1、2021-2022 学年江苏省南通市海门市九年级学年江苏省南通市海门市九年级上上期末数学试卷期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1在以下图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2反比例函数 y的图象在（ ） A第一、三象限 B第二、四象限 C第一、二象限 D第三、四象限 3如图，点 A、B、D 都在O 上，若ABD
2、40，则AOD 的度数为（ ） A40 B80 C100 D140 4抛物线 y2（x+3）2+5 的顶点坐标为（ ） A（3，5） B（3，5） C（3，5） D（3，5） 5如图，在 RtABC 中，C90，AB10，BC6，则 sinA 的值为（ ） A B C D 6如图，ABCD，AD 与 BC 相交于点 O，OB2，OC5，AB4，则 CD 的长为（ ） A7 B8 C9 D10 7用配方法解一元二次方程 x28x+10 时，下列变形正确的为（ ） A（x4）217 B（x+4）217 C（x4）215 D（x+4）215 8在一个不透明的盒子中装有 n 个小球，它们除了颜色不同外
3、，其余都相同，其中有 4 个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在 0.4，那么可以推算出 n 大约是（ ） A10 B14 C16 D40 9已知点 A（1，y1）、B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数 y的图象上，则下列 y1、y2、y3的大小关系为（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy1y2y3 Dy2y3y1 10如图，在矩形 ABCD 中，AB4，CAB60，点 E 是对角线 AC 上的一个动点，连接 DE，以 DE为斜边作 RtDEF，使得DEF60，且点 F 和点 A 位于 DE 的两侧，
4、当点 E 从点 A 运动到点 C 时，动点 F 的运动路径长是（ ） A4 B4 C8 D8 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，小题，1112 每小题每小题 3 分，分，1318 每小题每小题 3 分，共分，共 30 分不需写出解答过程，分不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11点 M（3，2）关于原点对称的点的坐标是 12方程 x2+10 x0 的解是 13在 RtABC 中，C90，cosA，AC，则 BC 的长为 14已知圆锥的底面半径为 2cm，侧面积为 10cm2，则该圆锥的母线长为 cm 15如图，某
5、校数学兴趣小组要测量楼房 DC 的高度在点 A 处测得楼顶 D 的仰角为 30，再往楼房的方向前进 30m 至 B 处，测得楼顶 D 的仰角为 45，则楼房 DC 的高度为 m 16如图，在ABC 中，C90，将ABC 绕点 B 逆时针旋转 90得ABC，点 A 旋转后的对应点为点 A，连接 AA若 BC3，AC4，则 AA的长为 17若点 P（12，a）在反比例函数 y的图象上，则 cosPOH 的值为 18 已知矩形 ABCD 中， AB1， 在 BC 上取一点 E， 将ABE 沿 AE 向上折叠， 使 B 点落在 AD 上的 F 点 若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD
6、三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）或演算步骤） 19计算： （1）+2cos60； （2）（m+2） 20解方程： （1）（2x1）2（3x）2； （2）x2x0 21有四张仅正面分别标有 1，2，3，4 的不透明纸片，除所标数字不同外，其余都完全相同，将四张纸片洗匀后背面向上放在桌上，现一次性从中随机抽取两张，用树状图法成列表法，求所抽取数字之和为 5的概率 22如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸
7、取点 Q 和 S，使点 P、Q、S共线且直线 PS 与河垂直，接着再过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R如果测得 QS45m，ST90m，QR60m，求河的宽度 PQ 23已知：如图，AM 为O 的切线，A 为切点，过O 上一点 B 作 BDAM 于点 D，BD 交O 于 C，OC平分AOB （1）求AOB 的度数； （2）若O 的半径为 2cm，求ODB 的正切值 24某汽车油箱的容积为 70L，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到 300km 远的省城接客人，接到客人后立即按原路返回请回答下列问题： （1）油箱
