1、江苏省徐州市江苏省徐州市 2021-2022 学年九年级上期中数学试题学年九年级上期中数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分 ）分 ） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个结论正确的是（ ） A. 度数相等的弧是等弧 B. 三点确定一个圆 C. 在同圆或等圆中，圆心角是圆周角的 2 倍 D. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 3. 用配方法解方程 x21=8x，变形后的结果正确的是( ) A. (x4)2=15 B. (x4)2=17 C. (x4)2=
2、15 D. (x4)2=17 4. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. 2104xx B. 2230 xx C. 220 xx D. 220 xx 5. 如图，AB 是O的直径，点 C、D 是圆上两点，且126AOC，则CDB（ ） A 54 B. 64 C. 37 D. 27 6. 如图，若干个全等正五边形排成环状，图中所示的是前 3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 7 函数25yaxbx(0)a ，当1x 与7x 时函数值相等，则8x 时，函数值等于( ) A. 5 B. 52 C. 52 D. 5 8.
3、抛物线20yaxbxc a的对称轴为直线1x，与x轴的一个交点在（3，0）和（2，0）之间，其余部分图像如图，则下列结论： 240bac； 20ab； 0abc ； 点（1x，1y）和（2x，2y）在抛物线上，若12xx，则12yy正确结论的个数是（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 9. 已知圆 O的半径为 10cm，OP8cm，则点 P和圆 O 的位置关系是_ 10. 已知关于 x一元二次方程230 xkx有一个根为 1，则 k的值是_ 11. 将抛物线2y
4、x=向右平移 4 个单位，所得到的抛物线的函数解析式是_ 12. 如图，点 A、B、C在圆上，且ACB100，则_ 13. 圆锥的底面周长为 3，母线长为 5cm，该圆锥侧面展开扇形的圆心角是_ 14. 某商品原价 200 元，连续两次降价后售价为 128 元，则平均每次降价的百分数为_ 15. 如图， 在ABC中， ACBC， 点 O在 AB上， 以 OA 为半径的圆 O 与 BC 相切于点 C， B_ 16. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m） 关于滑行的时间x（单位：s） 的函数解析式是2y1.2x48x ，则飞机着陆后滑行_m后才能停下来 17. 在O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦
5、BC所对的圆周角等于_ 18. 已知抛物线31932yxx 与x轴交于 A、B 两点，对称轴与抛物线交于 C，与x轴交于点 D，圆 C 的半径为 1.8，G为圆 C 上一动点，P为 AG的中点，则 DP的最大值为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共计小题，共计 86 分）分） 19. 计算： （1）223xx （2）22210 xx 20. 已知：如图，O的直径 AE=10cm，B=EAC求 AC 的长 21. 已知某二次函数中的自变量x和函数值y的部分对应值如下表 x 0 1 2 3 y 2 1 2 1 （1）求该二次函数的函数表达式； （2）在所给的直角坐标系中直接
6、画出该函数的图像； （3）当01x时，y的取值范围 （4）当2y 时自变量x的取值范围是 22. 如图，AB 为圆 O的直径，射线 AD 交圆 O于点 F，点 C 为劣弧 BF 的中点，过点 C 作 CEAD，垂足为 E，连接 AC （1）求证：CE是圆 O的切线 （2）若BAC30，AB4，求阴影部分的面积 23. 一块长 30cm，宽 12cm矩形铁皮 （1）如图 1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为 1442cm的无盖方盒，请求出切去的正方形的边长 （2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图 2
7、的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料若折出的是底面积为 1042cm的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同） ，设裁剪下的小正方形边长为ycm，则根据题意可列方程为 ； 24. 超市销售某种儿童玩具， 如果每件利润为40元 （市场管理部分规定， 该种玩具每件利润不能超过60元） ，每天可售出 50 件， 根据市场调查发现， 销售单价每增加 2元， 每天销售量会减少 1件， 设销售单价增加x元，每天售出y件 （1）请写出y与x之间的函数表达式 （2）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？ 25. 如图，已知抛物线240yaxbxa的图像经过点 A（4，0） 、B
