1、2021-2022 学年江苏省镇江市市区九年级学年江苏省镇江市市区九年级上上期末数学试卷期末数学试卷 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，共计分，共计 24 分）分） 1一元二次方程 x240 的解是 2如图，把一个边长为 6 的正三角形纸片剪去 3 个小三角形，得到一个正六边形（图中的阴影部分），则剪去的每个小三角形的边长等于 3已知 x2 是关于 x 的方程 x2+x2m0 的一个根，则 m 4一只不透明的袋子中装有 2 个白球和 3 个红球，现在向袋中再放入 n 个白球，袋中的这些球除颜色外都相同， 搅匀后从中任意摸出1个球， 若要使摸到
2、白球比摸到红球的可能性大， 则n的最小值等于 5对方程 x2x0 进行配方，得+m+m，其中 m 6如图，A、D 是O 上的两点，BC 是直径，若A30，则BCD 7甲、乙两人在相同情况下各打靶 8 次，每次打靶的成绩如图所示， （填“甲”或“乙”）的成绩更稳定 8一种药品经过 2 次降价，药价从每盒 80 元下调至 51.2 元，设平均每次降价的百分率为 x，则可列方程为 80（1x）251.2类似的，一种药品经过 n 次降价，药价从每盒 a 元下调至 b 元，设平均每次降价的百分率为 x，则可列方程为 9据统计，九（1）班 40 名学生中，有 4 人 a 岁，30 人 b 岁，6 人 c
3、岁（这 40 名学生的岁数之间只相差 1岁或 2 岁）这个班级学生的平均年龄更接近 岁（填“a”、“b”或“c”） 10如图，AB 是O 的弦，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心若 BC9，AC3，则O 的半径等于 11一组数据 21，22，23，24，25，用符号 A 表示，记为 A（21，22，23，24，25），加入一个数据 a后，用符号 B 表示，记为 B（21，22，23，24，25，a） 若 a22，则 A 的平均数大于 B 的平均数； 若 a23，则 A 的方差等于 B 的方差； 若 a24，则 A 的中位数小于 B 的中位数 其中正确的序号是 12如图，有一张四边形
4、纸片 ABCD，已知 AB，AD2，B80，CD90，小明和小丽各做了如图操作，请你选择他俩当中的一人所剪出的扇形，求出它的弧长等于 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 18 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求）题目要求） 13下列方程中，有实数根的是（ ） Ax2+10 Bx2+x+10 Cx2x+10 Dx2+3x+10 14小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ） A B C D都不能 15王老师为了了
5、解本班学生每周课外阅读时间，抽取了 10 名同学进行调查，调查结果统计如下： 时间/小时 4 5 6 7 8 人数 2 4 a b 1 那么这组数据的中位数和众数分别是（ ） A4，4 B5，4 C5，5 D都无法确定 16如图所示 33 的正方形网格，若向该网格中进行随机投掷飞镖试验，则飞镖扎在阴影区域（顶点均在格点上）的概率为（ ） A B C D 17如图，半圆 O 的直径 AB4，将半圆 O 绕点 B 顺时针旋转 45得到半圆 O，与 AB 交于点 P，图中阴影部分的面积等于（ ） A2+2 B2+4 C24 D48 18如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC6，点 E、F 分别是
6、AD、BC 的中点，点 P 在线段 EF 上，PAB内切圆半径的最大值是（ ） A1 B C D 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 8 小题，共计小题，共计 78 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19解方程： （1）（x+2）22x+7； （2）x+1x（x+1）0 20甲、乙两校各有 5 名学生参加区教育局举办的青少年党史知识竞赛，成绩如表： 甲校选手得分 97 91 80 91 81 乙校选手得分 76 92 94 86 92 （1）对甲、乙两校参赛学生的成绩进行评价； （2） 如果各校从他们参赛的 5 名学