8、加满油后，汽车行驶的总路程 s（单位：km）与平均耗油量 b（单位：L/km）有怎样的函数关系？ （2）小王以平均每千米耗油 0.1L 的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍如果小王始终以此速度行驶，不需要加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少油？ 25如图，已知ABP15，AB4，C 是射线 BP 上一点 （1）在下列条件中，可以唯一确定 BC 长的是 ；（填写所有符合条件的序号） ACB30；AC3；BAC45 （2）根据（1）中选择的条件，画出草图，求 BC 的长； （3）若点 A 关于 BP 的对称点是点 A1，且AA1C 是等边三
9、角形，求 BC 的长（直接写出结果） 26定义：在平面直角坐标系 xOy 中，称两个不同的点 P（m，n）和 Q（n，m）为“反换点”如：点（2，1）和（1，2）是一对“反换点” （1） 下列函数： yx+2； y； y2x2， 其中图象上至少存在一对 “反换点” 的是 （只填序号）； （2）直线 yx3 与反比例函数 y（k0）的图象在第一象限内交于点 P，点 P 和点 Q 为一对“反换点”，若 SOPQ6，求 k 的值； （3）抛物线 yx24x 上是否存在一对“反换点”？如果存在，请求出这一对“反换点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、
10、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1在以下图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解 解：选项 A、C、D 均不能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转 180后原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项 B 能找到这样
11、的一个点，使形绕某一点旋转 180后原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：B 2反比例函数 y的图象在（ ） A第一、三象限 B第二、四象限 C第一、二象限 D第三、四象限 【分析】根据反比例函数的性质即可得到结论 解：反比例函数 y的图象在第一、三象限， 故选：A 3如图，点 A、B、D 都在O 上，若ABD40，则AOD 的度数为（ ） A40 B80 C100 D140 【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角的求解 解：ABD40， AOD2ABD24080， 故选：B 4抛物线 y2（x+3）2+5 的顶点坐标为（ ） A（3，5） B（3，5） C（3，5） D（3，5） 【分析】
12、因为 y2（x+3）2+5 是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标 解：抛物线解析式为 y2（x+3）2+5， 二次函数图象的顶点坐标是（3，5） 故选：B 5如图，在 RtABC 中，C90，AB10，BC6，则 sinA 的值为（ ） A B C D 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可 解：在 RtABC 中，C90，AB10，BC6， sinA， 故选：C 6如图，ABCD，AD 与 BC 相交于点 O，OB2，OC5，AB4，则 CD 的长为（ ） A7 B8 C9 D10 【分析】利用 8 字模型的相似三角形证明AOBDOC，然后利用相似三角形的性质即可解答 解：ABC
13、D， AD，BC， AOBDOC， ， ， CD10， 故选：D 7用配方法解一元二次方程 x28x+10 时，下列变形正确的为（ ） A（x4）217 B（x+4）217 C（x4）215 D（x+4）215 【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上 16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果 解：x28x+10， 移项得：x28x1， 配方得：x28x+161+16，即（x4）215 故选：C 8在一个不透明的盒子中装有 n 个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有 4 个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中大量重复上述试验后发现，摸到白球的
