1、江苏省镇江市句容市江苏省镇江市句容市 20212021- -20222022 学年九年级上期中数学试题学年九年级上期中数学试题 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 2 分，共分，共 24 分 ）分 ） 1. 小明在解一元二次方程22xx时只得到一个根2x ，则被他漏掉的一个根是x=_ 2. 若 1 是关于 x的一元二次方程 x23kx100 的一个根，则 k_ 3. 已知O的半径为 5cm，OP= 4cm，则点 P 与O的位置关系是点 P 在_ （填“圆内”、“圆外”或“圆上”） 4. 如图，在O中，ABC=40 ，则AOC=_ 5. 如图，四边形 ABCD是O 的内接四边形，A=65，求B
2、CD=_ 6. 若关于 x 的一元二次方程 x22xk0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为_ 7. 三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x26x+80 的解，则此三角形的周长是_ 8. 如图，AB 为O直径，CD 为O的弦，ACD=42 ，则BAD=_ 9. 如图，AB 是O 的弦，点 C 在过点 B的切线上，且 OCOA，OC交 AB于点 P，已知OAB=20，则OCB=_ 10. 已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥的侧面展开图的面积是_ 11 已知，实数 a满足11a a，则2120211aa=_ 12. 小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定
3、理“中线长定理”：在 ABC中，若 O为BC 边的中点，则必有：AB2AC22AO22BO2成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG中，已知 DE4，EF3，点 P在以 DE 为直径的半圆上运动，则22PFPG的最小值为_ 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分 ）分 ） 13. 一元二次方程 x2+3x+4=0的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 14. 用配方法解方程2250 xx时，原方程应变形为（ ） A. 216x B. 216x
4、C. 229x D. 229x 15. 疫情期间， 某口罩厂一月份的产量为 50万只， 由于市场需求量不断增大， 三月份的产量提高到 72万只，设该厂二、三月份的月平均增长率为 x，则下列方程正确的是（ ） A. 250 172x B. 50 1 272x C. 272 150 x D. 72 1 250 x 16. 如图，在O中，半径 r10，弦 AB12，M是弦 AB 上的动点，则线段 OM 长的最小值是（ ） A. 10 B. 16 C. 6 D. 8 17. 如图，一把直尺，60 的直角三角板和一个量角器如图摆放，A为 60 角与刻度尺交点，刻度尺上数字为4，点 B为量角器与刻度尺的接
5、触点，刻度为 7，则该量角器的直径是（ ） A. 3 B. 3 3 C. 6 D. 6 3 18. 如图，将边长为 6个单位的正方形 ABCD沿其对角线 BD剪开，再把 ABD 沿着 DC 方向平移，得到 ABD，当两个三角形重叠部分的面积为 4个平方单位时，它移动的距离 DD等于（ ） A. 2 B. 35 C. 35 D. 3 5 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 9 题，共题，共 78 分 ）分 ） 19. 解下列方程 （1）2410 xx （配方法） （2）223(1)xx（公式法） （3）2(3)214xx （4）(21)(3)6xx 20. 已知关于x的方程2210 x
6、kx （1）小明同学说：“无论k为何实数，方程总有实数根”你认为他说有道理吗？ （2）若方程一个根是1，求另一根及k的值 21. 已知关于 x 的方程20( ,xpxqp q为常数）有两个实数根12,x x. （1）若2,8pq ，则24pq的值是 ，方程的解是 ； （2）若123,2xx ，求24pq的值； （3）用含12,x x的代数式表示24pq，下列结论中正确的是（ ） A. 22124()pqxx B. 221 24()pqx x C. 22124()pqxx D. 22121 24()pqxxx x 22. 在O中，弦CD与直径AB相交于点 P （1）若62ABC，100APC，则