8、（1，0）交y轴于点 C （1）求抛物线的解析式 （2）过点 C作 CD平行于x轴，交抛物线于点 D，点 P 为抛物线上的一动点（点 P 在 CD上方） ，作 PE平行于y轴，交 AC于点 E，问当点 P在何位置时，四边形 PDEC 的面积最大？并求出最大面积 （3）设点 M为抛物线对称轴l上一点，N为抛物线上一点，是否存在这样的点 M、N，使直线 AC垂直平分MN，若存在，求点 N的坐标，若不存在，说明理由 江苏省徐州市江苏省徐州市 2021-2022 学年九年级上期中数学试题学年九年级上期中数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共
9、24 分 ）分 ） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形 【详解】解：A不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故
10、本选项不符合题意 故选：C 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 2. 下面四个结论正确的是（ ） A. 度数相等的弧是等弧 B. 三点确定一个圆 C. 在同圆或等圆中，圆心角是圆周角的 2 倍 D. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的有关概念、确定圆的条件、圆周角定理及三角形的外心的性质解得即可 【详解】解：A、在同圆或等圆中，能完全重合的弧才是等弧，故错误； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； C、在同圆或等圆
11、中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的 2倍，故错误； D、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故正确； 故选 D 【点睛】本题考查了圆的有关的概念，属于基础知识，必须掌握 3. 用配方法解方程 x21=8x，变形后的结果正确的是( ) A. (x4)2=15 B. (x4)2=17 C. (x4)2=15 D. (x4)2=17 【答案】C 【解析】 【详解】x21=8x，移项，得 x28x=1，配方，得 x28x+42=1+42，即（x4）2=15. 故选 C. 点睛：移项得时候注意将含有未知数的项全部移到等号左边，常数项全部移到等号右边. 4. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数
12、根的是（ ） A. 2104xx B. 2230 xx C. 220 xx D. 220 xx 【答案】D 【解析】 【分析】先计算四个选项中方程的根的判别式的值，确定判别式的符号，选出判别式大于 0 的方程满足条件，由此即可得出结论 【详解】解：A方程2104xx判别式 2114 104 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意; B方程2230 xx判别式 224 1 380, 方程没有实数根，不符合题意; C方程220 xx判别式 214 1 270 ，方程没有实数根，不符合题意; D方程220 xx判别式 224 1 040 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意 故答案为： D 【点睛】本
13、题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于 0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于 0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于 0，方程没有实数根，掌握并会利用解决问题是解题关键 5. 如图，AB 是O的直径，点 C、D 是圆上两点，且126AOC，则CDB（ ） A. 54 B. 64 C. 37 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】由AOC=126 ，可求得BOC的度数，然后由圆周角定理，求得CDB 的度数 【详解】解：AOC=126 ， BOC=180 -AOC=54 ， CDB=12BOC=27 故选：D 【点睛】此题考查了圆周角定理注意在同圆或等圆中，同弧
14、或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 6. 如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前 3 个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】分析：先根据多边形的内角和公式（n2）180求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于 360 求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去 3即可得解 详解：五边形的内角和为（52）180=540，正五边形的每一个内角为 540 5=108 ，如图，延长正五边形的两边相交于点
