1、2021-2022 学年江苏省南京市建邺区九年级上期末数学试卷学年江苏省南京市建邺区九年级上期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （2 分）一元二次方程 2x214x 化成一般形式后，常数项是1，一次项系数是（ ） A2 B2 C4 D4 2 （2 分）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（APPB） ，若
2、 AB10，则 AP 的长约为（ ） A0.382 B0.618 C3.82 D6.18 3 （2 分）在一个不透明的袋中装有 5 个球，其中 2 个红球，3 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出 1 个球，摸出红球的概率是（ ） A23 B15 C25 D35 4 （2 分）将二次函数 yx2的图象向下平移 1 个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ） Ayx21 Byx2+1 Cy（x1）2 Dy（x+1）2 5 （2 分）如图，若O 的半径为 6，圆心 O 到一条直线的距离为 3，则这条直线可能是（ ） Al1 Bl2 Cl3 Dl4 6 （2 分）如图，高 1.2m 的小淇
3、晚上在路灯（AH）下散步，DE 为他到达 D 处时的影子继续向前走 8m到达点 N，影子为 FN若测得 EF10m，则路灯 AH 的高度为（ ） A6m B7m C8m D9m 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分。请把答案填写在答题卡相应位置）分。请把答案填写在答题卡相应位置） 7 （2 分）若=23，则+= 8 （2 分）一组数据 7，2，1，6 的极差为 9 （2 分）若 、 是方程 x2+2022x+20210 的两个实数根，则 + 的值为 10 （2 分）若一个圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则该圆锥侧面展开图的圆心
4、角是 11 （2 分）若方程 x240844410 的两根为2021，则方程 x22x40844400 的两根为 12 （2 分）如图，在边长为 2 的正方形内有一边长为 1 的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 13 （2 分）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，若A25，则B 14 （2 分）如图，在边长为 1 的正方形网格中，A、B、C、D 为格点，连接 AB、CD 相交于点 E，则 AE 的长为 15（2 分） 如图， 在O 中， 半径 OC 与弦 AB 垂直于点 D， M 为 AD 的中点， N 为上的点， 且 MNCD 若CD5，MN4，则
5、O 的半径为 16 （2 分）如图，在 RtABC 中，P 是斜边 AB 边上一点，且 BP2AP，分别过点 A、B 作 l1、l2平行于CP，若 CP4，则 l1与 l2之间的最大距离为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）程或演算步骤） 17 （8 分）解方程： （1）x24x10； （2）100（x1）2121 18 （7 分）甲、乙两人在 5 次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9
6、（1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 3.2 （2）教练根据这 5 次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3） 如果乙再射击 1 次， 命中 8 环， 那么乙的射击成绩的方差 （填 “变大” 、“变小” 或 “不变” ） 19 （8 分）为落实“垃圾分类” ，环保部门要求垃圾要按 A，B，C，D 四类分别装袋、投放，其中 A 类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B 类指剩余食品等厨余垃圾，C 类指塑料、废纸等可回收物，D 类指出其他垃圾，小明、小亮各投放了一袋垃圾 （1）直接写出小明投放的垃圾恰好是 A 类的概率； （2）求小亮投放的垃圾与小明投放的
7、垃圾是同一类的概率 20 （6 分）如图，已知 A 是直线 l 外一点用两种不同的方法作O，使O 过 A 点，且与直线 l 相切 要求： （1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明 21 （9 分）阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体 如图， 甲、 乙是两个不同的正方体， 正方体都是相似体， 它们的一切对应线段之比都等于相似比 （a： b） 设 S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则甲乙=6262=（）2 又设 V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则甲乙=33=（）3 （1）
