1、2021 年广西桂林市、崇左市高考年广西桂林市、崇左市高考二模二模数学联考试卷（文科）数学联考试卷（文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 A1，0，1，2，Bx|x2x，则 AB（ ） A0 B1 C0，1 D0，1，2 2复数 z的模为（ ） A1 B C D2 3已知 f（x），则 f（f（3）（ ） A1 B1 C2 D2 4若 sin+cos，则 sin2（ ） A1 B1 C D 5已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F（2，0），且其离心率为，则 C 的方程为（ ） A B C D 6已知数列an为等差数列，Sn是其前 n 项和，且 a3+a
2、5+a790，则 S9（ ） A200 B270 C250 D150 7函数 f（x）exax 在 x0 处的切线与直线 axy10 平行，则实数 a（ ） A1 B1 C D 8聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： 2，3，4，5 则按照以上规律，若 8具有“穿墙术”，则 n（ ） A7 B35 C48 D63 9 若圆 C： （x2）2+ （y1）24 恰好被直线 l： ax+by1 （a0， b0） 平分， 则+的最小值为 （ ） A8 B6 C8 D6 10函数的图象大致为（ ） A B
3、 C D 11已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12，an+1Sn，若 an（0，2020），则称项 an为“和谐项”，则数列an的所有“和谐项”的平方和为（ ） A B C D 12已知 F1，F2为双曲线 E：1（a0，b0）的左、右焦点，点 A 为双曲线 E 右支上一点，G为AF1F2的内心，若 G 到 y 轴的距离为 2b，且，则 （ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13已知向量 （2，3）， （m4，m+1），若 0，则 m 14设变量 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为 15已知函数 f（x）22sin（x+）（0，0）为
4、奇函数，且曲线 yf（x）相邻两对称轴之间的距离为，则 f（） 16已知函数 f（x）x（2lnxa）+1 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作题为必考题，每个试题考生都必须作答。第答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分分 17已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 （1）求角 A 的大小； （2）若 a2，且 SABC2，求AB
5、C 的周长 18已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G 分别为 AB，BC，CC1的中点 （1）证明：A1C1平面 EFG； （2）求三棱锥 A1EFG 的体积 19为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措某市城管委对所在城市约 6000 个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、玩具、饰品、果蔬等，各类商贩所占比例如图 （1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩中随机抽取 100 家进行政策问询如果按照分层抽样的方式抽取，请问果蔬类、小吃类商贩各抽取多少家？ （2）为了更好的了解商贩的收入情况，工作人员对某果蔬商贩最近
6、50 天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图所示： （） 请根据频率分布直方图估计该果蔬商贩的日平均收入 （同一组中的数据用该组区间的中间值代替） ； （）若从该果蔬商贩这 50 天中日收入不低于 250 元的天数中随机抽取 2 天，求这 2 天的日收入至少有一天不低于 300 元的概率 20已知函数 f（x）+a（x1） （1）若 a0，求 f（x）的单调区间； （2）若 g（x）xf（x），且对任意的 x1，+）有 g（x）0，求 a 的取值范围 21已知抛物线 E：y24x 的焦点为 F，准线为 l，O 为坐标原点，过 F 的直线 m 与抛物线 E 交于 A、B 两点，
7、过 F 且与直线 m 垂直的直线 n 与准线 l 交于点 M （1）若直线 m 的斜率为，求的值； （2）设 AB 的中点为 N，若 O、M、N、F 四点共圆，求直线 m 的方程 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选选修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的极坐标方程为 2cos，若极坐标系内异于 O 的三点 A（1，），B（2，+），
8、C（3，） （1，2，30）都在曲线 M 上 （1）求证：2+3； （2）若过 B，C 两点直线的参数方程为（t 为参数），求四边形 OBAC 的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知实数 a，b，c，满足 a+b+c1 （1）若 a，bR+，c0，求证：（a+）2+（b+）2； （2）设 abc，a2+b2+c21，求证：a+b1 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 A1，0，1，2，Bx|x2x，则 AB（ ） A0 B1 C0，1 D0，1，2 解：集合 A1，0，1，2， Bx|x2x0，1， AB0，1 故选：C 2复数
9、 z的模为（ ） A1 B C D2 解：z1+i， 故|z|， 故选：B 3已知 f（x），则 f（f（3）（ ） A1 B1 C2 D2 解：根据题意，f（x）， 则 f（3）log242， f（f（3）f（2）231， 故选：B 4若 sin+cos，则 sin2（ ） A1 B1 C D 解：sin+cos，平方可得 1+2sincos1+sin22， 则 sin21， 故选：A 5已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F（2，0），且其离心率为，则 C 的方程为（ ） A B C D 解：中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F（2，0），且其离心率为， 所以 c2，a4，所以