15、O，则1=360 108 3=360 324 =36 ，360 36 =10已经有3 个五边形，103=7，即完成这一圆环还需 7个五边形 故选 D 点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的 3 个正五边形 7. 函数25yaxbx(0)a ，当1x 与7x 时函数值相等，则8x 时，函数值等于( ) A. 5 B. 52 C. 52 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性，求得函数25yaxbx(0)a 的对称轴，进而判断与8x 的函数值相等时x的值，由此可得结果 【详解】函数25yaxbx(0
16、)a ，当1x 与7x 时函数值相等， 函数25yaxbx(0)a 的对称轴为：1742x， 8x 与0 x的函数值相等， 当8x 时，250055yaxbxab ， 即8x 时，函数值等于5， 故选：A 【点睛】 本题主要考查二次函数图象和对称性 掌握二次函数的对称性和对称轴的求法， 是解题的关键 8. 抛物线20yaxbxc a的对称轴为直线1x，与x轴的一个交点在（3，0）和（2，0）之间，其余部分图像如图，则下列结论： 240bac； 20ab； 0abc ； 点（1x，1y）和（2x，2y）在抛物线上，若12xx，则12yy正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2 个 C. 3个
17、 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数与 x轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定即可作出判断 【详解】解：函数与 x轴有两个交点，则 b2-4ac0，故本选项错误； 函数的对称轴是直线 x=-1，即2ba=-1，则 b=2a，则 2a-b=0，故本选项正确； （-3，0）关于直线 x=-1 的对称点是（1，0） ，且当 x=-3 时，y0， 当 x=1 时，函数对应的点在 x 轴下方，则 a+b+c0，则本选项正确； 因为不知道点（x1，y1） ， （x2，y2）在抛物线上所处位置，所以 y1和 y2的大小无法判断，则本选项错误 故选：B 【点睛】本题主要考查图
18、象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a与 b的关系，以及根的判别式的熟练运用 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 9. 已知圆 O的半径为 10cm，OP8cm，则点 P和圆 O 的位置关系是_ 【答案】点 P 在圆内 【解析】 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离 d，则dr时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上；当 dr时，点在圆内 【详解】解：点 P到圆心的距离 OP=8cm，小于O 的半径 10cm， 点 P圆内 故答案为：点 P在圆内 【点睛】本
19、题考查了对点与圆的位置关系的判断关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当dr时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上，当 dr时，点在圆内 10. 已知关于 x 的一元二次方程230 xkx有一个根为 1，则 k 的值是_ 【答案】2 【解析】 【分析】将 x=1代入一元二次方程 x2+kx-3=0，即可求得 k 的值，本题得以解决 【详解】解：一元二次方程 x2+kx-3=0 有一个根为 1， 12+k 1-3=0， 解得，k=2， 故答案为：2 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出 k的值 11. 将抛物线2yx=向右平移 4 个单位，所得到的抛物线
20、的函数解析式是_ 【答案】y=（x-4）2 【解析】 【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可 【详解】解：抛物线 y=x2的顶点坐标为（0，0） ， 向右平移 4 个单位后的图象的顶点坐标为（4，0） ， 所以，所得图象的解析式为 y=（x-4）2， 故答案为：y=（x-4）2 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键 12. 如图，点 A、B、C在圆上，且ACB100，则_ 【答案】160 #160度 【解析】 【分析】在优弧 AB上任取一点 D
21、，连接 AD，BD，先由圆内接四边形的性质求出ADB 的度数，再由圆周角定理求出AOB的度数即可 【详解】解：优弧 AB 上任取一点 D，连接 AD，BD， 四边形 ACBD内接与O，C=100 ， ADB=180 -C=180 -100 =80 ， AOB=2ADB=2 80 =160 故答案为：160 【点睛】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 13. 圆锥的底面周长为 3，母线长为 5cm，该圆锥侧面展开扇形的圆心角是_ 【答案】108 【解析】 【分析】圆锥的底面周长即为侧面扇形的弧长，利用弧长公式即可求得扇形的圆心角