8、下列几何体中，一定属于相似体的是（A） A两个球体 B两个锥体 C两个圆柱体 D两个长方体 （2）请归纳出相似体的三条主要性质： 相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 ； 相似体表面积的比等于 ； 相似体体积比等于 （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1 米，体重为 18 千克，到了初三时，身高为 1.65 米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 22 （7 分）如图，以 AB 为直径的O 经过点 C，CP 为O 的切线，E 是 AB 上一点，以 C 为圆心，CE 长为半径作圆交 CP 于点 F，连接 AF，且
9、AFAE 求证：AB 是C 的切线 23 （8 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 上一动点，过点 E 作 EFAE，交 BC 于点 F，连接AF （1）求证：ABEECF； （2）求 AF 长度的最小值 24 （9 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+3 的图象经过点 A（1，0） ，B（2，3） （1）求该二次函数的表达式； （2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴 l； （用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （3）结合图象，直接写出当 y3 时，x 的取值范围是 25 （9 分）已知二次函数 yx22mx+m+2（m 是常数）的图象是抛物线 （1）若抛物线与 x
10、轴只有一个公共点，求 m 的值； （2）求证：抛物线顶点在函数 yx2+x+2 的图象上； （3）若点 B（2，a） ，C（5，b）在抛物线上，且 ab，则 m 的取值范围是 26 （9 分）某公司电商平台，在 2021 年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 y（件）是关于售价 x（元/件） （x 为正整数）的一次函数，如表列出了该商品的售价 x，周销售量 y，周销售利润 W（元）的三组对应值数据 x 40 70 90 y 180 90 30 W 3600 4500 2100 （1） 该商品进价 （元/件） ， y 关于 x 的函数表达式是 （不要求写出自
11、变量的取值范围） ； （2）因该商品原料涨价，进价提高了 m（元/件） （m 为正整数） ，该商品在今后的销售中，公司发现当售价为 63 元/件时，周销售利润最大，求 m 值 27 （8 分） （1）如图 1，将直角三角板的直角顶点放在正方形 ABCD 上，使直角顶点与 D 重合，三角板的一边交 AB 于点 P，另一边交 BC 的延长线于点 Q则 DP DQ（填“” “”或“” ） ； （2）将（1）中“正方形 ABCD”改成“矩形 ABCD” ，且 AD2，CD4，其他条件不变 如图 2，若 PQ5，求 AP 长 如图 3，若 BD 平分PDQ，则 DP 的长为 参考答案解析参考答案解析 一
12、、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （2 分）一元二次方程 2x214x 化成一般形式后，常数项是1，一次项系数是（ ） A2 B2 C4 D4 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可 【解答】解：2x214x， 移项得：2x24x10， 即一次项系数是4， 故选：D 2 （2 分）已知点 P 是线段
13、AB 的黄金分割点（APPB） ，若 AB10，则 AP 的长约为（ ） A0.382 B0.618 C3.82 D6.18 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答 【解答】解：点 P 是线段 AB 的黄金分割点（APPB） ， 0.618， AB10， AP0.618AB6.18， 故选：D 3 （2 分）在一个不透明的袋中装有 5 个球，其中 2 个红球，3 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出 1 个球，摸出红球的概率是（ ） A23 B15 C25 D35 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目，全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小
14、【解答】解：不透明袋子中装有 5 个球，其中有 2 个红球、3 个白球， 从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是25， 故选：C 4 （2 分）将二次函数 yx2的图象向下平移 1 个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ） Ayx21 Byx2+1 Cy（x1）2 Dy（x+1）2 【分析】直接利用二次函数平移的性质，上加下减进而得出答案 【解答】解：将二次函数 yx2的图象向下平移 1 个单位， 则平移后的二次函数的解析式为：yx21 故选：A 5 （2 分）如图，若O 的半径为 6，圆心 O 到一条直线的距离为 3，则这条直线可能是（ ） Al1 Bl2 Cl3 Dl4 【分析】
