1、江苏省扬州市宝应县江苏省扬州市宝应县 2021-2022 学年九年级上期中数学试题学年九年级上期中数学试题 一、选择题一、选择题 1. 下列方程中，一元二次方程是（ ） A. 10 xx B. x210 C. ax2bxc0 D. xy10 2. 在我校“文化艺术节”英语表演比赛中，有 16 名学生参加比赛，规定前 8名的学生进入决赛，某选手想知道自己能否晋级，只需要知道这 16名学生成绩的（ ） A. 中位数 B. 方差 C. 平均数 D. 众数 3. 根据下列表格对应值： x 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c 0.02 0 01 0.03 判断关于 x 的方程 ax2+bx+
2、c0的一个解 x的范围是（ ） A. x3.24 B. 3.24x3.25 C. 3.25x3.26 D. 3.25x3.28 4. 已知线段 a2，b4，如果线段 b 是线段 a和 c的比例中项，那么线段 c的长度是（ ） A. 22 B. 6 C. 8 D. 2 5. 如图，已知 CD为O的直径，过点 D的弦 DE平行于半径 OA，若弧 CE的度数是 92，则C 的度数是（ ） A. 46 B. 88 C. 24 D. 23 6. 如图，P是线段 AB的黄金分割点，且 PAPB，S1表示 PA 为一边的正方形的面积，S2表示长为 AB、宽为PB 的矩形面积，则 S1、S2的大小关系是（ ）
3、 A. S1S2 B. S1=S2 C. S1PB，S1表示 PA 为一边的正方形的面积，S2表示长为 AB、宽为PB 的矩形面积，则 S1、S2的大小关系是（ ） A. S1S2 B. S1=S2 C. S1S2 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到 PA2=PBAB，再利用正方形和矩形的面积公式有 S1=PA2，S2=PBAB，即可得到 S1=S2 【详解】P是线段 AB 的黄金分割点，且 PAPB， PA2=PBAB， 又S1表示 PA为一边的正方形的面积，S2表示长是 AB，宽是 PB的矩形的面积， S1=PA2，S2=PBAB， S1=S2 故选 B
4、【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点 7. 下列说法中： （1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧； （2）半圆是弧； （3）长度相等的弧是等弧； （4）平分弦的直径垂直于这条弦；正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理、半圆的定义、等弧的定义及垂径定理的推论逐一判断即可得答案. 【详解】 （1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧，故符合题意， （2）
5、半圆是弧，故符合题意， （3）在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故不符合题意， （4）平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，故不符合题意， 其中真命题的个数有 2个. 故选 C 【点睛】本题考查垂径定理、半圆的定义、等弧的定义及垂径定理的推论，熟练掌握定理及定义是解题关键. 8. 股票每天的涨、跌幅均不能超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价若这两天此股票股价的平均增长率为 x，则 x满足的方程是（ ） A. （1+x）21110 B. （1+x）2109 C. 1+2x1110 D
6、. 1+2x109 【答案】B 【解析】 【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的 90%，再从 90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能10%，所以至少要经过两天的上涨才可以设平均每天涨 x，每天相对于前一天就上涨到 1x 【详解】解：假设股票的原价是 1，平均增长率为x 则 90%（1x）21， 即（1x）2109， 故选 B 【点睛】此题考查增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨 x 后是原来价格的（1x）倍 二、填空题二、填空题 9. 如图，四边形 ABCD是O 的内接四边形，O的半径为 5，B135，则弦 AC的长为_ 【答案】5 2 【解析】
7、分析】 连接OA、OC， 根据圆内接四边形的性质和已知条件求出D的度数， 根据圆周角定理求出AOC，再根据等腰直角三角形的性质求出答案即可 【详解】 如图所示，连接OA、OC、AC， Q四边形ABCD是Oe的内接四边形， 180BD ， 135B Q， 45D， 290AOCD ， OQe的半径为 5， 22555 2AC， 故答案为：5 2 【点睛】本题考查了圆的性质，掌握圆内接四边形对角互补与同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系是解题的关键. 10. 如图，在O中，弦 AB2，点 C在 AB上移动，连结 OC，过点 C 作 CDOC交O于点 D，则 CD的最大值为_ 【答案】1 【解析】 【