7、生中派出前 3 名参加下一轮的决赛，你认为哪个学校的选手实力更强一些？说说你的理由 21已知关于 x 的方程（k+2）x|k|+（2k3）x+m0 有两个不相等的实数根 （1）求实数 m 的取值范围； （2）请你给出 m 的一个值，使得这个方程的两个根都是有理数，并求出这两个根 22扑克牌在生活中很常见，一副扑克牌共有 54 张，对它们的解释也非常奇妙：大王代表太阳、小王代表月亮，其余 52 张牌代表一年中的 52 个星期；红桃、方块、梅花、黑桃四种花色分别象征着春、夏、秋、冬四个季节；每种花色有 13 张牌，表示每个季节有 13 个星期；如果把 J、Q、K 分别当作 11、12、13点，大王
8、、小王为半点，一副扑克牌的总点数恰好是 365 点，而闰年把大、小王各算为 1 个点，共 366点扑克牌的设计和发明与天文、历法有着千丝万缕的联系 小云将黑桃 1，红桃 2、梅花 3、方块 4 这四张牌的背面朝上，洗匀后从中任意翻开两张用画树状图或列表的方法，求翻开的两张分别代表冬季、春季的概率 23某体育用品商店举行“年终狂欢”促销活动，某种运动鞋零售价每双 240 元，如果一次性购买超过 10双，那么每多购 1 双，所购运动鞋的单价降低 6 元，但单价不能低于 160 元一位顾客购买这样的运动鞋支付了 3600 元，求这位顾客购买了多少双鞋？ 24如图，P 是O 的直径 AB 上的一点（不
9、与点 A、O、B 重合），点 C 在直径 AB 上方的半圆上（异于点A、B） （1）尺规作图：在O 上作出一点 D，使得APCBPD（作出所有符合条件的点，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）中所作出的符合条件的点中，找到与点 C 位于直径 AB 同侧的点 D，连接 OC、OD，求证CPDCOD 25【阅读】 小明同学遇到这样一个问题：已知关于 x 的方程 a（x+m）2+b0（a、b、m 为常数，a0）的解是 x13，x22，求方程 a（x+m+1）2+b0 的解他用“换元法”解决了这个问题我们一起来看看小明同学的具体做法 解：在方程 a（x+m+1）2+b0 中令 yx+1，则方程可
10、变形为 a（y+m）2+b0， 根据关于 x 的方程 a（x+m）2+b0 的解是 x13，x22， 可得方程 a（y+m）2+b0 的解是 y13，y22 把 y3 代入 yx+1 得，x4，把 y2 代入 yx+1 得，x1， 所以方程 a（x+m+1）2+b0 的解是 x14，x21 【理解】 已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）有两个实数根 m，n （1）关于 x 的方程 ax+b+c0（a0）的两根分别是 （用含有 m、n 的代数式表示）； （2）方程 的两个根分别是 2m，2n（答案不唯一，写出一个即可） 【猜想与证明】 观察下表中每个方程的解的特点： 方程 方
11、程的解 方程 方程的解 x2+4x+30 x13，x21 3x2+4x+10 x11 2x27x+30 x13 3x27x+20 x12，x2 x22x80 x14，x22 8x2+2x10 x1，x2 （1）猜想：方程 ax2+bx+c0（a0，c0，b24ac0）的两个根与方程 的两个根互为倒数； （2）仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想 26已知线段 AM5，射线 AS 垂直于 AM，点 N 在射线 AS 上，设 ANn，点 P 在经过点 N 且平行于 AM的直线上运动，PAM 的平分线交直线 NP 于点 Q，过点 Q 作 QBAP，交线段 AM 于点 B，连接 PB交 AQ 于点
12、C，以 Q 为圆心，QC 为半径作圆 （1）求证：PB 与Q 相切； （2）已知Q 的半径为 3，当 AM 所在直线与Q 相切时，求 n 的值及 PA 的长； （3）当 n2 时，若Q 与线段 AM 只有一个公共点，则Q 的半径的取值范围是 （直接写出答案） 参考答案参考答案 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，共计分，共计 24 分）分） 1一元二次方程 x240 的解是 x2 【分析】式子 x240 先移项，变成 x24，从而把问题转化为求 4 的平方根 解：移项得 x24， x2 故答案为：x2 2如图，把一个边长为 6 的正三角形纸片剪
