1、2021-2022 学年江苏省南京市鼓楼区九年级学年江苏省南京市鼓楼区九年级上上期末数学试卷期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1平面内，O 的半径为 3，若点 P 在O 外，则 OP 的长可能为（ ） A4 B3 C2 D1 2一元二次方程 x2+2x1 的根的情况是（ ） A没有实数根 B有一个实数根 C有两个不相等的实数
2、根 D有两个相等的实数根 3下列实际问题中的 y 与 x 之间的函数表达式是二次函数的是（ ） A正方体集装箱的体积 ym3，棱长 xm B高为 14m 的圆柱形储油罐的体积 ym3，底面圆半径 xm C妈妈买烤鸭花费 86 元，烤鸭的重量 y 斤，单价为 x 元/斤 D小莉驾车以 108km/h 的速度从南京出发到上海，行驶 xh，距上海 ykm 4如图，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 上的点，DEBC，若ADE 的周长为 6，则ABC的周长等于（ ） A24 B18 C12 D9 5在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的
3、落地时间相同物体的下落距离 h（m）与下落时间 t（s）之间的函数表达式为 hgt2其中 g 取值为 9.8m/s2小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过 4s 后落地，则该建筑物的高度约为（ ） A98m B78.4m C49m D36.2m 6平面直角坐标系内，已知点 A（1，0），B（5，0），C（0，t）当 t0 时，若ACB 最大，则 t 的值为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）相应位
4、置上） 7若，则为 8点 C 是线段 AB 的黄金分割点（ACBC），若 AB2cm，则 AC cm 9某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由 4.86 万辆提升至 6 万辆，设平均每次增产的百分率是 x，可列方程为 10一个圆锥的底面圆半径是 1，母线长是 3，沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为 11将二次函数 yx2+2x2 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为 12有 3 个样本如图所示，关于它们的离散程度有下列几种说法：样本 1 与样本 3 的离散程度相同；样本 2 的离散程度最小；三组数据的离散程度从小到大依
5、次为：样本 2、样本 3、样本 1正确的序号为 13如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，若 BE5，CD6，则 OA 长为 14分别以等边ABC 的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形如图，等边ABC 的边长为 2cm，则图中阴影部分的面积为 cm2 15如图，夜晚路灯下，小莉在点 D 处测得自己影长 DE4m，在点 G 处测得自己影长 DG3m，E、D、G、B 在同一条直线上已知小莉身高为 1.6m，则灯杆 AB 的高度为 m 16ABC 中，ABAC13，BC24，点 I 是ABC 的内心，点 O 是ABC 的外心，则 OI 三、解答题（本大题共三、解答
6、题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）程或演算步骤） 17解下列一元二次方程 （1）x23x； （2）x24x+80 18已知二次函数 yx2（m+2）x+2m（m 为常数） （1）求证：不论 m 取何值，该二次函数的图象与 x 轴总有公共点； （2）若 m0，当 x 时，y 随 x 的增大而减小 19如图，AB 表示一个窗户的高，AM 和 BN 表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离 BC1m已知某一时刻 BC 在地面的影长 CN1.5m，AC 在地面的影长