8、分析】连接 OD，根据勾股定理求出 CD，利用垂线段最短得到当 OCAB 时，OC 最小，根据垂径定理计算即可 【详解】连接 OD，如图， CDOC， DCO90 ， CD22ODOC22rOC， 当 OC的值最小时，CD的值最大， 而 OCAB时，OC最小，此时 D、B 两点重合， CDCB12AB12 21， 即 CD的最大值为 1， 故答案为 1 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键 11. AB 为O的弦，OAB40，则弦 AB所对的弧的度数为_ 【答案】100 或 260 #260 或 100 【解析】 【分析】根据
9、半径相等求得40OBA，再根据三角形内角和定理求出AOB，再求出劣弧，优弧的度数即可 【详解】解：如图， OAOB， OABOBA40 ， AOB180 40 40 100 ， 弦 AB 所对的弧的度数为 100 或 260 ， 故答案为：100 或 260 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，圆心角与弧的度数的关系，求得圆心角的度数是解题的关键 12. 在同一平面内，点 P到圆上的点的最大距离为 7，最小距离为 1，则此圆的半径为_ 【答案】3 或 4#4 或 3 【解析】 【分析】由于点 P 与O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论 【详解】设O的半径为 r， 当点 P在圆外时，7
10、132r； 当点 P在O内时，7 142r 综上可知，此圆的半径为 3 或 4 故答案为：3或 4 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键 13. 已知关于 x方程 a（x+c）2+b0（a，b，c 为常数，a0）的两根分别为2，1，那么关于 x的方程 a（x+c2）2+b0 的两根分别为_ 【答案】3,0 【解析】 【分析】方法一：根据方程 a（x+c）2+b0（a，b，c 为常数，a0）的两根分别为2，1，代入进行转化，即可得到 c 的值，再进行代入方程 a（x+c2）2+b0，得到其两根；方法二：将 x+c 看成一个整体，由方程 a（x+c）2
11、+b0（a，b，c为常数，a0）的两根分别为2，1，可以得到方程 a（x+c2）2+b0的两根 【详解】解：方法一：方程 a（x+c）2+b0（a，b，c为常数，a0）的两根分别为2，1， a（2+c）2+b0或 a（1+c）2+b0， （2+c）2ba或（1+c）2ba， 2+c+1+c0， 解得，c0.5， （2+0.5）2ba， ba94， a（x+c2）2+b0， （x+0.52）294， 解得，x13，x20， 故答案为：3，0 方法二：方程 a（x+c）2+b0（a，b，c为常数，a0）的两根分别为2，1， 方程 a（x+c2）2+b0 的两根分别为：2+20 或 1+23， 故答
12、案为：3，0 【点睛】考查含有参数的一元二次方程的解法，学生根据已知条件既可以直接求出参数的值，继而求出另一个含有相同参数的方程的根或者将含参整式看成一个整体，由此得到另一个方程的根 三解答题三解答题 14. 解方程： （1）226xx； （2）22(023)xx 【答案】 （1）1217,17xx （2）121,3xx 【解析】 【分析】 （1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可 【小问 1 详解】 226xx 2260 xx 1,2,6,42428abc 2422 722bbacxa 1217,17xx 【小问 2 详解】 22(023)xx 23230
13、 xxxx 3330 xx 3130 xx 解得121,3xx 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键 15. 已知关于 x 的方程 x2+mx+m-2=0. (1)若此方程的一个根为 1,求 m的值； (2)求证：不论 m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根. 【答案】 （1）12； （2）证明见解析. 【解析】 【详解】试题分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根 （1）直接把 x=1 代入方程 x2+mx+m2=0 求出 m 的值； （2
14、）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可 解： （1）根据题意，将 x=1 代入方程 x2+mx+m2=0， 得：1+m+m2=0， 解得：m=12； （2）=m24 1 （m2）=m24m+8=（m2）2+40， 不论 m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 考点：根的判别式；一元二次方程的解 16. 省射击队为从甲、 乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛， 对他们进行了六次测试， 测试成绩如下表 （单位：环） ： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 （1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成