22、【详解】解：由题意可得：53180n， 解得：n=108， 圆锥侧面展开扇形的圆心角是 108 ， 故答案为：108 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长 14. 某商品原价 200 元，连续两次降价后售价为 128 元，则平均每次降价的百分数为_ 【答案】20% 【解析】 【分析】 设平均每次降价率为 x， 可先表示出第一次降价后的价格， 那么第一次降价后的价格 （1-x） =128，把相应数值代入即可求解 【详解】解：设平均每次降价率为 x， 则第一次降价后的价格为 200 （1-x） ，两次连续降价后售价后的价格为：200 （1-x） （1-x） ，
23、则列出的方程是 200 （1-x）2=128， 解得：x=20%即平均每次的降价率为 20% （不符合题意的根舍去） 故答案为：20% 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1 x）2=b 15. 如图， 在ABC中， ACBC， 点 O在 AB上， 以 OA 为半径的圆 O 与 BC 相切于点 C， B_ 【答案】30 #30 度 【解析】 【分析】连接 OC，如图，利用切线的性质得到BCO=90 ，再由 CA=CB 得到B=A，利用圆周角定理得到BOC=2A，则可根据三角形内角和
24、计算出B=30 【详解】解：连接 OC，如图， O与 BC相切于点 C， OCBC， BCO=90 ， CA=CB， B=A， BOC=2A， 而B+BOC=90 ， B+2B=90 ，解得B=30 ， 故答案为：30 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理 16. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m） 关于滑行的时间x（单位：s） 的函数解析式是2y1.2x48x ，则飞机着陆后滑行_m后才能停下来 【答案】480 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，结合最值公式，即可得出答案. 【详解】因为-1.20，所以-48x=202-1.2 （
25、）时，y取得最大值，此时 y=480. 【点睛】本题考查了二次函数的性质及其应用问题，熟悉掌握概念是解决本题的关键. 17. 在O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于_ 【答案】120 或 60 【解析】 【分析】根据弦BC垂直平分半径OA及 OB=OC证明四边形 OBAC 是矩形，再根据 OB=OA，OE=12求出BOE=60 ，即可求出答案. 【详解】设弦BC垂直平分半径OA于点 E，连接 OB、OC、AB、AC，且在优弧 BC 上取点 F，连接 BF、CF， OB=AB，OC=AC， OB=OC， 四边形 OBAC是菱形， BOC=2BOE， OB=OA，OE=12,
26、cosBOE=12， BOE=60 ， BOC=BAC=120 ， BFC=12BOC=60 ， 弦BC所对的圆周角为 120 或 60 ， 故答案为：120 或 60 . 【点睛】此题考查圆的基本知识点：圆的垂径定理，同圆的半径相等的性质，圆周角定理，菱形的判定定理及性质定理，锐角三角函数，熟练掌握圆的各性质定理是解题的关键. 18. 已知抛物线31932yxx 与x轴交于 A、B 两点，对称轴与抛物线交于 C，与x轴交于点 D，圆 C 的半径为 1.8，G为圆 C 上一动点，P为 AG的中点，则 DP的最大值为_ 【答案】739410 【解析】 【分析】如图，连接 BG利用三角形的中位线定
27、理证明 DP=12BG，求出 BG 的最大值，即可解决问题 【详解】解：如图，连接 BG AP=PG，AD=DB， DP=12BG， 当 BG 的值最大时，DP的值最大， 233319532322yxxx ， C（5，32） ，B（9，0） ， BC=2235902=732， 当点 G在 BC的延长线上时，BG 的值最大，最大值=732+95， DP的最大值为739410， 故答案为：739410 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共计小题，共计 8
28、6 分）分） 19 计算： （1）223xx （2）22210 xx 【答案】 （1）x1=1，x2=-3 （2）x1=132，x2=132 【解析】 【分析】 （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解 【19 题详解】 解：223xx， 2230 xx， 130 xx， 解得：x1=1，x2=-3； 【20 题详解】 22210 xx ， a=2，b=-2，c=-1， b2-4ac=（-2）2-4 2 （-1）=12， x=21222， 解得：x1=132，x2=132 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式