7、BAD= ；CDB= ； （2）若AD的度数为 m度、BC的度数为 n度，猜想：APD的度数与 m、n之间的数量关系，并证明你的结论 23. 如图，在平面直角坐标系中，过格点 A、B、C作一圆弧AC （1）AC所在圆的圆心 M 的坐标为 ； （2）求扇形 MAC的面积 （结果保留 ） 24. 某学校有一长方形空地 ABCD，长 80 米，宽 40米，计划在这块空地上划出如图所示宽度相等的 E形区域栽种花圃，已知栽种花圃区域的面积为 1700平方米，求该花圃的宽度 x 25. 如图，已知 AB是P的直径，点C在P 上，D为P外一点，且ADC90 ，2BDAB180 （1）试说明：直线CD为P的切
8、线 （2）若B30 ，AD2，求 CD 的长 26. 尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为 15 元，促销前销售单价为 25 元，平均每天能售出 80 件；根据市场调查，销售单价每降低 0.5 元，平均每天可多售出 20件 （1）若每件商品降价 5 元，则商店每天的平均销量是_件（直接填写结果） ； （2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到 1280 元，每件商品的定价应为多少元？ （3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售 200 件该商品，求商品的销售单价 27. 【提出问题】如图，已知直线 l与O 相
9、离，在O 上找一点 M，使点 M 到直线 l的距离最短 （1）小明给出下列解答，请你补全小明的解答 小明的解答 过点 O作 ONl，垂足为 N，ON 与O的交点 M即为所求，此时线段 MN最短 理由：不妨在O上另外任取一点 P，过点 P作 PQl，垂足为 Q，连接 OP，OQ OP+PQOQ，OQON， 又 ONOM+MN； OP+PQOM+MN 又 ， （2） 【操作实践】如图，已知直线 l和直线外一点 A，线段 MN长度为 1请用直尺和圆规作出满足条件的某一个O，使O经过点 A，且O上的点到直线 l的距离的最小值为 1 （不写作法，保留作图痕迹并用水笔加黑描粗） （3） 【应用尝试】如图，
10、在 RtABC中，C90，B30，AB8，O经过点 A，且O上的点到直线 BC 的距离的最小值为 2， 距离最小值为 2 时所对应的O上的点记为点 P， 若点 P 在ABC的内部 （不包括边界） ，则O 的半径 r 的取值范围是 江苏省镇江市句容市江苏省镇江市句容市 20212021- -20222022 学年九年级上期中数学试题学年九年级上期中数学试题 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 2 分，共分，共 24 分 ）分 ） 1. 小明在解一元二次方程22xx时只得到一个根2x ，则被他漏掉的一个根是x=_ 【答案】0 【解析】 【详解】试题分析：2x2x=0 x(x2)=0 则120,2
11、xx 考点：一元二次方程 2. 若 1 是关于 x的一元二次方程 x23kx100 的一个根，则 k_ 【答案】3 【解析】 【分析】把1x 代入原方程即可得到答案. 【详解】解：Q 1 是关于 x的一元二次方程 x23kx100 的一个根， 1 3100,k+-= 39,k= 解得：3,k 故答案为：3. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，掌握“一元二次方程的解的含义”是解本题的关键. 3. 已知O的半径为 5cm，OP= 4cm，则点 P 与O的位置关系是点 P 在_ （填“圆内”、“圆外”或“圆上”） 【答案】圆内 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系进行解答即可得 【详解】
12、解：点到圆心的距离 d=45=r， 该点 P 在Oe内， 故答案为：圆内 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟记点与圆的位置关系 4. 如图，在O中，ABC=40 ，则AOC=_ 【答案】80 【解析】 【分析】根据圆周角定理有ABC=12AOC=40 ，即可求出AOC 【详解】解：ABC=12AOC， AOC=2ABC， 而ABC=40 ， AOC=2 40 =80 故答案为：80 【点睛】本题考查了圆周角定理在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半 5. 如图，四边形 ABCD是O 的内接四边形，A=65，求BCD=_ 【答案】11