15、绩是 环，乙的平均成绩是 环； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由 【答案】 （1）9；9； （2）甲的方差为23，乙的方差为43，甲，见解析 【解析】 【分析】 （1）根据表格中的数据可以算出甲和乙的平均环数； （2）根据表格中的数据可以分别计算出甲和乙的方差，然后根据方差越小越稳定即可解答本题 【详解】解： （1）甲的平均成绩是： （10+8+9+8+10+9） 69（环） ， 乙的平均成绩是： （10+7+10+10+9+8） 69（环） ， （2）推荐甲参加全国比赛更合适，理由： 甲的方差是：16 2 （109）2+2 （89）2+2 （
16、99）223 ， 乙的方差是：16 3 （109）2+（79）2+（89）2+（99）243， 2433 ， 推荐甲参加全国比赛更合适 【点睛】本题主要考查了求方差和平均数，理解一组数据方差越小，波动越小，越稳定是解题的关键 17. （1）如图，将 A、B、C 三个字母随机填写在三个空格中（每空填一个字母，每空中的字母不重复） ，请你用画树状图或列表的方法求从左往右字母顺序恰好是 A、B、C 的概率； （2）若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将 A、B、C、D 四个字母任意填写其中（每空填一个字母，每空中的字母不重复） ，从左往右字母顺序恰好是 A、B、C、D 的概率为 【答案】 （1）16
17、； （2）124 【解析】 【分析】 （1）用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是 A、B、C的种数即可求出其概率； （2）用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是 A、B、C、D 的种数即可求出其概率； 【详解】解： （1） 如表格所示，一共有六种等可能的结果，其中从左往右字母顺序恰好是 A、B、C（记为事件 A）的结果有一种，所以 P(A)16； （2）由（1）可知从左往右字母顺序恰好是 A、B、C、D 的概率为：124 18. 图中是圆弧拱桥，某天测得水面 AB宽 20m，此时圆弧最高点距水面 5m （1）确定圆弧所在圆的圆心 O （尺规作图，保留作
18、图痕迹） （2）求圆弧所在圆的半径 【答案】 （1）见解析； （2）12.5m 【解析】 【分析】 （1）利用垂径定理得出垂直平分线，交点即是圆心，到任意一点距离即是半径； （2）利用垂径定理以及勾股定理，即可得出答案 【详解】 （1）如图，圆心O即为所求； （2）设圆弧拱桥最高点为C，连接OA、OC交AB于D， 则OCAB，5mCD，110m2ADAB， 设mODx，则(5)mOAOCx， 在RtAOD中，222OAODAD，即222(5)10 xx， 解得:7.5x， 7.5512.5(m)OA， 圆半径为12.5m 【点睛】本题考查垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键 19
19、. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【答案】衬衫的单价降了 15 元 【解析】 【详解】试题分析：设衬衫的单价降了 x 元根据题意等量关系：降价后的销量每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可 试题解析：设衬衫的单价降了 x 元根据题意，得 （20+2x） （40 x）=1250， 解得：x1=x2=15， 答：衬衫的单价降了 15 元 20. 如图，RtABC 中，ACB=90 ，D 是
20、 BC 的中点，CEAD，垂足为 E. （1）求证：CD2=DE AD； （2）求证：BED=ABC. 【答案】 （1）证明见试题解析； （2）证明见试题解析 【解析】 【分析】 （1）证明CDEADC 即可； （2）证明BDEADB即可得到结论 【详解】 （1）CEAD CED=ACB=90 CDE=ADC CDEADC CDDEADCD CD2=DE AD； （2）D是 BC的中点 BD=CD CD2=DE AD； BD2=DE AD BDDEADBD 又ADB=BDE BDEADB BED=ABC 考点：相似三角形的判定与性质 21. 王华同学在晚上由路灯 AC走向路灯 BD，当他走到点
21、 P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯 AC的底部，当他向前再步行 12m到达 Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯 BD 的底部已知王华同学的身高是 1.6m，两个路灯的高度都是 9.6m （1）求两个路灯之间的距离； （2）当王华同学走到路灯 BD 处时，他在路灯 AC下的影子长是多少？ 【答案】 （1）18m （2）3.6m 【解析】 【分析】 （1）如图 1，先证明APMABD，利用相似比可得 AP16AB，即得 BQ16AB，则16AB+12+16ABAB，解得 AB18（m） ； （2） 如图 2， 他在路灯 AC下的影子为 BN， 证明NBMNAC， 利用相似三角形的