29、法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 20. 已知：如图，O的直径 AE=10cm，B=EAC求 AC 的长 【答案】5 2AC 【解析】 【分析】连接CE，根据圆周角定理得BE ，90ACE，得45EEAC ，解直角三角形即可求出AC 【详解】如图：连接CE EQ，B是AC所对的圆周角 BE BEAC Q EEAC AE是圆O的直径 90ACE 45EEAC 10AE Q 2sin45105 22ACAC g AC的长为5 2 【点睛】本题考查了解直角三角形和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：同圆或等圆，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90是解题关键 21
30、. 已知某二次函数中的自变量x和函数值y的部分对应值如下表 x 0 1 2 3 y 2 1 2 1 （1）求该二次函数的函数表达式； （2）在所给的直角坐标系中直接画出该函数的图像； （3）当01x时，y的取值范围 （4）当2y 时自变量x的取值范围是 【答案】 （1）y=-x2+4x-2 （2）见解析 （3）-2y1 （4）0 x4 【解析】 【分析】 （1）将（0，-2） ， （1，1） ， （2，2）分别代入 y=ax2+bx+c，利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据图表中的对应点，画出函数的图象即可； （3）利用二次函数的性质结合图象即可写出当 0 x1时 y的范围； （4
31、）结合图象即可写出 y-2 时自变量 x 的取值范围 【21 题详解】 解：设二次函数表达式为 y=ax2+bx+c， 图像过点（0，-2） ， （1，1） ， （2，2） ， 12422abcabcc ， 解得：142abc ， 二次函数的解析式为：y=-x2+4x-2； 【22 题详解】 如图所示： 【23 题详解】 当 x=0 时，y=-2， 当 x=1时，y=1， 当 0 x1时，-2y1； 【24 题详解】 当 y=-2 时，-x2+4x-2=-2， 解得：x=0或 4， 当 y-2 时，自变量x的取值范围是 0 x4 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数图像
32、，比较基础，也考查了二次函数的图象与性质以及数形结合思想 22. 如图，AB 为圆 O的直径，射线 AD 交圆 O于点 F，点 C 为劣弧 BF 的中点，过点 C 作 CEAD，垂足为 E，连接 AC （1）求证：CE是圆 O的切线 （2）若BAC30，AB4，求阴影部分的面积 【答案】 （1）见解析 （2）23 【解析】 【分析】 （1）连接 BF，证明 BFCE，连接 OC，证明 OCCE即可得到结论； （2）连接 OF，求出扇形 FOC的面积即可得到阴影部分的面积 【小问 1 详解】 解：连接 BF，OC， AB 是O的直径， AFB=90 ，即 BFAD， CEAD， BFCE， 连接
33、 OC， 点 C为劣弧 BF的中点， OCBF， BFCE， OCCE， OC是O的半径， CE是O的切线； 【小问 2 详解】 连接 OF，CF， OA=OC，BAC=30 ， BOC=60 ， 点 C为劣弧 BF的中点， FCBC， FOC=BOC=60 ， OF=OC， OCF=COB， CFAB， SACF=SCOF， 阴影部分的面积=S扇形COF， AB=4， FO=OC=OB=2， S扇形FOC=2602360=23， 即阴影部分的面积为：23 【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键 23. 一块长 30cm，宽
34、 12cm的矩形铁皮 （1）如图 1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为 1442cm的无盖方盒，请求出切去的正方形的边长 （2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图 2 的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料若折出的是底面积为 1042cm的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同） ，设裁剪下的小正方形边长为ycm，则根据题意可列方程为 ； 【答案】 （1）3cm （2）301221042yy 【解析】 【分析】 （1）设切去的正方形的边长为 xcm，则折成的方盒的底面为长（30-2x）cm，宽为（12
35、-2x）cm 的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可； （2）设切去的正方形的边长为 ycm，则折成的长方体盒子的底面为长为302ycm，宽为（12-2y）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于 y 的一元二次方程 【23 题详解】 解：设切去的正方形的边长为 xcm，则折成的方盒的底面为长（30-2x）cm，宽为（12-2x）cm的矩形， 依题意，得： （30-2x） （12-2x）=144 解得：x=3或 x=18（舍） ， 切去的正方形的边长为 3cm； 【24 题详解】 设切去的正方形的边长为 ycm，则折成的长方体盒子的底面为长为302ycm，宽