15、直接根据直线与圆的位置关系可得出结论 【解答】解：O 的半径是 6，圆心 O 到直线 l 的距离是 3，63， 直线 l 与O 相交 故选：B 6 （2 分）如图，高 1.2m 的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE 为他到达 D 处时的影子继续向前走 8m到达点 N，影子为 FN若测得 EF10m，则路灯 AH 的高度为（ ） A6m B7m C8m D9m 【分析】设 DExm，DHym，则 FN（10 x8）m，HN（8y）m，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论 【解答】解：CDEF，AHEF，MNEF， CDAHMN， CDEAHE，MNFAHF， =，=， 设 DExm，DHym，
16、则 FN（10 x8）m，HN（8y）m， 1.2=+，1.2=10810(+)， y4x， =15， 1.2=15， AH6， 故路灯 AH 的高度为 6m， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分。请把答案填写在答题卡相应位置）分。请把答案填写在答题卡相应位置） 7 （2 分）若=23，则+= 53 【分析】由=23，可以假设 x2k，y3k， （k0）代入计算即可解决问题 【解答】解：=23， 可以假设 x2k，y3k， （k0） +=2+33=53=53 故答案为53 8 （2 分）一组数据 7，2，1，6 的极差
17、为 9 【分析】用最大值减去最小值即可 【解答】解：数据 7，2，1，6 的极差为 7（2）9， 故答案为：9 9 （2 分）若 、 是方程 x2+2022x+20210 的两个实数根，则 + 的值为 2022 【分析】根据根与系数的关系可得出 += = 2022，此题得解 【解答】解：， 是方程 x2+2022x+20210 的两个实数根， += = 2022， 故答案为：2022 10 （2 分）若一个圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 120 【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解 【解答】解：圆
18、锥侧面展开图的弧长是：224（cm） ， 设圆心角的度数是 n 度则6180=4， 解得：n120 故答案为 120 11 （2 分）若方程 x240844410 的两根为2021，则方程 x22x40844400 的两根为 x12022，x22020 【分析】利用配方法求解即可 【解答】解：x22x40844400， x22x4084440， x22x+14084441，即（x1）23084441， 方程 x240844410 的两根为2021， x12021， x12022，x22020 故答案为：x12022，x22020 12 （2 分）如图，在边长为 2 的正方形内有一边长为 1 的
19、小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 14 【分析】用小正方形的面积除以大正方形的面积得到这只青蛙跳入阴影部分的概率 【解答】解：这只青蛙跳入阴影部分的概率=1222=14 故答案为：14 13 （2 分）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，若A25，则B 65 【分析】由 AB 是O 的直径，可得：C90，然后由A25，根据三角形内角和定理即可求B的度数 【解答】解：AB 是O 的直径， C90， A+B+C180，A25， B65， 故答案为：65 14 （2 分）如图，在边长为 1 的正方形网格中，A、B、C、D 为格点，连接 AB、CD 相交于点
20、 E，则 AE 的长为 625 【分析】根据题意可得 AB32，ACBD，所以AECBED，进而可以解决问题 【解答】解：根据题意可知：AB32，ACBD，AC2，BD3， AECBED， =， 32=23， 解得 AE=625 故答案为：625 15（2 分） 如图， 在O 中， 半径 OC 与弦 AB 垂直于点 D， M 为 AD 的中点， N 为上的点， 且 MNCD 若CD5，MN4，则O 的半径为 212 【分析】连接 AO，ON，延长 NM 交O 于 F，过 O 作 OENF 于 E，如图，设O 的半径为 r，ADt，先证明四边形 MEOD 是矩形得到 OEDM=12t，ODMEr
21、5，再利用勾股定理得（r5）2+t2r2， （r5+4）2+（12t）2r2，然后解方程组即可 【解答】解：连接 AO，ON，延长 NM 交O 于 F，过 O 作 OENF 于 E，如图，设O 的半径为 r，ADt， CDAB，MNCD， ODMDMEMEO90， 四边形 MEOD 是矩形， OEDM=12t，ODMEr5， 在 RtAOD 中， （r5）2+t2r2， 在 RtNOE 中， （r5+4）2+（12t）2r2， 4得 2r210， 解得 r=212， 即O 的半径为212 故答案为：212 16 （2 分）如图，在 RtABC 中，P 是斜边 AB 边上一点，且 BP2AP，分