14、频率稳定在 0.4，那么可以推算出 n 大约是（ ） A10 B14 C16 D40 【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理， 可以用频率的集中趋势来估计概率， 这个固定的近似值就是这个事件的概率 解：通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于 0.4， 0.4， 解得：n10 故选：A 9已知点 A（1，y1）、B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数 y的图象上，则下列 y1、y2、y3的大小关系为（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy1y2y3 Dy2y3y1 【分析】把点 A、B、C 的坐标分别代入函
15、数解析式，求得 y1、y2、y3的值，然后比较它们的大小 解：反比例函数 y图象上三个点的坐标分别是 A（2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）， y11，y21，y3 11， y2y3y1 故选：B 10如图，在矩形 ABCD 中，AB4，CAB60，点 E 是对角线 AC 上的一个动点，连接 DE，以 DE为斜边作 RtDEF，使得DEF60，且点 F 和点 A 位于 DE 的两侧，当点 E 从点 A 运动到点 C 时，动点 F 的运动路径长是（ ） A4 B4 C8 D8 【分析】当 E 与 A 点重合时和 E 与 C 重合时，根据 F 的位置，可知 F 的运动路径是 FF的长；由已
16、知条件可以推导出DFF是直角三角形，由直角三角形的性质即可求解 解：F 的运动路径是线段 FF的长； AB4，CAB60， AD4， 当 E 与 A 点重合时， 在 RtADF 中，AD4，DAF60， AFAD2，FDC60， DF6， 当 E 与 C 重合时，DCF60， FDF90，CDF30， DF2， FF4 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，小题，1112 每小题每小题 3 分，分，1318 每小题每小题 3 分，共分，共 30 分不需写出解答过程，分不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11
17、点 M（3，2）关于原点对称的点的坐标是 （3，2） 【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于原点的对称点是（x，y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆 解：平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于原点的对称点是（x，y）， 点 M（3，2）关于原点中心对称的点的坐标是（3，2） 故答案为：（3，2） 12方程 x2+10 x0 的解是 x10，x210 【分析】利用因式分解法求解即可 解：x2+10 x0， x（x+10）0， x0 或 x+100， x10，x210； 故答案为：x10，x210 13在 RtABC 中，C90，cosA，AC，则 BC 的长为 1 【
18、分析】根据题意画出图形，先利用余弦函数定义求出 AB，再利用勾股定理求出 BC 的长 解：如图 在 RtABC 中，C90，cosA， ， 又AC， AB2， BC1 故答案为：1 14已知圆锥的底面半径为 2cm，侧面积为 10cm2，则该圆锥的母线长为 5 cm 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可 解：设圆锥的母线长为 Rcm， 圆锥的底面周长224（cm）， 则4R10， 解得，R5， 故答案为：5 15如图，某校数学兴趣小组要测量楼房 DC 的高度在点 A 处测得楼顶 D 的仰角为 30，再往楼房的方向前进 30m 至 B 处，测得楼顶 D
19、的仰角为 45，则楼房 DC 的高度为 （15+15） m 【分析】设 BC 的长为 x 米解直角三角形即可得到结论 解：设 BC 的长为 x 米 在 RtCBD 中，D90，CBD45， CDBCx 米， 在 RtCAD 中，ACD90，DAC30， tanCAD， 解得：x15+15， 答：楼房 DC 的高度为（15+15）米， 故答案为：（15+15） 16如图，在ABC 中，C90，将ABC 绕点 B 逆时针旋转 90得ABC，点 A 旋转后的对应点为点 A，连接 AA若 BC3，AC4，则 AA的长为 5 【分析】先利用勾股定理计算出 AB5，再利用旋转的性质得 BABA5，ABA9