13、5 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得出A+BCD=180，代入求出即可 【详解】解：四边形 ABCD 是O的内接四边形， A+BCD=180， A=65， BCD=115， 故答案为：115 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质的应用，能根据性质得出A+DCB=180是解此题的关键 6. 若关于 x 的一元二次方程 x22xk0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为_ 【答案】1k 【解析】 【分析】根据当0时，方程有两个不相等的两个实数根可得4+4k0，再解即可 【详解】解：关于 x 的一元二次方程 x22xk0， 4+4k0， 解得：k-1 故答案为：k-1 【点睛】 本题考
14、查的是根的判别式， 根据方程的根列不等式， 解不等式， 即一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0）中，当0时，方程有两个不相等的两个实数根 7. 三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x26x+80 的解，则此三角形的周长是_ 【答案】13 【解析】 【分析】先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可 【详解】解：x26x+80， (x2)(x4)0， x20，x40， x12，x24， 当 x2时，2+36，不符合三角形的三边关系定理，所以 x2舍去， 当 x4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是 3+6+413， 故答案为：
15、13 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法是解法本题的关键 8. 如图，AB 为O的直径，CD 为O的弦，ACD=42 ，则BAD=_ 【答案】48 【解析】 【详解】连接 BD，AB直径，ADB=90 ， 由同弧所对的角相等DBA=DCA=42 ， BAD=180 -90 -42 =48 考点：圆周角 9. 如图，AB 是O 的弦，点 C 在过点 B的切线上，且 OCOA，OC交 AB于点 P，已知OAB=20，则OCB=_ 【答案】40#40度 【解析】 【分析】 连接
16、 OB， 根据 OB 是Oe的切线得90OBACBP， 根据OCOA得90AAPO ，根据OAOB，20OAB?得20OABOBA，根据三角形内角和定理求出140AOB，则50POB，即可得 【详解】解：连接 OB， OB是Oe的切线， OBBC， 90OBCOBACBP， OCOA， 90AAPO ， OAOB，20OAB?， 20OABOBA， 1801802020140AOBOABOBA, 1401409050POBPOA， 180180509040OCBCOBOBC， 故答案为：40 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握切线的性质 10.
17、已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥的侧面展开图的面积是_ 【答案】15 【解析】 【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=底面半径 母线长 【详解】圆锥的底面半径是 3，高是 4， 圆锥的母线长为 5， 这个圆锥的侧面展开图的面积是 3 5=15. 故答案为:15. 【点睛】考查圆锥侧面展开图的面积，掌握圆锥侧面展开图面积的计算公式是解题的关键. 11. 已知，实数 a满足11a a，则2120211aa=_ 【答案】-2020 【解析】 【分析】根据题意得：0a ，从而得到11aa ，21aa ，进而得到11aa ，再代入即可求解 【详解】解：根据题意得：0a ， 11a
18、 a ， 11aa ，21aa ， 11aa ， 221202120211202120201aaaa 故答案为：-2020 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，根据题意得到11aa 是解题的关键 12. 小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理“中线长定理”：在ABC中，若 O为BC 边的中点，则必有：AB2AC22AO22BO2成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG中，已知 DE4，EF3，点 P在以 DE 为直径的半圆上运动，则22PFPG的最小值为_ 【答案】10 【解析】 【分析】 根据矩形的性质得4GFDE，3MNEF， 即2MP ，1NP， 即可