7、 CM4.5m，求窗户的高度 20近日，“复旦学霸图书馆”新闻引发网友热议，其中，“风雨无阻爱学习”的潘同学一年时间图书馆打卡 301 次，更是成为众多学子膜拜的对象某大学图书馆为了更好服务学子，对某周来馆人数进行统计，统计数据如下（单位：人）： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 人数 650 550 710 420 650 2320 3100 （1）该周到馆人数的平均数为 人、众数为 人、中位数为 人； （2）周一至周五到馆人数相差不多，用这五天的数据估算该周的平均数合适吗？为什么？ （3）选择合适的数据，估算该校一个月的到馆人数（一个月按 30 天计） 21“三孩”政策实施后
8、，甲、乙两个家庭有了各自的规划（假定生男生女的概率相同）： （1）甲家庭已有一个男孩和一个女孩，准备再生一个孩子，则第三个孩子是男孩的概率是 ； （2）乙家庭没有孩子，准备生三个孩子，求至少有两个孩子是女孩的概率 22已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a、b、c 是常数，a0）的两个实数根分别为 x1，x2，证明：x1+x2，x1x2 23图中是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面 OA 宽 4m以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，若点 P 的坐标为（3，2） （1）求拱桥所在抛物线的函数表达式； （2）因降暴雨水位上升 1m，此时水面宽为多少？（结果保留根
9、号） 24如图，AB 是O 的弦，AC 是O 的切线，ABAC，BC 交O 于点 D，E 是的中点 （1）求证：CE； （2）判断四边形 ACDE 的形状，并说明理由 25定义：我们把三边之比为 1：的三角形叫做奇妙三角形 （1）初步运用 如图是 72 的正方形网格（每个小正方形的边长均为 1），请分别在图、图中画出顶点在格点上最小、最大的奇妙三角形； 所画三角形中最大内角度数为 （2）再思探究 如图，点 A 为坐标原点，点 C 坐标（2，2），点 D 坐标（7，1），在坐标平面上取一点 B（m，2），使得 AB 平分CAD，直接写出 m 的值并说明理由 26某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润
10、分别为 20 元、10 元，每天卖出件数分别为 40 件、80 件为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价售卖时发现，甲种礼品单价每降 1 元可多卖 4 件，乙种礼品单价每提高 1 元就少卖 2 件若每天两种礼品共卖出 140 件，则每天销售的最大利润是多少？ （1）分析：设甲种礼品每件降低了 x 元，填写下表（用含 x 的式子表示，并化简）； 调价后的每件利润 调价后的销售量 甲种礼品 20 x 乙种礼品 （2）解答： 27问题呈现：探究二次函数 yx（x3）+m（其中 0 x3，m 为常数）的图象与一次函数 yx+2 的图象公共点 问题解决： （1）问题可转化为：
11、二次函数 yx（x3）（0 x3）的图象与一次函数 y 的图象的公共点 （2）在下列平面直角坐标系中画出 yx（x3）（0 x3）的图象 （3）请结合（2）中图象，就 m 的取值范围讨论两个图象公共点的个数 问题拓展：若二次函数 yx2+m（其中x，m 为常数）的图象与一次函数 y2x+2 的图象有两个公共点，则 m 的取值范围为 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）目要求的
12、，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1平面内，O 的半径为 3，若点 P 在O 外，则 OP 的长可能为（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】根据题意可以求得 OP 的取值范围，从而可以解答本题 解：O 的半径为 3，点 P 在O 外， OP3， 故选：A 2一元二次方程 x2+2x1 的根的情况是（ ） A没有实数根 B有一个实数根 C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根 【分析】 先把方程化为一般式， 再计算根的判别式的值， 然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况 解：方程化为 x2+2x+10， 22410， 方程有两个相等的实数根 故选：D 3下列实际问题中的 y