20、0，则可判断ABA 为等腰直角三角形，即可求出答案 解：ABC 中，C90，BC3，AC4， AB5， ABC 绕点 B 逆时针旋转 90得到BAC， BABA5，ABA90， ABA 为等腰直角三角形， AA5， 故答案为：5 17若点 P（12，a）在反比例函数 y的图象上，则 cosPOH 的值为 【分析】利用锐角三角函数的定义求解，cosPOH 为POH 的邻边比斜边，求出即可 解：P（12，a）在反比例函数 y图象上， a5， PHx 轴于 H， PH5，OH12， OP13， cosPOH， 故答案为： 18 已知矩形 ABCD 中， AB1， 在 BC 上取一点 E， 将ABE
21、沿 AE 向上折叠， 使 B 点落在 AD 上的 F 点 若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD 【分析】 可设 ADx， 由四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， 根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可 解：AB1， 设 ADx，则 FDx1，FE1， 四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， ， 解得 x1，x2（不合题意舍去）， 经检验 x1是原方程的解 故答案为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
22、骤）或演算步骤） 19计算： （1）+2cos60； （2）（m+2） 【分析】（1）原式利用负整数指数幂法则，二次根式性质，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果 解：（1）原式3+23+24； （2）原式2（m+3）2m+6 20解方程： （1）（2x1）2（3x）2； （2）x2x0 【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）先求出 b24ac 的值，再代入公式求出答案即可 解：（1）（2x1）2（3x）2， 开方，得 2x1（3x），
23、解得：x1，x22； （2）x2x0， b24ac（）241（）2+130， x， 解得：x1，x2 21有四张仅正面分别标有 1，2，3，4 的不透明纸片，除所标数字不同外，其余都完全相同，将四张纸片洗匀后背面向上放在桌上，现一次性从中随机抽取两张，用树状图法成列表法，求所抽取数字之和为 5的概率 【分析】应用列表法，求出所抽取数字和为 5 的概率是多少即可 解：列表如下： 1 2 3 4 1 （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） 共有 12 种可能性，且每种可能性都相同，数
24、字和为 5 的有 4 种可能性， 抽取数字和为 5 概率为： 22如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P、Q、S共线且直线 PS 与河垂直，接着再过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R如果测得 QS45m，ST90m，QR60m，求河的宽度 PQ 【分析】根据相似三角形的性质得出，进而代入求出即可 解：根据题意得出：QRST， 则PQRPST， 故， QS45m，ST90m，QR60m， ， 解得：PQ90（m）， 河的宽度为 90 米 23已知：如图，AM 为
25、O 的切线，A 为切点，过O 上一点 B 作 BDAM 于点 D，BD 交O 于 C，OC平分AOB （1）求AOB 的度数； （2）若O 的半径为 2cm，求ODB 的正切值 【分析】（1）根据切线的性质求出OAD90，然后证明 OABD，再根据已知 OC 平分AOB，证明OCB 是等边三角形，即可解答； （2）要求ODB 的正切值，想到构造直角三角形，所以过点 O 作 OEBD，垂足为 E，然后利用垂径定理求出 BE，再利用勾股定理求出 OE，最后证明四边形 OADE 是矩形，即可解答 解：（1）AM 为O 的切线，A 为切点， OAD90， BDAM， BDM90， OADBDM90，
26、OABD， AOB+B180，AOCOCB， OCOB， OCBOBC， OC 平分AOB， AOCCOB， COBOBCOCB， OCB 是等边三角形， COBOBCOCB60， AOB120； （2）过点 O 作 OEBD，垂足为 E， BEECBC， OCB 是等边三角形， OBBC2cm， BE1cm， OEcm， OADOEDADE90， 四边形 OADE 是矩形， OADE2cm， 在 RtOED 中，tanODB， ODB 的正切值为： 24某汽车油箱的容积为 70L，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到 300km 远的省城接客人，接到客人后立即按原路返回请回答下列问题： （1）