22、别过点 A、B 作 l1、l2平行于CP，若 CP4，则 l1与 l2之间的最大距离为 62 【分析】过点 A 作 AGl2于点 G，延长 CP 交 AG 于点 F，证明APFABG，可得=，由 BP2AP，设 BP2x，APx，PFa， （a0） ，可得 BG3a，AG3AF，过点 C 作 CDl1于点 D，证明CADECB， 可得=， 由 ADEG4+a， CE22 2， BE42a， CDAF= 2 2，整理得 AF2a22a+8，因为二次函数开口向下，当对称轴 a1 时，AF 取最大值，因为 a0，所以 a1 时不符合题意舍去，所以 a0 时，AF2取得最大值为 8，所以 AF22，进
23、而可以解决问题 【解答】解：如图，过点 A 作 AGl2于点 G，延长 CP 交 AG 于点 F， PFBG， APFABG， =， BP2AP， 设 BP2x，APx，PFa， （a0） ， BG3a，AG3AF， 过点 C 作 CDl1于点 D， l1l2， CEl2， 得矩形 CEGF， EGCFCP+PF4+a， BEEGBG4+a3a42a， 在 RtAPF 中，根据勾股定理，得 AF= 2 2= 2 2， FG2AF22 2， CEFG22 2， ADCCEB90， ACD+CAD90， ACB90， ACD+CCB90， CADECB， CADECB， =， ADEG4+a，CE
24、22 2，BE42a，CDAF= 2 2， 2242=4+222， （2 2）2（2a） （4+a）a22a+8， AF2a22a+8， 因为二次函数开口向下，当对称轴 a1 时，AF 取最大值， a0， a1 时不符合题意舍去， a0 时，AF2取得最大值为 8， AF22， AG3AF62， l1与 l2之间的最大距离为 62 故答案为：62 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）程或演算步骤） 17 （8 分）解方程： （1）
25、x24x10； （2）100（x1）2121 【分析】 （1）利用配方法求解即可； （2）先求出（x1）2的值，然后利用直接开平方法求解即可 【解答】解： （1）x24x10， x24x1， x24x+41+4，即（x2）25， x2= 5或 x2= 5， x12+5，x225； （2） （x1）21.21， 开平方得，x11.1， x11.1 或 x11.1， x12.1，x20.1 18 （7 分）甲、乙两人在 5 次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 8 0.4 乙 8 9 9 3.2 （
26、2）教练根据这 5 次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）如果乙再射击 1 次，命中 8 环，那么乙的射击成绩的方差 变小 （填“变大” 、 “变小”或“不变” ） 【分析】 （1）根据众数、平均数和中位数的定义求解： （2）方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定 （3）根据方差公式求解：如果乙再射击 1 次，命中 8 环，那么乙的射击成绩的方差变小 【解答】解： （1）8 出现了 3 次，出现的次数最多， 甲的众数为 8， 乙的平均数=15（5+9+7+10+9）8， 把
27、这些数从小到大排列，则乙的中位数为 9 故填表如下： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 8 0.4 乙 8 9 9 3.2 故答案为：8，8，9； （2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛； （3）如果乙再射击 1 次，命中 8 环，平均数不变，根据方差公式可得乙的射击成绩的方差变小； 故答案为：变小 19 （8 分）为落实“垃圾分类” ，环保部门要求垃圾要按 A，B，C，D 四类分别装袋、投放，其中 A 类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B 类指剩余食品等厨余垃圾，C 类指塑料、废纸等可回收物，D 类指出其他垃圾，小明、小亮各投放了一袋垃圾 （1）直
28、接写出小明投放的垃圾恰好是 A 类的概率； （2）求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是 A 类的概率； （2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案 【解答】解： （1）垃圾要按 A，B，C，D 四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾， 小明投放的垃圾恰好是 A 类的概率为：14； （2）如图所示： 由图可知，共有 16 种可能结果，其中小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有 4 种， 所以小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为416=14 20 （6 分）如图，已知 A 是直线 l 外一点用两种不
29、同的方法作O，使O 过 A 点，且与直线 l 相切 要求： （1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明 【分析】利用两种方法作图即可 【解答】解：方法一：过点 A 作 l 的垂线，垂足为 P， 作 AP 的垂直平分线，与 AP 的交点为圆心 O， 以 O 为圆心，OA（或 OP）为半径，作O； 方法二：取 l 上任意一点 Q，作出 AQ 的垂直平分线， 过点 Q 作 l 的垂线，与垂直平分线的交点为圆心 O， 以 O 为圆心，OA（或 OQ）为半径，作O 21 （9 分）阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完