13、去 3 个小三角形，得到一个正六边形（图中的阴影部分），则剪去的每个小三角形的边长等于 2 【分析】根据正六边形的定义可得 EFFGGH，根据等边三角形的定义可知 EFBF，HGGC，所以得出 BFFGGC，可得出 FG 的长度，从而求得答案 解：六边形 DEFGHI 为正六边形， EFFGGH， BEF 和CGH 为正三角形， BFEFFGHGGC， BC3FG， FG2， 即剪去的每个小三角形的边长等于 2 故答案为：2 3已知 x2 是关于 x 的方程 x2+x2m0 的一个根，则 m 3 【分析】把 x2 代入已知方程，列出关于 m 的新方程，通过解新方程来求 m 的值 解：x2 是关
14、于 x 的方程 x2+2x2m0 的一个根， 22+22m0， 解得，m3 故答案是：3 4一只不透明的袋子中装有 2 个白球和 3 个红球，现在向袋中再放入 n 个白球，袋中的这些球除颜色外都相同， 搅匀后从中任意摸出 1 个球， 若要使摸到白球比摸到红球的可能性大， 则 n 的最小值等于 2 【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多 1 即可求解 解：要使摸到白球比摸到红球的可能性大， n 的最小值等于 3+122 故答案为：2 5对方程 x2x0 进行配方，得+m+m，其中 m 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方，依此可求 m 解：由题意得：m（2）2 故答案为： 6如图，
15、A、D 是O 上的两点，BC 是直径，若A30，则BCD 60 【分析】连接 BD，由 BC 为直径可得BDC90，再由BA30，即可求出BCD 的度数 解：连接 BD， BC 为直径， BDC90， A30， BA30， BCD903060， 故答案为：60 7甲、乙两人在相同情况下各打靶 8 次，每次打靶的成绩如图所示， 甲 （填“甲”或“乙”）的成绩更稳定 【分析】根据成绩图可以得到甲、乙 8 次打靶的成绩，再根据方差公式 s2（x1 ）2+（x2 ）2+（xn ）2代入样本数据计算即可 解：甲的平均数（10+7+7+8+8+8+9+7）86.4，甲的方差 S甲2（6.410）2+3（6
16、.47）2+3（6.48）2+（6.49）283.56； 乙的平均数（10+5+5+8+9+9+8+10）86.4，乙的方差 S乙22（6.410）2+2（6.48）2+2（6.49）2+2（6.45）286.06； S甲2S乙2， 甲比乙稳定 故答案为：甲 8一种药品经过 2 次降价，药价从每盒 80 元下调至 51.2 元，设平均每次降价的百分率为 x，则可列方程为 80（1x）251.2类似的，一种药品经过 n 次降价，药价从每盒 a 元下调至 b 元，设平均每次降价的百分率为 x，则可列方程为 a（1x）nb 【分析】利用经过 n 次降价后的价格原价（1平均每次降价的百分率）n，即可得
17、出关于 x 的一元 n次方程，此题得解 解：依题意得：a（1x）nb 故答案为：a（1x）nb 9据统计，九（1）班 40 名学生中，有 4 人 a 岁，30 人 b 岁，6 人 c 岁（这 40 名学生的岁数之间只相差 1岁或 2 岁）这个班级学生的平均年龄更接近 b 岁（填“a”、“b”或“c”） 【分析】根据平均数的计算公式即可求出 解：这个班 40 名同学的平均年龄是（岁） 这 40 名学生的岁数之间只相差 1 岁或 2 岁， 这个班级学生的平均年龄更接近 b 岁， 故答案为：b 10如图，AB 是O 的弦，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心若 BC9，AC3，则O 的半径
18、等于 4 【分析】连接 OA，根据 AC 是O 的切线，得到OAC90，根据勾股定理即可解决问题 解：如图，连接 OA， AC 是O 的切线， OAC90， BC9， OC9OA， OA2+AC2OC2， OA2+32（9OA）2， OA4， 故答案为：4 11一组数据 21，22，23，24，25，用符号 A 表示，记为 A（21，22，23，24，25），加入一个数据 a后，用符号 B 表示，记为 B（21，22，23，24，25，a） 若 a22，则 A 的平均数大于 B 的平均数； 若 a23，则 A 的方差等于 B 的方差； 若 a24，则 A 的中位数小于 B 的中位数 其中正确的