19、得2210PFPG 【详解】解：如图，设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FC的中点，连接 MN交半圆于点 P，此时 PN取最小值， DE=4，四边形 DEFG 为矩形， 4GFDE，3MNEF， 122MPFNDE， 1NPMNMPEFMP， 222222222 12 210PFPGPNFN ， 故答案为：10 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形三条边的关系，中线长定理，解题的关键是掌握中线长定理 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分 ）分 ） 13. 一元二次方程 x2+3x+4=0的根的情况是（ ） A. 没有实数根
20、 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先求出“”的值，再判断即可 【详解】解：x2+3x+4=0， =324 1 4=-70， 方程没有实数根， 故选 A 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键 14. 用配方法解方程2250 xx时，原方程应变形为（ ） A. 216x B. 216x C. 229x D. 229x 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式 【详解】解：
21、2250 xx 移项得：225xx 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：2215 1xx 配方得：216x 故选：B 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤配方法的步骤：配方法的一般步骤为： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 15. 疫情期间， 某口罩厂一月份的产量为 50万只， 由于市场需求量不断增大， 三月份的产量提高到 72万只，设该厂二、三月份的月平均增长率为 x，则下列方程正确的是（ ） A. 250 172x B. 50 1 272x C. 272 1
22、50 x D. 72 1 250 x 【答案】A 【解析】 【分析】根据一月份的产量（1+平均增长率）=三月份的产量，即可列出方程 【详解】由题意得250 172x 故选 A 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中相等关系列出方程 16. 如图，在O中，半径 r10，弦 AB12，M是弦 AB 上的动点，则线段 OM 长的最小值是（ ） A. 10 B. 16 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】过点 C 作 OCAB 于点 C，连接 OB，根据垂径定理可得162BCAB ，再由勾股定理，即可求解 【详解】解：如图，过点 C作 OCAB
23、于点 C，连接 OB， 162BCAB ， O的半径 r10， OB=10， 228OCOBBC ， 根据垂线段最短可得当点 M 与点 C 重合时，OM 最小，最小值为 8 故选：D 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握垂径定理，勾股定理，垂线段最短是解题的关键 17. 如图，一把直尺，60 的直角三角板和一个量角器如图摆放，A为 60 角与刻度尺交点，刻度尺上数字为4，点 B为量角器与刻度尺的接触点，刻度为 7，则该量角器的直径是（ ） A. 3 B. 3 3 C. 6 D. 6 3 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接 OA，OB，OC，利用切线定理可知A
24、OC 与AOB 为直角三角形，进而可证明RtAOCRtAOB，根据三角板的角度可算出OAB的度数，借助三角函数求出 OB的长度 【详解】解：如图所示，连接 OA，OB，OC， 三角板的顶角为 60， CAB=120， AC，AB，与扇形分别交于一点， AC，AB 是扇形 O所在圆的切线， OCAC，OBAB， 在 RtAOC 与 RtAOB中， OCOBOAOA同圆的半径相等 RtAOCRtAOB， OAC=OAB=60， 由题可知 AB=74=3， OB=ABtan60=3 3 ， 直径为2 3 3=6 3， 故选：D 【点睛】本题考查，圆的切线定理，全等三角形的判定，三角函数，在图中构造适
25、合的辅助线是解决本题的关键 18. 如图， 将边长为6个单位的正方形ABCD沿其对角线BD剪开， 再把ABD沿着DC方向平移， 得到ABD，当两个三角形重叠部分的面积为 4个平方单位时，它移动的距离 DD等于（ ） A. 2 B. 35 C. 35 D. 3 5 【答案】B 【解析】 【分析】先判断重叠部分的形状，然后设 DD=x，进而表示 DC 等相关的线段，最后通过重叠部分的面积列出方程求出 x的值即可得到答案 【详解】解：四边形 ABCD 是正方形， ABD和BCD 是等腰直角三角形， 如图，记 AD与 BD的交点为点 E，BD与 BC 的交点为 F， 由平移性质得，DDE 和DCF为等