30、全相同，就把它们叫做相似体 如图， 甲、 乙是两个不同的正方体， 正方体都是相似体， 它们的一切对应线段之比都等于相似比 （a： b） 设 S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则甲乙=6262=（）2 又设 V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则甲乙=33=（）3 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A） A两个球体 B两个锥体 C两个圆柱体 D两个长方体 （2）请归纳出相似体的三条主要性质： 相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 相似比 ； 相似体表面积的比等于 相似比的平方 ； 相似体体积比等于 相似比的立方 （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一
31、个小朋友上幼儿园时身高为1.1 米，体重为 18 千克，到了初三时，身高为 1.65 米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 【分析】根据阅读材料可以知道相似体就是形状完全相同的物体，根据体积的计算方法就可以求出所要求的结论 【解答】解： （1）A； （2 分） （2）相似比相似比的平方相似比的立方； （每空（2 分） ，共 6 分） （3）由题意知他的体积比为(1.11.65)3； 又因为体重之比等于体积比， 若设初三时的体重为 xkg， 则有(1.11.65)3=18 解得 x=2434=60.75 答：初三时的体重为 60.75kg （2 分） 22 （7 分）如图，
32、以 AB 为直径的O 经过点 C，CP 为O 的切线，E 是 AB 上一点，以 C 为圆心，CE 长为半径作圆交 CP 于点 F，连接 AF，且 AFAE 求证：AB 是C 的切线 【分析】连结 AC、OC根据全等三角形的性质得到CAFCAE，AFCAEC，求得 OCAF，根据平行线的性质得到AFC90，根据切线的判定定理即可得到结论 【解答】证明：连结 AC、OC AEAF，CECF，ACAC， ACEACF（SSS） CAFCAE，AFCAEC， OAOC， OACOCA 又CAFCAE， CAFOCA， OCAF， CP 为O 的切线， OCBF，即OCF90， AFC90， AECAF
33、C90， 即 CEAB， 点 E 在C 上， AB 是C 的切线 23 （8 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 上一动点，过点 E 作 EFAE，交 BC 于点 F，连接AF （1）求证：ABEECF； （2）求 AF 长度的最小值 【分析】 （1）先利用等角的余角相等得到BAECEF，加上BC90，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）设 BEx，则 CE4x，由于ABEECF，则利用相似比可表示出 CF=(4)4，根据二次函数的性质可判断当x2时， CF取最大值1， 此时DF有最小值3， 接着利用勾股定理得到AF= 2+ 42，从而可确定 AF 长度的最小值
34、【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， BC90， BAE+BEA90， EFAE， AEF90， BEA+CEF90， BAECEF， 又BC90， ABEECF； （2）解：设 BEx，则 CE4x， ABEECF， =，即=44， CF=(4)4= 14（x2）2+1， 当 x2 时，CF 取最大值 1，此时 DF 有最小值 3， 在 RtADF 中，AF= 2+ 2= 2+ 42， 当 DF3 时，AF 取最小值，AF 的最小值为32+ 42=5， AF 长度的最小值为 5 24 （9 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+3 的图象经过点 A（1，0） ，B（2，3）
35、（1）求该二次函数的表达式； （2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴 l； （用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （3）结合图象，直接写出当 y3 时，x 的取值范围是 2x0 【分析】 （1）利用待定系数法即可求得； （2）根据二次函数图象的对称性即可画出抛物线的对称轴 l； （3）观察函数图象，结合方程，即可得出结论 【解答】解： （1）将 A（1，0） ，B（2，3）代入二次函数 yax2+bx+3， 得0 = + + 3，3 = 4 2 + 3. 解得 = 1， = 2. 该二次函数的表达式为 yx22x+3； （2）如图，直线 l 为所求对称轴； 由（1）得二次函数的解析式为 yx