13、与 x 之间的函数表达式是二次函数的是（ ） A正方体集装箱的体积 ym3，棱长 xm B高为 14m 的圆柱形储油罐的体积 ym3，底面圆半径 xm C妈妈买烤鸭花费 86 元，烤鸭的重量 y 斤，单价为 x 元/斤 D小莉驾车以 108km/h 的速度从南京出发到上海，行驶 xh，距上海 ykm 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可 解：A正方体集装箱的体积 ym3，棱长 xm，则 yx3，故不是二次函数； B高为 14m 的圆柱形储油罐的体积 ym3，底面圆半径 xm，则 y14x2，故是二次函数； C妈妈买烤鸭花费 86 元，烤鸭的重量 y 斤，单价为 x 元/斤，则 y，故不是二次
14、函数； D小莉驾车以 108km/h 的速度从南京出发到上海，行驶 xh，距上海 ykm，则 y南京与上海之间的距离108x，故不是二次函数 故选：B 4如图，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 上的点，DEBC，若ADE 的周长为 6，则ABC的周长等于（ ） A24 B18 C12 D9 【分析】根据 DEBC，得ADEABC，则有，从而得出答案 解：DEBC， ADEABC， ， ADE 的周长为 6， ABC 的周长为 18， 故选：B 5在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同物体的下落距离 h（m）与下落时
15、间 t（s）之间的函数表达式为 hgt2其中 g 取值为 9.8m/s2小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过 4s 后落地，则该建筑物的高度约为（ ） A98m B78.4m C49m D36.2m 【分析】把 t4 代入可得答案 解：把 t4 代入得， h9.84278.4m 故选：B 6平面直角坐标系内，已知点 A（1，0），B（5，0），C（0，t）当 t0 时，若ACB 最大，则 t 的值为（ ） A B C D 【分析】先确定过 A、B 两点的M 与 y 轴相切与点 C 时ACB 最大，再利用圆的有关知识求出 OC 的长即可 解：如图，作过 A、B 两点的M 与 y
16、轴相切与点 C， ACBAPB， APBACB， ACBACB， M 与 y 轴相切与点 C 时，ACB 最大 如图，作 MHAB，连接 OM、MA、MB， M 与 y 轴相切与点 C， OCM90， A（1，0），B（5，0）， AB4， MHAB， AHAB2， OH1+23， MCMAMB3， ， ， ， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）相应位置上） 7若，则为 【分析】由，可以假设 x2k，y3k，（k0）代入计
17、算即可解决问题 解：， 可以假设 x2k，y3k，（k0） 故答案为 8点 C 是线段 AB 的黄金分割点（ACBC），若 AB2cm，则 AC （） cm 【分析】根据黄金分割的定义得到 ACAB，把 AB2cm 代入计算即可 解：点 C 是线段 AB 的黄金分割点（ACBC）， ACAB， 而 AB2cm， AC2（1）cm 故答案为（1） 9某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由 4.86 万辆提升至 6 万辆，设平均每次增产的百分率是 x，可列方程为 4.86（1+x）26 【分析】设平均每次增产的百分率是 x，那么第一次增产后的产量是原来的（1+x）倍，那么第二次增产后的产量是原来的
18、（1+x）2倍，根据题意列方程解答即可 解：设平均每次增产的百分率是 x，根据题意可得： 4.86（1+x）26 故答案为：4.86（1+x）26 10一个圆锥的底面圆半径是 1，母线长是 3，沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为 120 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到21，然后解关于 的方程即可 解：设扇形的圆心角为 ， 根据题意得21， 解得 120 故答案为 120 11将二次函数 yx2+2x2 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为
19、 y（x+2）22 或 yx2+4x+2 【分析】根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案 解：由“左加右减，上加下减”知：将抛物线 yx2+2x2（x+1）23 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移一个单位， 则新的抛物线函数解析式为 y （x+1+1）23+1， 即 y （x+2）22 或 yx2+4x+2 故答案是：y（x+2）22 或 yx2+4x+2 12有 3 个样本如图所示，关于它们的离散程度有下列几种说法：样本 1 与样本 3 的离散程度相同；样本 2 的离散程度最小；三组数据的离散程度从小到大依次为：样本 2、样本 3、样本 1正确的序号为 【分析】根据离散程度的定义一一