27、油箱加满油后，汽车行驶的总路程 s（单位：km）与平均耗油量 b（单位：L/km）有怎样的函数关系？ （2）小王以平均每千米耗油 0.1L 的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍如果小王始终以此速度行驶，不需要加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少油？ 【分析】（1）利用公式：路程，即可得出汽车能够行驶的总路程 s（单位：千米）与平均耗油量 b（单位：升/千米）之间的函数关系式； （2）分别得出往返需要的油量进而得出答案 解： （1）汽车能够行驶的总路程 s（单位：千米）与平均耗油量 b（单位：升/千米）之间的函数关系为： s（b0）； （
28、2）去省城的耗油量3000.130（升）， 返回县城的油耗量30260（升）， 30+6070， 还需加油 30+607020（升） 答：不加油不能回到县城，还需加油 20 升 25如图，已知ABP15，AB4，C 是射线 BP 上一点 （1）在下列条件中，可以唯一确定 BC 长的是 ；（填写所有符合条件的序号） ACB30；AC3；BAC45 （2）根据（1）中选择的条件，画出草图，求 BC 的长； （3）若点 A 关于 BP 的对称点是点 A1，且AA1C 是等边三角形，求 BC 的长（直接写出结果） 【分析】 （1）利用全等三角形的判定方法， 添加ACB30或BAC45时，可求唯一确定
29、BC 长； （2）利用直角三角形的性质可求解； （3）分两种情况讨论，由等边三角形的性质和轴对称的性质可求解 解：（1）当添加条件ACB30或BAC45时，可求唯一确定 BC 长， 故答案为； （2）当ACB30时，如图，过点 C 作 BEAC，交 CA 的延长线于 E， ACB30，ABP15， BAE45， BEAC， BAEABE45， BEAE， AB4， BEAE4， ACB30，BECE， CEBE4，BC2BE8； 当BAC45时，过点 B 作 BFAC，交 AC 的延长线于 F， BAC45，BFAC， BAFABF45， BFAF， AB4， BFAF4， ABP15， CB
30、F30， BC2CF，BFCF4， CF，BC， 综上所述：当ACB30时，BC8，当BAC45时，BC； （3）如图，当点 C 在 AA1的右侧时，设 AA1与 BC 的交点为 O， 点 A 关于 BP 的对称点是点 A1， AOA1O， 又AA1C 是等边三角形， ACB30， 由（2）可知：BC8，AC44， 当点 C在 AA1的左侧时，ACB30ACO， ACAC44， ACOABP+BAC30， BAC15ABP， ACBC44， 综上所述：BC 的长为 8 或 44 26定义：在平面直角坐标系 xOy 中，称两个不同的点 P（m，n）和 Q（n，m）为“反换点”如：点（2，1）和（
31、1，2）是一对“反换点” （1）下列函数：yx+2；y；y2x2，其中图象上至少存在一对“反换点”的是 （只填序号）； （2）直线 yx3 与反比例函数 y（k0）的图象在第一象限内交于点 P，点 P 和点 Q 为一对“反换点”，若 SOPQ6，求 k 的值； （3）抛物线 yx24x 上是否存在一对“反换点”？如果存在，请求出这一对“反换点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由 【分析】（1）根据定义只需判断点（m，n）在函数图象上时，（n，m）也在函数图象上即可； （2）求出 P 点、Q 点坐标，再由 SPOQSOAP+SOAQ求解即可； （3）设这一对“反换点”为点 P（m，n）和
32、 Q（n，m），则 PQ 的中点为（，），再将 P、Q 点代入函数解析式，联立方程组，求得 mn 或 mn5，再分别求出 PQ 的中点坐标即可 解：（1）点 P（m，n）是 yx+2 上的点， nm+2， mn2n+2， yx+2 图象上不存在“反换点”； 点 P（m，n）是 y上的点， n， m， y的图象上存在“反换点”； 点 P（m，n）是 y2x2上的点， n2m2， 2n2m， y2x2图象上不存在“反换点”； 故答案为：； （2）联立方程组， x23xk0， x， k0， x， P（，）， 点 P 和点 Q 为一对“反换点”， Q（，）， 设 PQ 的直线解析式为 yax+b， ， ， yx3， 设直线 yx3 与 x 轴的交点为 A，则 A（3，0）， SPOQSOAP+SOAQOA（+）6， k； （3）抛物线 yx24x 上存在一对“反换点”，理由如下： 设这一对“反换点”为点 P（m，n）和 Q（n，m）， PQ 的中点为（，）， ， （m+n）（mn+5）0， mn 或 mn5， 当 mn 时，nm24mm， 解得 m0 或 m3， 当 m0 时，P、Q 重合，不符合题意； 当 m3 时，n3，P、Q 重合，不符合题意； 当 mn5 时，PQ 的中点坐标为（，）； 综上所述：这一对“反换点”所连线段的中点坐标为（，）
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