36、22x+3， 变换形式得 y（x+1）2+4， 所以可以得出顶点 D 的坐标为（1，4） ，对称轴为 x1 （3）令 y0，则 yx22x+30， 解得：x0 或2， 结合图形得2x0 时，y3 故答案为：2x0 25 （9 分）已知二次函数 yx22mx+m+2（m 是常数）的图象是抛物线 （1）若抛物线与 x 轴只有一个公共点，求 m 的值； （2）求证：抛物线顶点在函数 yx2+x+2 的图象上； （3）若点 B（2，a） ，C（5，b）在抛物线上，且 ab，则 m 的取值范围是 m72 【分析】 （1）由抛物线与 x 轴交点个数与根的判别式的关系求解 （2）将二次函数解析式化为顶点式求
37、出顶点坐标，进而求解 （3）由抛物线开口方向向上可得点 B 到对称轴的距离大于点 A 到对称轴的距离，进而求解 【解答】解： （1）a1，b2m，cm+2， b24ac（2m）241（m+2）4（m2m2） 抛物线与 x 轴只有一个公共点， b24ac4（m2m2）0， 解得 m12，m21 （2）yx22mx+m+2（xm）2m2+m+2， 顶点坐标为（m，m2+m+2） ， 令 xm 时，函数 yx2+x+2m2+m+2， 抛物线顶点在函数 yx2+x+2 的图象上 （3）抛物线开口向上，对称轴为直线 xm， 当 ab 时，|2m|5m|， 当 2m0 时，2m5m，不符合题意， 当 2m
38、0，5m0 时可得 m25m， 解得 m72 故答案为：m72 26 （9 分）某公司电商平台，在 2021 年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 y（件）是关于售价 x（元/件） （x 为正整数）的一次函数，如表列出了该商品的售价 x，周销售量 y，周销售利润 W（元）的三组对应值数据 x 40 70 90 y 180 90 30 W 3600 4500 2100 （1）该商品进价 20 （元/件） ，y 关于 x 的函数表达式是 y3x+300 （不要求写出自变量的取值范围） ； （2）因该商品原料涨价，进价提高了 m（元/件） （m 为正整数） ，该
39、商品在今后的销售中，公司发现当售价为 63 元/件时，周销售利润最大，求 m 值 【分析】 （1）由 x40，y180，w3600 可得商品进价为 20 元，设 ykx+b，用待定系数法即得解析式； （2） 根据利润 （售价进价） 数量， 得 W （3x+300） （x20m） ， 根据对称轴为直线 x60+2以及当售价为 63 元/件时，周销售利润最大，得出 60+2=63，即可求得 m 的值 【解答】解： （1）由 x40，y180，w3600 可得商品进价为 40360018020（元） ， 设 ykx+b，由题意有： 40 + = 18070 + = 90， 解得 = 3 = 300，
40、 y 关于 x 的函数解析式为 y3x+300； 故答案为：20，y3x+300； （2）由题意 W（3x+300） （x20m） 3x2+（360+3m）x6000300m， 对称轴 x60+2， 当售价为 63 元/件时，周销售利润最大， 60+2=63， 解得：m6 m 的值为 6 27 （8 分） （1）如图 1，将直角三角板的直角顶点放在正方形 ABCD 上，使直角顶点与 D 重合，三角板的一边交 AB 于点 P，另一边交 BC 的延长线于点 Q则 DP DQ（填“” “”或“” ） ； （2）将（1）中“正方形 ABCD”改成“矩形 ABCD” ，且 AD2，CD4，其他条件不变
41、如图 2，若 PQ5，求 AP 长 如图 3，若 BD 平分PDQ，则 DP 的长为 2310 【分析】 （1） 由四边形 ABCD 是正方形知 DADC， DAPDCQADC90， 结合PDQ90得ADPCDQ，证ADPCDQ 可得答案； （2）证ADPCDQ 得=12，设 APx，则 CQ2x，PB4x，BQ2+2x，在 RtPBQ中，由勾股定理得到关于 x 的方程，解之即可； 延长 DP 到 M， 使 DMDQ， 连接 BM， 设 APa， 则 BP4a， 由ADPCDQ 得=12， APDCQD，CQ2a，BQ2+2a，再证BDMBDQ 得BQDBMD，BMBQ2+2a，结合BQDAP
42、DBPM 知BMDBPM，从而得 BMBP，据此求出 a 的值，最后利用勾股定理求解即可得出答案 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， DADC，DAPDCQADC90， ADP+PDC90， PDQ90， PDC+CDQ90， ADPCDQ， 在ADP 和CDQ 中， = = = ， ADPCDQ（ASA） ， DPDQ， 故答案为：； （2）四边形 ABCD 是矩形， AADCBCD90 ADP+PDCCDQ+PDC90， ADPCDQ 又ADCQ90 ADPCDQ， =24=12， 设 APx，则 CQ2x， PB4x，BQ2+2x 由勾股定理得，在 RtPBQ 中，PB2+BQ2PQ2， 代入得（4x）2+（2+2x）252， 解得 x1，即 AP1 AP 的长为 1； 如图所示，延长 DP 到 M，使 DMDQ，连接 BM， 设 APa，则 BP4a， ADPCDQ， =12，APDCQD， CQ2a， 则 BQBC+CQ2+2a， BD 平分PDQ， BDMBDQ， 在BDM 和BDQ 中， = = = ， BDMBDQ（SAS） ， BQDBMD，BMBQ2+2a， 又BQDAPDBPM， BMDBPM， BMBP，即 2+2a4a， 解得 a=23，即 AP=23， PD= 2+ 2=(23)2+ 22=2103， 故答案为：2310
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