19、序号是 【分析】根据方差、平均数、中位数的概念求解 解：若 a22，则 A 的平均数为23， B 的平均数， A 的平均数大于 B 的平均数，正确； 若 a23，则 A 的平均数为23， A 的方差：（2321）2+（2322）2+（2323）2+（2324）2+（2325）22， B 的平均数23， B 的方差：（2321）2+（2322）2+（2323）2+（2324）2+（2325）2+（2323）2， A 的方差不等于 B 的方差，错误； 若 a24，则 A 的中位数为 23， B 的中位数23.5 A 的中位数小于 B 的中位数，正确 故答案为： 12如图，有一张四边形纸片 ABCD
20、，已知 AB，AD2，B80，CD90，小明和小丽各做了如图操作，请你选择他俩当中的一人所剪出的扇形，求出它的弧长等于 或 【分析】分别求出两种扇形的圆心角，半径，再利用弧长公式求解即可 解：小明的最大的扇形 ATE，如图所示： ABAE2，AD2，D90， DE2， ADDE， DAE45， CD90， B+BAD180， B80， DAB100， BAE55， ABAT， ABTATB80， BAT18016020， EAT552035， 的长 小丽的扇形的圆心角为 100，半径为 2， 扇形的弧长， 故答案为： 或 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小
21、题 3 分，共计分，共计 18 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求）题目要求） 13下列方程中，有实数根的是（ ） Ax2+10 Bx2+x+10 Cx2x+10 Dx2+3x+10 【分析】分别计算出每个方程根的判别式的值，再进一步判断即可 解：A此选项方程根的判别式0241140，此方程没有实数根； B此选项方程根的判别式1241130，此方程没有实数根； C此选项方程根的判别式（1）241130，此方程没有实数根； D此选项方程根的判别式3241150，此方程有两个不相等的实数根； 故选：D 14小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中
22、三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ） A B C D都不能 【分析】要确定圆的大小需知道其半径根据垂径定理知第块可确定半径的大小 解：第块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长 故选：B 15王老师为了了解本班学生每周课外阅读时间，抽取了 10 名同学进行调查，调查结果统计如下： 时间/小时 4 5 6 7 8 人数 2 4 a b 1 那么这组数据的中位数和众数分别是（ ） A4，4 B5，4 C5，5 D都无法确定 【分析】先根据数据的总个数得出 a+b3，再利用众数和中位数的定义求解即可 解：一共
23、抽取 10 名同学， a+b102413， 这组数据中 5 出现次数最多，有 4 次， 众数为 5， 中位数是第 5、6 个数据的平均数，而第 5、6 个数据均为 5， 这组数据的中位数为5， 故选：C 16如图所示 33 的正方形网格，若向该网格中进行随机投掷飞镖试验，则飞镖扎在阴影区域（顶点均在格点上）的概率为（ ） A B C D 【分析】先求出大正方形的面积，再求出阴影部分的面积，最后根据阴影部分的面积与总面积的比，即可得出答案 解：大正方形的面积339， 阴影部分的面积大正方形的面积4 个小直角三角形的面积9421945， 阴影部分的面积占总面积的， 飞镖落在阴影区域（顶点都在格点上
24、）的概率为 故选：A 17如图，半圆 O 的直径 AB4，将半圆 O 绕点 B 顺时针旋转 45得到半圆 O，与 AB 交于点 P，图中阴影部分的面积等于（ ） A2+2 B2+4 C24 D48 【分析】先根据题意判断出APB 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出 PB 的长，进而可得，然后根据 S阴影S扇形ABASABP直接进行计算即可 解：连接 AP， AB 是直径， APB90， OBA45， APB 是等腰直角三角形， PAPBAB2， ， S阴影S扇形ABASABP24， 故选：C 18如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC6，点 E、F 分别是 AD、BC 的中点，点 P