26、腰直角三角形， 重叠部分的四边形 DEBF 为平行四边形， 设 DD=x，则 DC=6-x，DE=x， SDEBF=DEDC=（6-x）x=4， 解得：x=3+5或 x=3-5， 故选：B 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平移的性质，通过平移的性质得到重叠部分四边形的形状是解题的关键 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 9 题，共题，共 78 分 ）分 ） 19. 解下列方程 （1）2410 xx （配方法） （2）223(1)xx（公式法） （3）2(3)214xx （4）(21)(3)6xx 【答案】 （1）1223,23xx （2）12333333,44x
27、x （3）125,1xx （4）123,12xx 【解析】 【分析】 （1）将方程进行移项配方得2(2)3x，开方计算即可得； （2）将方程移项得22330 xx，则2a，3b，3c ，进行解答即可得； （3）将方程进行去括号移项得2450 xx，再因式分解得(5)(1)0 xx，即可得； （4）将方程进行去括号移项得22530 xx，再因式分解得(23)(1)0 xx，即可得 【小问 1 详解】 解：2410 xx 241xx ， 24414xx 2(2)3x 23x 123x ，223x 【小问 2 详解】 解：223(1)xx 22330 xx 2a，3b，3c 2494 2 ( 3)3
28、3bac 2433324bbacxa 13334x，23334x 【小问 3 详解】 解：2(3)214xx 2450 xx (5)(1)0 xx 15x ，21x 【小问 4 详解】 解：2136xx 22530 xx (23)(1)0 xx 132x ，21x 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法 20. 已知关于x的方程2210 xkx （1）小明同学说：“无论k为何实数，方程总有实数根”你认为他说的有道理吗？ （2）若方程的一个根是1，求另一根及k的值 【答案】 （1）有，理由见解析 （2）方程另一根的值为12，k 的值为 1 【解析】 【分析】 （1）
29、由222=44 2 ( 1)80backk V可知无论k为何实数，方程总有实数根； （2）将11x 代入方程求出 k的值，然后根据122kxx 求解方程的另一根即可 【小问 1 详解】 解：有道理，理由如下 222=44 2 ( 1)80backk V 无论k为何实数，方程总有实数根 【小问 2 详解】 解：将11x 代入方程得221110k 解得1k 12122kxx 212x 另一根的值为12，k 的值为 1 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别， 根与系数之间的关系解题的关键在于熟练掌握判根公式，两根之和与系数的关系 21. 已知关于 x 的方程20( ,xpxqp q为常数）有两
30、个实数根12,x x. （1）若2,8pq ，则24pq的值是 ，方程的解是 ； （2）若123,2xx ，求24pq的值； （3）用含12,x x的代数式表示24pq，下列结论中正确的是（ ） A. 22124()pqxx B. 221 24()pqx x C. 22124()pqxx D. 22121 24()pqxxx x 【答案】 （1）36，124,2xx （2）25 （3）C 【解析】 【分析】 （1）先把2,8pq ，代入24pq，可得2436pq，再代入原方程，再利用因式分解法，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，
31、再利用完全平方公式的变形，即可求解 【小问 1 详解】 解：2,8pq ， 22424836pq ， 方程为2280 xx， 420 xx ， 解得：124,2xx ； 【小问 2 详解】 解：关于 x的方程20( ,xpxqp q为常数）有两个实数根12,x x， 1212,xxp xxq ， 123,2xx ， 32 ,32pq ， 1,6pq ， 22414625pq ； 【小问 3 详解】 解：关于 x的方程20( ,xpxqp q为常数）有两个实数根12,x x， 1212,xxp xxq ， 222222221212112212112212444242pqpqxxxxxxxxxxx