36、为（12-2y）cm 的矩形， 依题意，得：301221042yy 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 24. 超市销售某种儿童玩具， 如果每件利润为40元 （市场管理部分规定， 该种玩具每件利润不能超过60元） ，每天可售出 50 件， 根据市场调查发现， 销售单价每增加 2元， 每天销售量会减少 1件， 设销售单价增加x元，每天售出y件 （1）请写出y与x之间的函数表达式 （2）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？ 【答案】 （1）150 0202yxx （2）当 x为 20时 w 最大，最大值是 2400元
37、 【解析】 【分析】 （1）根据“每天可售出 50件根据市场调查发现，销售单价每增加 2元，每天销售量会减少 1件”列函数关系式即可； （2）根据题意得到 w=213024502x，根据二次函数的性质得到当 x30时，w随 x的增大而增大，于是得到结论 【小问 1 详解】 解：根据题意得，150 0202yxx ； 【小问 2 详解】 根据题意得，w=140502xx=213024502x， a=120， 当 x30 时，w 随 x 的增大而增大， 40+x60，x20， 当 x=20 时，w最大=2400， 答：当 x为 20 时 w最大，最大值是 2400 元 【点睛】本题考查了一次函数、
38、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键 25. 如图，已知抛物线240yaxbxa的图像经过点 A（4，0） 、B（1，0）交y轴于点 C （1）求抛物线的解析式 （2）过点 C作 CD平行于x轴，交抛物线于点 D，点 P 为抛物线上的一动点（点 P 在 CD上方） ，作 PE平行于y轴，交 AC于点 E，问当点 P在何位置时，四边形 PDEC 的面积最大？并求出最大面积 （3）设点 M为抛物线对称轴l上一点，N为抛物线上一点，是否存在这样的点 M、N，使直线 AC垂直平分MN，若存在，求点 N的坐标，若不存在，说明理由 【答案】 （1）234yxx （2）当点P在点()2,6处时
39、，四边形PDEC的面积最大，最大面积为 6 （3）存在，点N的坐标为315 5(, )22 或315 5(, )22 【解析】 【分析】 （1）根据点,A B的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先根据抛物线的解析式求出点,C D的坐标，从而可得CD的长，再利用待定系数法求出直线AC的解析式， 设点P的坐标为2( ,34)( 30)P tttt ， 从而可得点E的坐标为( ,4)E t t ，24PEtt ，然后根据四边形PDEC的面积等于12CD PE可得面积与t的函数关系式， 利用二次函数的性质求解即可得； （3）设点M的坐标为3(,)2Mm，先利用待定系数法可得直线MN的函数解析式为32
40、yxm ，再与直线AC的解析式联立可得线段MN的中点坐标，从而可得点N的坐标，然后将点N的坐标代入抛物线的解析式求出m的值，由此即可得出答案 【小问 1 详解】 解：将( 4,0),(1,0)AB代入24yaxbx得：16 4 + 4 = 0 + + 4 = 0， 解得13ab ， 则抛物线的解析式为234yxx 【小问 2 详解】 解：对于二次函数234yxx ， 当0 x时，4y ，即(0,4)C， CDxQP轴， 点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，即为 4， 当4y 时，2344xx，解得3x 或0 x（此时点D与点C重合，舍去） ， ( 3,4),3DCD， 设直线AC的函数解析式为yk
41、xc， 将点( 4,0),(0,4)AC代入得：404kcc，解得14kc， 则直线AC的函数解析式为4yx， CDxQP轴，PEyP轴，x轴y轴， CDPE， 设点P的坐标为2( ,34)( 30)P tttt ，则点E的坐标为( ,4)E t t ， 2234(4)4PEttttt ， 则四边形PDEC的面积为221133(42)622)2CDtEttP， 由二次函数性质得：在30t 内，当2t 时，四边形PDEC的面积最大，最大面积为 6， 此时2234( 2)3 ( 2)46tt ， 故当点P在点()2,6处时，四边形PDEC的面积最大，最大面积为 6 【小问 3 详解】 解：由（2）
42、已得：直线AC的函数解析式为4yx， 则设直线MN的函数解析式为0yxc ， 二次函数234yxx 的对称轴为直线32x ， 则设点M的坐标为3(,)2Mm， 将点3(,)2Mm代入0yxc 得：032cm，解得032cm， 则直线MN的函数解析式为32yxm ， 联立324yxmyx ，解得2114254mxmy， 即直线MN与直线AC的交点为211 25(,)44mm， Q直线AC垂直平分MN， 点211 25(,)44mm为MN的中点， 点N的坐标为5(4, )2N m， 将点5(4, )2N m代入234yxx 得：25(4)3(4)42mm， 解得5152m或5152m， 则5153154422m 或5153154422m ， 故存在这样的点M、N， 使直线AC垂直平分MN， 此时点N的坐标为315 5(, )22 或315 5(, )22 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键
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