20、判断即可 解：样本 2 的离散程度最小；三组数据的离散程度从小到大依次为：样本 2、样本 3、样本 1 故正确，样本 1 的离散程度比样本 3 的离散程度大，故错误， 故答案为： 13如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，若 BE5，CD6，则 OA 长为 3.4 【分析】设 OAOCr，在 RtOCE 中，根据 OC2EC2+OE2，可得 r233+（5r）2，求出 r，即可解决问题 解：设 OAOCOBr， ABCD， CEDECD3， 在 RtOCE 中，OC2EC2+OE2， r233+（5r）2， r3.4， OA3.4， 故答案为：3.4 14分别以等边ABC 的三个顶
21、点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形如图，等边ABC 的边长为 2cm，则图中阴影部分的面积为 （23） cm2 【分析】其面积三块扇形的面积相加，再减去三个等边三角形的面积 解：过 A 作 ADBC 于 D， ABACBC2cm，BACABCACB60， ADBC， BDCD1cm，ADBDcm， ABC 的面积为BCADcm2， S扇形BACcm2， S阴影33（23）cm2， 故答案为：（23） 15如图，夜晚路灯下，小莉在点 D 处测得自己影长 DE4m，在点 G 处测得自己影长 DG3m，E、D、G、B 在同一条直线上已知小莉身高为 1.6m，则灯杆 AB 的高度为
22、6.4 m 【分析】根据题意抽象出相似三角形，利用相似三角形的性质列式计算即可 解：CDAB， ECDEAB， ，即， FGAB， DFGDAB， ，即， ，解得 BG9， ， AB6.4（m）， 即灯杆 AB 的高度为 6.4m 故答案为：6.4 16ABC 中，ABAC13，BC24，点 I 是ABC 的内心，点 O 是ABC 的外心，则 OI 14.3 【分析】设 BC 边的中点为 D，连接 AD，根据等腰三角形的性质得到 ADBC，DABCAD，得到内心 I 和外心 O 都在直线 AD 上，根据勾股定理得到 AD5，设ABC 的内切圆半径为 r，外接圆半径为 R，则 IODI+OD，根
23、据勾股定理列方程得到 R16.9，求得 OD11.9，根据三角形的面积公式得到r2.4，于是得到结论 解：设 BC 边的中点为 D，连接 AD， ABAC13， ADBC，DABCAD， 点 O 为ABC 的外心，点 I 为ABC 的内心， 内心 I 和外心 O 都在直线 AD 上， ABAC13，BC24， BDCD12， AD5， 设ABC 的内切圆半径为 r，外接圆半径为 R，则 IODI+OD， 连接 OB，在 RtODB 中，ODR5，OBR，DB12， 由勾股定理得（R5）2+122R2， R16.9， ODAOAD16.9511.9， SABCBCAD（AB+BC+AC）r， r
24、2.4， rDI2.4， IODI+OD2.4+11.914.3 故答案为：14.3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）程或演算步骤） 17解下列一元二次方程 （1）x23x； （2）x24x+80 【分析】（1）先整理成一般式，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于 x 的一元一次方程，分别求解即可得出答案； （2）利用公式法求解即可 解：（1）x23x， x2+3x0， x（x+3）0， x0 或 x+30 x10，x
25、23； （2）a1，b4，c8， b24ac0， x， x1x22 18已知二次函数 yx2（m+2）x+2m（m 为常数） （1）求证：不论 m 取何值，该二次函数的图象与 x 轴总有公共点； （2）若 m0，当 x 1 时，y 随 x 的增大而减小 【分析】（1）令 y0 得到关于 x 的二元一次方程，然后证明b24ac0 即可； （2）根据二次函数的性质作答 【解答】（1）证明：当 y0 时，x2（m+2）x+2m0 b24ac（m+2）28m（m2）20， 方程总有两个实数根， 该二次函数的图象与 x 轴总有公共点； （2）解：若 m0，yx22x（x1）21 所以该抛物线的顶点坐标是