25、 在线段 EF 上，PAB内切圆半径的最大值是（ ） A1 B C D 【分析】由三角形 APB 的面积为 12，可知 AP+BP 最小时，r 有最大值，连接 CA 与 EF 交于点 P，求出AC10，由三角形面积公式可得出答案 解：点 E、F 分别是 AD、BC 的中点，四边形 ABCD 是矩形， EFAB， P 在 EF 上，AB8，BC6， SPAB8312， 设PAB 内切圆半径是 r， SPAB（AP+PB+AB）r12， AP+BP 最小时，r 有最大值， 如图，F 是 BC 的中点，所以点 B 关于 EF 的对称点是 C 点，连接 CA 与 EF 交于点 P， AP+BPAP+C
26、PCA， 此时 CA 即为 AP+BP 最小值， AB8，AD6， AC10， AP+BP 最小值为 10， PAPB5， 8r12， 解得 r 故选：D 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 8 小题，共计小题，共计 78 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19解方程： （1）（x+2）22x+7； （2）x+1x（x+1）0 【分析】（1）直接去括号，再合并同类项，再利用十字相乘法分解因式，解方程即可； （2）直接提取公因式（x+1），进而分解因式解方程即可 解：（1）x2+2x 30， （x+3）（x1）0， 则
27、 x+30 或 x10， 解得：x13，x21； （2）（x+1）（1x）0， 则 x+10 或 1x0， 解得：x11，x21 20甲、乙两校各有 5 名学生参加区教育局举办的青少年党史知识竞赛，成绩如表： 甲校选手得分 97 91 80 91 81 乙校选手得分 76 92 94 86 92 （1）对甲、乙两校参赛学生的成绩进行评价； （2） 如果各校从他们参赛的 5 名学生中派出前 3 名参加下一轮的决赛，你认为哪个学校的选手实力更强一些？说说你的理由 【分析】（1）计算甲、乙两校参赛学生成绩的平均分，众数，中位数，方差，再进行分析即可； （2）计算各校前 3 名的平均分，比较即可 解：
28、（1）由表中数据可知，甲校的平均分是88（分）， 众数是 91， 中位数是 91， 方差是（8897）2+（8891）2+（8880）2+（8891）2+（8881）242.4； 乙校的平均分是88（分）， 众数是 92， 中位数是 92， 方差是（8876）2+（8892）2+（8894）2+（8886）2+（8892）243.2 甲、乙两校的平均分相等，甲校的方差小于乙校的方差，因此甲校学生的成绩较稳定，成绩较好； （2）甲校派出选手的成绩为 91、91、97，平均分是93， 乙校派出选手的成绩为 92、92、94，平均分是92.7， 甲校的平均分高于乙校，因此甲校的选手实力更强些 21已
29、知关于 x 的方程（k+2）x|k|+（2k3）x+m0 有两个不相等的实数根 （1）求实数 m 的取值范围； （2）请你给出 m 的一个值，使得这个方程的两个根都是有理数，并求出这两个根 【分析】（1）先根据一元二次方程的定义得到 k+20 且|k|2，解得 k2，原方程化为 4x2+x+m0，然后根据根的判别式的意义得到1 16m0，再解不等式即可； （2）取 m0，则1，方程变形为 4x2+x0，然后利用因式分解法解方程 解：（1）根据题意得 k+20 且|k|2， 解得 k2， 原方程化为 4x2+x+m0， 方程有两个不相等的实数根， 1 16m0， 解得 m， 即实数 m 的取值范
30、围为 m； （2）取 m0，则方程变形为 4x2+x0， 解得 x10，x2 22扑克牌在生活中很常见，一副扑克牌共有 54 张，对它们的解释也非常奇妙：大王代表太阳、小王代表月亮，其余 52 张牌代表一年中的 52 个星期；红桃、方块、梅花、黑桃四种花色分别象征着春、夏、秋、冬四个季节；每种花色有 13 张牌，表示每个季节有 13 个星期；如果把 J、Q、K 分别当作 11、12、13点，大王、小王为半点，一副扑克牌的总点数恰好是 365 点，而闰年把大、小王各算为 1 个点，共 366点扑克牌的设计和发明与天文、历法有着千丝万缕的联系 小云将黑桃 1，红桃 2、梅花 3、方块 4 这四张牌