32、xxxxx 故选：C 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和一元二次方程根与系数的关系是解题的关键 22. 在O中，弦CD与直径AB相交于点 P （1）若62ABC，100APC，则BAD= ；CDB= ； （2）若AD的度数为 m度、BC的度数为 n度，猜想：APD的度数与 m、n之间的数量关系，并证明你的结论 【答案】 （1）=38BAD，=28CDB （2）1)2APDmn（，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据三角形外角的性质可得BCD=38，再根据圆周角定理可得=38BAD，然后由直径所对的圆周角为直角可得ABD=52，即
33、可求解； （2）根据AD的度数为 m度、BC的度数为 n 度，可得11=22ABDmCDBn，再根据三角形外角的性质，即可求解 小问 1 详解】 解：62ABC，100APC， BCD=APC-ABC=38， BAD=BCD， =38BAD， AB 为直径， ADB=90， ABD=90-BAD=52， BPD=APC=100， CDB=180-ABD-BPD=28； 【小问 2 详解】 解：1)2APDmn（，理由如下： 证明：AD的度数为 m度、BC的度数为 n 度， 11=22ABDmCDBn， APDABDCDB ， 1)2APDmn（ 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周
34、角为直角，三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质是解题的关键 23. 如图，在平面直角坐标系中，过格点 A、B、C作一圆弧AC （1）AC所在圆的圆心 M 的坐标为 ； （2）求扇形 MAC的面积 （结果保留 ） 【答案】 （1）M（2，1） （2）52 【解析】 【分析】 （1）根据垂径定理推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦 AB和 BC 的垂直平分线，交点即为圆心； （2）根据扇形的面积公式，即可求得 【小问 1 详解】 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦 AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心 如图所示，则圆心是（2，1） ；
35、 故答案为： （2，1） 【小问 2 详解】 连接 MA、MC，如图所示： 23110MAMC . 由作图知，AMC=90， 所以扇形 PAC的面积为：290 ( 10)53602 【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理，正确确定圆心是解题的关键 24. 某学校有一长方形空地 ABCD，长 80 米，宽 40米，计划在这块空地上划出如图所示宽度相等的 E形区域栽种花圃，已知栽种花圃区域的面积为 1700平方米，求该花圃的宽度 x 【答案】该花带宽度为 10米 【解析】 【分析】由 S阴影=S矩形ABCD-S空白列出方程，解方程即可求出宽度 x 【详解】解：根据题意得： （803x） （4
36、0 x）80 40-1700 化简得：3220017000 xx 解之得10 x 或1703x （舍去） x40， 1703x （不符合题意，舍去） ， 答：该花带的宽度为 10 米 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据“S阴影=S矩形ABCD-S空白”列出方程是解决问题的关键 25. 如图，已知 AB是P的直径，点C在P 上，D为P外一点，且ADC90 ，2BDAB180 （1）试说明：直线CD为P的切线 （2）若B30 ，AD2，求 CD 的长 【答案】 （1）见解析 （2）2 3 【解析】 【分析】 （1）连接 PC，则APC2B，可证 PCDA，证得 PCCD，则结论得证； （2
37、）连接 AC，根据B=30 ，等腰三角形外角性质CPA=2B=60 ，再证APC为等边三角形，可求DCA=90 -ACP=90 -60 =30 ，AD2，ADC90 ，利用 30 直角三角形性质得出 AC=2AD=4，然后根据勾股定理 CD=2222422 3ACAD即可 【小问 1 详解】 连接 PC， PCPB， BPCB， APC2B， 2B+DAB180 ， DAP+APC180 ， PCDA， ADC90 ， DCP90 ， 即 DCCP， 直线 CD为P的切线； 【小问 2 详解】 连接 AC， B=30 ， CPA=2B=60 ， AP=CP，CPA=60 ， APC为等边三角形