26、（1，1） 由于 a10， 所以当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 故答案是：1 19如图，AB 表示一个窗户的高，AM 和 BN 表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离 BC1m已知某一时刻 BC 在地面的影长 CN1.5m，AC 在地面的影长 CM4.5m，求窗户的高度 【分析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线 BN 与 AE 仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出 AB 的长，即窗户的高度 解：BNAM， CBNA，CNBM， CBNCAM， ， ， 解得：CA3（m）， AB312（m）， 答：窗户的高度为 2m 20近日
27、，“复旦学霸图书馆”新闻引发网友热议，其中，“风雨无阻爱学习”的潘同学一年时间图书馆打卡 301 次，更是成为众多学子膜拜的对象某大学图书馆为了更好服务学子，对某周来馆人数进行统计，统计数据如下（单位：人）： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 人数 650 550 710 420 650 2320 3100 （1）该周到馆人数的平均数为 1200 人、众数为 650 人、中位数为 650 人； （2）周一至周五到馆人数相差不多，用这五天的数据估算该周的平均数合适吗？为什么？ （3）选择合适的数据，估算该校一个月的到馆人数（一个月按 30 天计） 【分析】（1）分别利用平均数、众数
28、、中位数的定义求解即可； （2）由于周六、周日比周一至周五到馆人数多得多，所以用周一至周五这五天的数据估算该周的平均数不合适； （3）用该周到馆人数的平均数乘以 30 即可 解：（1）该周到馆人数的平均数为：（650+550+710+420+650+2320+3100）1200（人）， 众数为 650 人，中位数为 650 人， 故答案为：1200，650，650； （2）由于周六、周日比周一至周五到馆人数多得多，所以用周一至周五这五天的数据估算该周的平均数不合适； （3）估算该校一个月的到馆人数为：12003036000（人） 21“三孩”政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划（假定生男生
29、女的概率相同）： （1）甲家庭已有一个男孩和一个女孩，准备再生一个孩子，则第三个孩子是男孩的概率是 ； （2）乙家庭没有孩子，准备生三个孩子，求至少有两个孩子是女孩的概率 【分析】（1）直接根据概率公式可得答案； （2）画树状图展示所有 8 种等可能的结果数，再找出至少有两个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解 解：（1）第三个孩子是男孩的概率为； 故答案为； （2）画树状图为： 共有 8 种等可能的结果数，其中至少有两个孩子是女孩的结果数为 4， 所以至少有两个孩子是女孩的概率为 22已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a、b、c 是常数，a0）的两个实数根分别为 x1，x
30、2，证明：x1+x2，x1x2 【分析】利用求根公式表示出方程的两个根，进而求出两根之和与两根之积，即可即可得证 【解答】证明：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a、b、c 是常数，a0）的两个实数根分别为 x1，x2， 当 b24ac0 时，x1，x2， 则 x1+x2+， x1x2 23图中是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面 OA 宽 4m以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，若点 P 的坐标为（3，2） （1）求拱桥所在抛物线的函数表达式； （2）因降暴雨水位上升 1m，此时水面宽为多少？（结果保留根号） 【分析】（1）根据题意和图象，可以设二次函数的交
31、点式，然后将点 P（3，2）代入求出 a 的值，即可写出该抛物线的解析式； （2）将 y1 代入（1）中的函数解析式，求出相应的 x 的值，然后作差，即可得到因降暴雨水位上升1m，此时水面宽 解：（1）设拱桥所在抛物线的函数表达式为 yax（x4）， 点 P（3，2）在该函数图象上， 23a（34）， 解得 a， yx（x4）x2+x， 即拱桥所在抛物线的函数表达式是 yx2+x； （2）当 y1 时， 1x2+x， 解得 x1，x2， ， 因降暴雨水位上升 1m，此时水面宽为m， 24如图，AB 是O 的弦，AC 是O 的切线，ABAC，BC 交O 于点 D，E 是的中点 （1）求证：CE；