31、的背面朝上，洗匀后从中任意翻开两张用画树状图或列表的方法，求翻开的两张分别代表冬季、春季的概率 【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案 解：根据题意，列表如下： 1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） 共有 12 种等可能的情况数，其中翻开的两张分别代表冬季、春季的有 2 种， 则翻开的两张分别代表冬季、春季的概率是 23某体育用品商店举行“年终狂欢”促销活动，某种运动鞋零售价每双 240 元，如果一
32、次性购买超过 10双，那么每多购 1 双，所购运动鞋的单价降低 6 元，但单价不能低于 160 元一位顾客购买这样的运动鞋支付了 3600 元，求这位顾客购买了多少双鞋？ 【分析】 利用总价单价数量可求出购买 10 双鞋所需费用， 由该值小于 3600 可得出购买数量超过 10，设这位顾客购买了 x 双鞋，则每双鞋的售价为（3006x）元，利用总价单价数量，即可得出关于 x的一元二次方程， 解之即可得出 x 的值， 再结合单价不能低于 160 元， 即可得出这位顾客购买了 20 双鞋 解：240102400（元），24003600， 购买数量超过 10 设这位顾客购买了 x 双鞋，则每双鞋的单
33、价为 2406（x10）（3006x）元， 依题意得：x（3006x）3600， 整理得：x250 x+6000， 解得：x120，x230 当 x20 时，3006x300620180160，符合题意； 当 x30 时，3006x300630120160，不符合题意，舍去 答：这位顾客购买了 20 双鞋 24如图，P 是O 的直径 AB 上的一点（不与点 A、O、B 重合），点 C 在直径 AB 上方的半圆上（异于点A、B） （1）尺规作图：在O 上作出一点 D，使得APCBPD（作出所有符合条件的点，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）中所作出的符合条件的点中，找到与点 C 位于直径
34、 AB 同侧的点 D，连接 OC、OD，求证CPDCOD 【分析】 （1） 过 C 点作 AB 的垂线交O 于 E， 根据垂径定理得到 AB 垂直平分 CE， 则 AB 平分CPE，延长 EP 交于 D 点，延长 CP 交O 于 D，则 D 点和 D点满足条件； （2）利用 PCPE 得到PCEPEC，再利用三角形外角性质得到CPD2PEC，而根据圆周角定理得到COD2DEC，从而得到结论 【解答】（1）解：如图，点 D 和 D即为所求； （2）证明：PCPE， PCEPEC， CPDPEC+PCE2PEC， COD2DEC， CPDCOD 25【阅读】 小明同学遇到这样一个问题：已知关于 x
35、 的方程 a（x+m）2+b0（a、b、m 为常数，a0）的解是 x13，x22，求方程 a（x+m+1）2+b0 的解他用“换元法”解决了这个问题我们一起来看看小明同学的具体做法 解：在方程 a（x+m+1）2+b0 中令 yx+1，则方程可变形为 a（y+m）2+b0， 根据关于 x 的方程 a（x+m）2+b0 的解是 x13，x22， 可得方程 a（y+m）2+b0 的解是 y13，y22 把 y3 代入 yx+1 得，x4，把 y2 代入 yx+1 得，x1， 所以方程 a（x+m+1）2+b0 的解是 x14，x21 【理解】 已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0
36、）有两个实数根 m，n （1）关于 x 的方程 ax+b+c0（a0）的两根分别是 m2，n2 （用含有 m、n 的代数式表示）； （2）方程 ax2+2bx+4c0 的两个根分别是 2m，2n（答案不唯一，写出一个即可） 【猜想与证明】 观察下表中每个方程的解的特点： 方程 方程的解 方程 方程的解 x2+4x+30 x13，x21 3x2+4x+10 x11 2x27x+30 x13 3x27x+20 x12，x2 x22x80 x14，x22 8x2+2x10 x1，x2 （1）猜想：方程 ax2+bx+c0（a0，c0，b24ac0）的两个根与方程 cx2+bx+a0 的两个根互为倒数
