：AD平分EDC （2）若EDA72，求BC的度数 【答案】 （1）见解析 （2）72 【解析】 【分析】 （1）由圆的内接四边形的性质可知ADB+ACB180 ，即可证明ACBADE再由等腰三角形的性质可知ABCACB 根据圆周角定理又可推出ABCADC， 从而即可得出ADCADE，即 AD平分EDC； （2）根据
39、（1）得出ADEACBABC72 ，再由三角形内角和定理即可求出BAC的大小，最后根据圆周角定理即可求出BOC的大小，即BC的度数 【小问 1 详解】 四边形 ABCD内接于Oe， ADB+ACB180 ADB+ADE180 ， ACBADE ABAC， ABCACB 又ABCADC， ADCADE，即 AD平分EDC； 【小问 2 详解】 由（1）得ADEACBABC72 ， 18036BACACBABC， 272BOCBAC ， BC的度数为 72 【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，角平分线的定义以及三角形内角和定理利用数形结合的思想是解题的关键 23.
40、在平面直角坐标系 xOy 中，如果抛物线20yaxbxc a上存在一对点 P和P，且它们关于坐标原点 O 对称，那么我们把点 P和P叫做这条抛物线的成对点 （1）已知点2,Pm与P是抛物线224yxx的成对点，求P的坐标 （2）如图，已知点 A与 C为抛物线22yxxc 成对点，且 A 为该抛物线的顶点 求 c 的值 若这条抛物线的对称轴与 x轴交于点 B，连结 AC，BC，点 D是射线 AB上一点如果ADCACB，求点 D的坐标 【答案】 （1）2, 4P （2）1；1, 8D 【解析】 【分析】 （1）根据成对点的定义，结合中心对称，将点代入解方程即可； （2）根据成对点的定义，结合中心对
41、称，分别得到点 A和点 C的坐标，然后解方程即可； 由ADCACB 可知ABCACD，然后根据坐标分别求出 AB 和 AC，在根据相似的性质，列方程即可 【小问 1 详解】 （1）点2,Pm在函数224yxx的图象上， 当2x 时，222422244yxx ， 点2,4P ， 点2,4P 与P是抛物线224yxx的成对点， 2, 4P； 【小问 2 详解】 点 A 为抛物线22yxxc 的顶点， 2122ba ， 当1x时，2221211yxxccc ， 1,1Ac， 点 A与 C 为抛物线22yxxc 的成对点， 点1, 1Cc 在抛物线上， 当1x 时，22212 13yxxccc ， 1
42、3cc ，解得1c； 1,2A ，1, 2C， AB2，22422 5AC ， 如图，ADCACB，BACCAD， ABCACD, ABACACAD即22 52 5AD，解得 AD10, 10 28BDADAB ， 1, 8D 【点睛】本题主要考查二次函数相关知识，理解成对点，根据中心对称得到相关点坐标关系，然后结合相似三角形性质进而列方程是解题的关键 24. 如图，在矩形 ABCD中，AD4cm，AB2cm，点 E从点 B出发，沿 BC以每秒 1cm的速度向点 C匀速运动，当点 E 到达点 C时停止运动，设点 E 的运动时间为 t秒连结 AE，过点 E作 EFAE，E为垂足，点 F 在直线
43、BC 的上方，且12EFAE，以点 F为圆心，FE 为半径作圆，连结 CF （1）当1t 时，判断点 C与Fe的位置关系 （2）当1t 时，Fe是否会与矩形 ABCD的边所在的直线相切，若相切，求出 t的值，若不相切，请说明理由 （3）直接写出点 F 的运动路径长 【答案】 （1）点 C 在Fe外 （2）是，32t 或4 343t （3）2 5 【解析】 【分析】 （1）过点 F 作 FGBC 于点 G，易证 ABEEGF，根据相似三角形的性质可得151,1222EFAEEGAB，FG=1122BE ，则 CG2，利用勾股定理求出 CF172，则 CFEF，即可得出结论； （2） 过点 F 作
44、 FGBC 于点 G， 由 （1） 知 ABEEGF， 根据相似三角形的性质得12EGFGEFABBEAE，在 RtABE中，由勾股定理求出 AE2AB2BE24t2，可得 EF=14（4+t2） ，FG=1122BEt，然后分两种情况： Fe与矩形 ABCD的边 AD相切， Fe与矩形 ABCD的边 CD相切， 根据切线的性质即可求解； （3）由题意可得点 F的运动路径为 MN，作 NGBC于 G，连接 CN，利用相似三角形的判定与性质以及勾股定理即可求解 【小问 1 详解】 解：点 C 在Fe外 如图，过点 F 作 FGBC于点 G， EFAE，ABE90， AEB+BAE90，AEB+F
45、EG90， BAEGEF， 又ABEEGF90， ABEEGF， 12EGFGEFABBEAE， 当 t1 时，BE1，AB2， 112EGAB，1122FGBE， CGBCBEEG2 22171742CFCGFG 22511222EFAEABBE CFEF 点 C在Fe外 【小问 2 详解】 过点 F作 FGBC于点 G， 由（1）知ABEEGF， 12EGFGEFABBEAE， 在 RtABE中，ABE90， 22224AEABBEt， 22211444EFAEt， 1122FGBEt 如图，F与直线 AD 相切时，延长 GF与 AD 相交于点 P，22tPF PFEF， 22EFPF，即
46、2214242tt， 解得：32t 如图，F与直线 CD 相切时，过点 F 作 FQCD于点 Q，则3FQGCt， EFFQ， 22EFFQ，即221434tt， 解得：14 343t ，24 343t （舍去） ， 综上所述：当32t 或4 343t 时，F与矩形 ABCD的边所在的直线相切 【小问 3 详解】 由题意可得点 F的运动路径为 MN，作 NGBC于 G，连接 CN， 四边形 ABCD为矩形， 90BACBCAB ， ACCN， 90ACNACBNCG ， CABNCG ， NGBC， BNGC ， ABCCGNV: V ， 12CGNGCNABCBAC ， 111,222CGABNGBC ， 当点 E 和点 B 重合时，点 F 在点 M处， 112BMAB ， 4 1 14MG ， 2222422 5MNMGNG ， 点 F的运动路径长为2 5 【点睛】本题是圆的综合题，考查切线的性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，把问题转化为方程解决，学会添加常用辅助线，构造相似三角形，属于中考压轴题
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