32、 （2）判断四边形 ACDE 的形状，并说明理由 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理可得结论； （2）如图，连接 AD，连接 AO 并延长，交O 于点 F，连接 DF，分别证明 DEAC，AEBC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论 【解答】（1）证明：ABAC， BC ， BE， CE； （2）解：四边形 ACDE 是平行四边形，理由如下： 如图，连接 AD，连接 AO 并延长，交O 于点 F，连接 DF， AF 是直径， ADF90， F+DAF90 AC 是O 的切线，A 是切点， CAF90 CAD+DAF90 CADF B 和F 都是所对的圆周角， BF B
33、CCADF E 是的中点， ， ADEEDB ADB 是ADC 的外角， ADBC+CAD2EDB EDBC DEAC EB CBEDBE， AEBC， ACED， 四边形 ACDE 是平行四边形 25定义：我们把三边之比为 1：的三角形叫做奇妙三角形 （1）初步运用 如图是 72 的正方形网格（每个小正方形的边长均为 1），请分别在图、图中画出顶点在格点上最小、最大的奇妙三角形； 所画三角形中最大内角度数为 135 （2）再思探究 如图，点 A 为坐标原点，点 C 坐标（2，2），点 D 坐标（7，1），在坐标平面上取一点 B（m，2），使得 AB 平分CAD，直接写出 m 的值并说明理由
34、【分析】 （1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；直接利用相似三角形的判定与性质得出尾翼三角形的最大角； （2）m4，利用网格结合勾股定理求出ABC 和ADB 各边的长证明ABCADB，直接利用相似三角形的性质即可得出结论 解：（1）如图所示： 由网格可得： DE1，EF，DF， DE：EF：DF1：， DEF 的三边比为 1：， AB，BC，AC5， AB：BC：AC1：， ABC 的三边比为 1：， ADCACB， DEFABC， DEFABC45+90135 故答案为：135； （2）m4， 理由：连接 AB、BD， 由网格可得： BC2，AC2，AB， BC：AC：AB1：，
35、 ABC 的三边比为 1：， 由网格可得： BD，AB，AD5， BD：AB：AD1：， ADB 的三边比为 1：， ABCADB， BACDAB， AB 平分CAD 26某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为 20 元、10 元，每天卖出件数分别为 40 件、80 件为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价售卖时发现，甲种礼品单价每降 1 元可多卖 4 件，乙种礼品单价每提高 1 元就少卖 2 件若每天两种礼品共卖出 140 件，则每天销售的最大利润是多少？ （1）分析：设甲种礼品每件降低了 x 元，填写下表（用含 x 的式子表示，并化简）； 调价后的每件利润 调
36、价后的销售量 甲种礼品 20 x （40+4x） 乙种礼品 2x （1004x） （2）解答： 【分析】 （1）利用调价后甲种礼品每天的销售量40+4甲种礼品每件降低的价格，可用含 x 的代数式表示出调价后甲种礼品的每天销售量，结合每天两种礼品共卖出 140 件，可用含 x 的代数式表示出调价后乙种礼品每天的销售量， 再利用调价后每件乙种礼品的利润10+ （80乙种礼品每天的销售量） 2，即可用含 x 的代数式表示出调价后每件乙种礼品的利润； （2）设每天的销售利润为 y 元，利用每天的销售利润每件甲种礼品的销售利润甲种礼品的日销售量+每件乙种礼品的销售利润乙种礼品的日销售量，即可得出 y 关
37、于 x 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题 解：（1）商店原来每天可售出甲种礼品 40 件，甲种礼品单价每降 1 元可多卖 4 件，且甲种礼品每件降低了 x 元， 每天销售甲种礼品（40+4x）件， 又每天两种礼品共卖出 140 件， 每天销售乙种礼品 140（40+4x）（1004x）件 商店原来每天可售出乙种礼品 80 件， 乙种礼品单价每提高 1 元就少卖 2 件，且乙种礼品每天的销售量为（1004x）件， 乙种礼品单价提高（2x10）元， 调价后每件乙种礼品的利润为 10+（2x10）2x 元 故答案为：（40+4x）；2x；（1004x） （2）设每天的销售利润为 y