22、性质得1.6189.6BNBN，然后利用比例性质求出 BN即可 【小问 1 详解】 如图 1， PMBD， APMABD， APPMABBD，即1.69.6APAB， AP16AB， QB=AP， BQ16AB， 而 AP+PQ+BQAB， 16AB+12+16ABAB， AB18 答：两路灯的距离为 18m； 【小问 2 详解】 如图 2，他在路灯 AC下的影子为 BN， BMAC， NBMNAC， BNBMANAC，即1.6189.6BNBN，解得 BN3.6 答：当他走到路灯 BD 时，他在路灯 AC下影长是 3.6m 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质， 要求学生能根据题意画出
23、对应图形， 能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法 22. 如图在ABC 中AB4，D是 AB上的一点（不与点 A、B重合） ，DEBC交于点 E设ABC的面积为 SDEC的面积为 S （1）当 D是 AB的中点时求SS的值 （2）若 ADx，SSy，求 y 关于 x的函数关系式以及自变量 x的取值范围 （3）根据 y 的取值范围，探索 S 与 S之间的大小关系并说明理由 【答案】 （1）1：4； （2）y116x2+14x，0 x4； （3）S14S 【解析】 【分析】 （1）先求出 E点是 AC中点，再
24、得到ADE和CDE 的面积相等，根据平行线得出ADEABC，推出ADEABCSS（ADAB）2，把 AB2AD代入求出即可； （2）求出ADEABCSS116x2，ADEDECSSAEEC4xx， 即可得出答案； （3）由（2）知 x的取值范围是 0 x4，于是得到 ySS116x2+14x116（x2）2+1414，即可得到结论 【详解】解： （1）D为 AB 中点， AB2AD， DEBC， 12ADAEABAC 12AEAC AEEC， ADE的边 AE 上的高和CED 的边 CE上的高相等， SADESCDES， DEBC， ADEABC， ADEABCSS（ADAB）2（12）214
25、， S：S1：4； （2）AB4，ADx， ADEABCSS（ADAB）2（4x）2， ADEABCSS116x2， DEBC， ADEABC， ADABAEAC， AB4，ADx， AEAC4x， AEEC4xx ADE的边 AE 上的高和CED 的边 CE上的高相等， ADEDECSSAEEC4xx， 得： ySS116x2+14x， AB4， x的取值范围是 0 x4； （3）由（2）知 x的取值范围是 0 x4， ySS116x2+14x116（x2）2+1414， S14S 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积的计算方法，二次函数的最值问题，熟练掌握相似三角形的
26、判定和性质定理是解题的关键 23. 如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=BC=8，点 P 为 AB 的中点，E 为 BC上一动点，过 P点作 FPPE交 AC于 F 点，经过 P、E、F三点确定O （1）试说明：点 C 也一定在O上 （2）点 E 在运动过程中，PFE 的度数是否变化？若不变，求出PFE 的度数；若变化，说明理由 （3）求线段 EF的取值范围，并说明理由 【答案】 （1）见解析 （2）PFE 的度数不变，是 45 （3）4 2EF8 【解析】 【分析】 （1）先根据直径所对的圆周角是直角，先证得 EF 是直径，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得点 C 在
27、圆上即可； （2）根据线段的垂直平分线的判定，可证得 PE=PF，得到PCB=45 ，进而根据PCB=45以及等弧所对的圆周角相等即可解决问题； （3）根据 E点的移动，可知当 E与 C 重合时，EF最长，而当 EF 为ABC 的中位线时，EF最短，即可求出线段 EF的取值范围. 【小问 1 详解】 如图，连接,OP OC， FPPE， FPE=90 ， EF 为直径， OP=OE=OF， C=90 ， OC=OE=OF， 点 C在O上， 【小问 2 详解】 连接 PC AC=BC， ABC是等腰直角三角形， 点 P是 AB的中点， CP平分ACB， ACP=45 ， EPEP， BCP=PFE=45 ， 由于BCP 的度数不变， PFE的度数不会发生变化,为 45 【小问 3 详解】 当 E 与 C重合时，EF 最长，此时 EF=AC=8； 当 EF为ABC中位线时，EF 最短，根据勾股定理可得 AB=82， 根据三角形的中位线可得 EF=42， 所以4 2EF8 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是 90 度，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆心角相等，三角形中位线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上定理是解题的关键
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