38、， DCP=90 ， DCA=90 -ACP=90 -60 =30 ， AD2，ADC90 ， AC=2AD=4， CD=2222422 3ACAD 【点睛】本题考查切线的判定、平行线判定与性质，勾股定理、等腰三角形性质，外角性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题 26. 尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为 15 元，促销前销售单价为 25 元，平均每天能售出 80 件；根据市场调查，销售单价每降低 0.5 元，平均每天可多售出 20件 （1）若每件商品降价 5 元，则商店每天的平均销量是_件（直接填写
39、结果） ； （2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到 1280 元，每件商品的定价应为多少元？ （3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售 200 件该商品，求商品的销售单价 【答案】 （1）280； （2）23 元或 19 元； （3）19 元 【解析】 【分析】 （1）根据每天的平均销售量=80+降低的价格 0.5 20，即可求出结论； （2）设每件商品降价 x 元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，根据每天的总利润=销售每件商品的利润 平均每天的销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）由（2）的结论结合平均每天至少要销
40、售 200件该商品，可确定 x 的值，再将其代入（25-x）中即可求出结论 【详解】解： （1）80+5 0.5 20=280（件） 故答案为：280 （2） 设每件商品降价 x 元， 则销售每件商品的利润为 （25-15-x） 元， 平均每天可售出 80+0.5x 20= （40 x+80）件， 依题意，得： （25-15-x） （40 x+80）=1280， 整理，得：x2-8x+12=0， 解得：x1=2，x2=6， 25-x=23 或 19 答：每件商品的定价应为 23 元或 19元 （3）当 x=2时，40 x+80=160200，不合题意，舍去； 当 x=6时，40 x+80=32
41、0200，符合题意， 25-x=19 答：商品的销售单价为 19元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-利润问题，读懂题意，根据商品降价表示出商品销售件数从而列出方程是解题关键 27. 【提出问题】如图，已知直线 l与O 相离，在O 上找一点 M，使点 M 到直线 l的距离最短 （1）小明给出下列解答，请你补全小明的解答 小明的解答 过点 O作 ONl，垂足为 N，ON 与O的交点 M即为所求，此时线段 MN最短 理由：不妨在O上另外任取一点 P，过点 P作 PQl，垂足为 Q，连接 OP，OQ OP+PQOQ，OQON， 又 ONOM+MN； OP+PQOM+MN 又 ， （2） 【操作实
42、践】如图，已知直线 l和直线外一点 A，线段 MN 的长度为 1请用直尺和圆规作出满足条件的某一个O，使O经过点 A，且O上的点到直线 l的距离的最小值为 1 （不写作法，保留作图痕迹并用水笔加黑描粗） （3） 【应用尝试】如图，在 RtABC中，C90，B30，AB8，O经过点 A，且O上的点到直线 BC 的距离的最小值为 2， 距离最小值为 2 时所对应的O上的点记为点 P， 若点 P 在ABC的内部 （不包括边界） ，则O 的半径 r 的取值范围是 【答案】 （1）OP+PQON； OPOM；PQMN （2）见解析 （3）1r4 【解析】 【分析】 （1）利用两点之间线段最短解答即可；
43、（2）过点 A作 l的线 AB，截取 BC=MN，以 AC 为直径作O； （3）作 AC的垂直平分线，交 AC 于 F，交 AB于 E，以 AF 为直径作圆，过点 A 和点 E 作O，使O切EF 于 E，求出O 和O的半径，从而求出半径 r的范围 【小问 1 详解】 理由：不妨在O上另外任取一点 P，过点 P作 PQl，垂足为 Q，连接 OP，OQ OP+PQOQ，OQON， OP+PQON 又 ON=OM+MN； OP+PQOM+MN 又 OP=OM， PQMN 故答案为：OP+PQON， OP=OM，PQMN； 【小问 2 详解】 解：如图， O 是求作的图形； 【小问 3 详解】 （3）如图 2， 作 AC的垂直平分线，交 AC于 F，交 AB 于 E，以 AF 为直径作圆，过点 A 和点 E 作O，使O切 EF于E， FEO=AFE=90 ， AFEO， AEO=BAC=60 ， AO=EO， ADO是等边三角形， AE=AO， AB=8，B=30 ， AC=12AB=4， AF=2， O的半径是 1， AE=12AB=4， 1r4， 故答案是：1r4 【点睛】本题考查了与圆的有关位置，等边三角形判定和性质，尺规作图等知识，解决问题的关键是找出临界位置，作出图形
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