38、 元，则 y（20 x）（40+4x）+2x（1004x）， 即 y12（x10）2+2000， 120， 当 x10 时，y 取得最大值，最大值为 2000 答：每天销售的最大利润是 2000 元 27问题呈现：探究二次函数 yx（x3）+m（其中 0 x3，m 为常数）的图象与一次函数 yx+2 的图象公共点 问题解决： （1）问题可转化为：二次函数 yx（x3）（0 x3）的图象与一次函数 y x+2m 的图象的公共点 （2）在下列平面直角坐标系中画出 yx（x3）（0 x3）的图象 （3）请结合（2）中图象，就 m 的取值范围讨论两个图象公共点的个数 问题拓展：若二次函数 yx2+m（
39、其中x，m 为常数）的图象与一次函数 y2x+2 的图象有两个公共点，则 m 的取值范围为 1m 【分析】（1）二次函数 yx（x3）+m（0 x3）与一次函数 yx+2 的公共点可转化为方程x（x3）+mx+2 有实数根，可转化为方程x（x3）x+2m 有实数根，即二次函数 yx（x3） （0 x3）的图象与一次函数 yx+2m 的图象的有公共点 （2）由题意可知，yx（x3） （0 x3）与 x 轴的交点为（0，0）和（3，0），定点为（1.5，2.25），由此可得函数图象； （3）函数 yx+2m 的图象，随着 m 的值的变化，从下往上开始运动，画出图象，根据量图象的交点可得结论； （4
40、）将二次函数 yx2+m（其中x，m 为常数）的图象与一次函数 y2x+2 的图象有两个公共点转化为： 二次函数 yx2（x） 的图象与一次函数 y2x+2m 的图象的公共点 根据 （3）中的讨论情况类比讨论可得结论 解：（1）二次函数 yx（x3）+m（0 x3）与一次函数 yx+2 的公共点可转化为方程x（x3）+mx+2 有实数根， 可转化为方程x（x3）x+2m 有实数根， 二次函数 yx（x3）（0 x3）的图象与一次函数 yx+2m 的图象的有公共点 故答案为：x+2m （2）yx（x3）（0 x3）与 x 轴的交点为（0，0）和（3，0）， 对称轴为 x1.5，图象最高点为（1.
41、5，2.25） 根据上述信息画出 yx（x3）（0 x3）的图象，如图 1 所示： （3）如图 2 所示： 当 m5 时，一次函数 yx+2m 与二次函数 yx（x3）（0 x3）没有交点； 当 m5 时，一次函数 yx+2m 即 yx3 与二次函数 yx（x3）（0 x3）只有一个交点，这是一个临界条件； 随着 m 减小，当 m2 时，一次函数 yx+2m 即 yx 与二次函数 yx（x3）（0 x3）有两个交点，这同样是一个临界条件； 根据：当 m5 时，两个图象公共点个数为 0 个；当 2m5 时，两个图象公共点个数为 1 个 如图 3 所示： 令 yx（x3）x+2m， 即 x22x+
42、2m0， 4m40，即 m1 时，两函数的图象相切，有一个公共点， 当 m1 时，一次函数 yx+2m 即 yx 与二次函数 yx（x3）（0 x3）只有 1 个交点，这是一个临界条件； 当 m1 时，一次函数 yx+2m 与二次函数 yx（x3）（0 x3）没有交点， 根据：当 1m2 时，两个图象公共点个数为 2 个；当 m1 时，两个图象公共点个数为 1 个；当 m1 时，两 个图象公共点个数为 0 个 综上：当 m1 或 m5 时，两个图象公共点个数为 0 个；当 m1 或 2m5 时，两个图象公共点个数为 1 个；当 1m2 时，两个图象公共点个数为 2 个 （4）将二次函数 yx2
43、+m（其中x，m 为常数）的图象与一次函数 y2x+2 的图象有两个公共点转化为：二次函数 yx2（x）的图象与一次函数 y2x+2m 的图象的公共点 两函数图象的公共点情况如图 4 所示：（虚线部分与实线部分结合是二次函数 yx2的完整图象，实线部分是在本题条件下二次函数 yx2在x的图象）， 二次函数 yx2（x）图象的两个端点 A（，），B（，）， 令 yx22x+2m，即 x22x+2m0， 4m40，即 m1 时，两函数的图象相切，有一个公共点； 当一次函数 y2x+2m 过点 B 时，m，两函数的图象有一个公共点， 当一次函数 y2x+2m 过点 A 时，m两函数的图象有两个公共点， 根据上图所示，当 1m时，两函数的图象有两个公共点 m 的取值范围为：1m 故答案为：1m
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