37、； （2）仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想 【分析】【理解】（1）令 y，根据题意可得m 或n，即可求解方程； （2）由题意可知 m+n，mn，由于方程的两个根分别是 2m，2n，则 2m+2n，am2n，即可写出符合条件的方程； 【猜想与证明】 （1）由表格可得：cx2+bx+a0 的两个根与方程 ax2+bx+c0（a0，c0，b24ac0）的两个根互为倒数； （2）先将 cx2+bx+a0 变形为，设，方程可变形为 ay2+by+c0，设方程 ax2+bx+c0的解是 x1m，x2n，则可得方程 ay2+by+c0 的解为 y1m，y 2n，把 ym 代入得，；把yn 代入得，x，
38、即可证明 解：【理解】（1）令 y， 方程 ax+b+c0（a0）可化为 ay2+by+c0， ax2+bx+c0（a0）有两个实数根 m，n， ym 或 yn， m 或n， xm2或 xn2， 故答案为：m2，n2； （2）方程 ax2+bx+c0（a0）有两个实数根 m，n， xm 或 xn， m+n，mn， 方程的两个根分别是 2m，2n， 2m+2n，am2n， 方程 ax2+2bx+4c0 的两个根为 2m，2n， 故答案为：ax2+2bx+4c0； 【猜想与证明】 （1）由表格可得：cx2+bx+a0 的两个根与方程 ax2+bx+c0（a0，c0，b24ac0）的两个根互为倒数，
39、 故答案为：cx2+bx+a0； （2）证明：由 cx2+bx+a0 两边同除以 x2，得， 设，方程可变形为 ay2+by+c0， 设方程 ax2+bx+c0 的解是 x1m，x2n， 可得方程 ay2+by+c0 的解是 y1m，y 2n， 把 ym 代入得，；把 yn 代入得，x， 所以方程 cx2+bx+a0 的解是， 即方程 ax2+bx+c0 的两个根与方程 cx2+bx+a0 的两个根互为倒数 26已知线段 AM5，射线 AS 垂直于 AM，点 N 在射线 AS 上，设 ANn，点 P 在经过点 N 且平行于 AM的直线上运动，PAM 的平分线交直线 NP 于点 Q，过点 Q 作
40、 QBAP，交线段 AM 于点 B，连接 PB交 AQ 于点 C，以 Q 为圆心，QC 为半径作圆 （1）求证：PB 与Q 相切； （2）已知Q 的半径为 3，当 AM 所在直线与Q 相切时，求 n 的值及 PA 的长； （3）当 n2 时，若Q 与线段 AM 只有一个公共点，则Q 的半径的取值范围是 2 或 （直接写出答案） 【分析】 （1）由角平分线和平行可证 PAPQ，从而得出四边形 APQB 为菱形；则 PBAQ，垂足为 C，即可证明 PB 与Q 相切； （2） 由ANQDQC3， AQ6， ADQ90， 可得 AD3， 设 APABBQx， 则BD，在 RtBDQ 中，解方程即可；
41、（3）当Q 与 AM 相切时，r2，此时Q 与 AM 只有一个公共点，当Q 过点 M 时，连接 QM，作QEAM 于 E，设 QMQCx，则 AQ2x，由 NQ+MEAM5 得，5，解方程即可，当Q 第二次经过点 M 时，同理可得 【解答】（1）证明：PAM 的角平分线交直线 NP 于点 Q， PAQBAQ， PQAB， PQABAQ， PAQPQA， PAPQ， 又QBPA， 四边形 APQB 为平行四边形， 四边形 APQB 为菱形； PBAQ，垂足为 C， PB 与Q 相切； （2）解：如图，当 AM 与Q 相切于点 D 时，ANQDQC3，AQ6，ADQ90， 在 RtADQ 中，AD
42、， 设 APABBQx，则 BD， 在 RtBDQ 中， 解得，即， n3，AP2； （3）解：当Q 与 AM 相切时，r2，此时Q 与 AM 只有一个公共点， 当Q 过点 M 时，如图，连接 QM，作 QEAM 于 E， 设 QMQCx，则 AQ2x， 由 NQ+MEAM5 得， 5， 设 x2y， 则方程转化为 9y2+400y22250， 解得 y15，y2（舍）， x， 当Q 第二次经过点 M 时，作 MENQ 于 E， 设 QMQCx，则 AQ2x， 由 NQEQAM5 得， 5， 设 x2y， 则方程转化为 9y2250y+10250， 解得 y15，y2， x1，x2（舍）， Q 与线段 AM 只有一个公共点，则Q 的半径的取值范围是 QC2 或 故答案为：2 或
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