10、b， 所以椭圆方程为： 故选：A 6已知数列an为等差数列，Sn是其前 n 项和，且 a3+a5+a790，则 S9（ ） A200 B270 C250 D150 解：因为等差数列an中，a3+a5+a73a590， 所以 a530，则 S99a5270 故选：B 7函数 f（x）exax 在 x0 处的切线与直线 axy10 平行，则实数 a（ ） A1 B1 C D 解：函数 f（x）exax 的导数为 f（x）exa， 可得在 x0 处的切线的斜率为 1a， 由切线与直线 axy10 平行，可得 1aa， 解得 a， 故选：C 8聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得
11、诀自诩无所阻，额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： 2，3，4，5 则按照以上规律，若 8具有“穿墙术”，则 n（ ） A7 B35 C48 D63 【解答】 解 22， 33， 44，55 则按照以上规律 8，可得 n82163， 故选：D 9 若圆 C： （x2）2+ （y1）24 恰好被直线 l： ax+by1 （a0， b0） 平分， 则+的最小值为 （ ） A8 B6 C8 D6 解：因为直线 l：ax+by1 平分圆 C：（x2）2+（y1）24， 所以圆心 C（2，1）在直线 l 上，则有 2a+b1， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以则的最小值为
12、 8 故选：C 10函数的图象大致为（ ） A B C D 解： 根据题意， 则 f （x） sin （x） ln （+x） sinxln （x）f（x）， 即函数 f（x）为偶函数，排除 A、B， sinxln（），在区间（0，）上，sinx0，ln（）0，则 f（x）0，排除 D； 故选：C 11已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12，an+1Sn，若 an（0，2020），则称项 an为“和谐项”，则数列an的所有“和谐项”的平方和为（ ） A B C D 解：因为 an+1Sn，所以 anSn1（n2），则 an+1anSnSn1，即 an+1anan，an+12an， 所以，
13、因为 a12，所以 a2S1a12， 故 ， 因为 an（0，2020），所以 1n11， 于是数列an 的所有“和谐项“的平方和为： ， 故选：A 12已知 F1，F2为双曲线 E：1（a0，b0）的左、右焦点，点 A 为双曲线 E 右支上一点，G为AF1F2的内心，若 G 到 y 轴的距离为 2b，且，则 （ ） A B C D 解：设AF1F2的内切圆的半径 r， 由， 可得r|AF1|r|AF2|+r|F2F1|， 即为|AF1|AF2|+|F2F1|， 即为|AF1|AF2|F2F1|， 由点 P 为双曲线右支上一点， 由定义可得 2a2c， 即 ac， 由 e， 若 G 到 y 轴
14、的距离为 2b， 可得 a2b， 即 e，则 ， 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13已知向量 （2，3）， （m4，m+1），若 0，则 m 1 解：向量 （2，3）， （m4，m+1）， 0， 可得 2（m4）+3（m+1）0，解得 m1 故答案为：1 14设变量 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为 11 解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得 A（3，5）， 由 z2x+y，得 y2x+z，由图可知，当直线 y2x+z 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 23+511 故答案为：11 1
15、5已知函数 f（x）22sin（x+）（0，0）为奇函数，且曲线 yf（x）相邻两对称轴之间的距离为，则 f（） 11 【解答】由函数 f（x）22sin（x+）为奇函数，所以 f（0）22sin（）0， 即 sin（）0，所以 k，kZ， 解得 k+，kZ， 又 0，所以 ， 又曲线 yf（x）相邻两对称轴之间的距离为，所以， 解得 T，所以 2， 所以 f（x）22sin2x， 所以 f（）22sin（2）22sin11 故答案为：11 16已知函数 f（x）x（2lnxa）+1 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 （22ln2，+） 解：函数 f（x）x（2lnxa）+1， 即为
16、 ya 与 g（x）2lnx+有两个不同的交点， g（x）， 0时，g（x）0，函数 g（x）递减， x时，g（x）0，函数 g（x）递增， g（x）ming（）2ln+222ln2， ya 与 g（x）2lnx+有两个不同的交点时，需 a22ln2， 故答案为：（22ln2，+） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作题为必考题，每个试题考生都必须作答。第答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分分
17、 17已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 （1）求角 A 的大小； （2）若 a2，且 SABC2，求ABC 的周长 解：（1）由， 利用正弦定理可得：（a+c）（ca）b（cb）， 化为：c2+b2a2bc， cosA， A（0，）， A （2）a2，且 SABC2， c2+b2bc，bcsin2， 化为：（b+c）23bc+1238+1236， 解得 b+c6， ABC 的周长b+c+a6+2 18已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G 分别为 AB，BC，CC1的中点 （1）证明：A1C1平面 EFG； （2）求三棱锥 A1EFG 的体积
18、【解答】（1）证明：由正方体的性质可知 A1C1AC， 因为 E，F 分别为 AB，BC 的中点，所以 ACEF， 所以 A1C1EF，A1C1平面 EFG，EF平面 EFG， 所以 A1C1平面 EFG； （2）解：以点 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 E（2，1，0），F（1，2，0），G（0，2，1），A1（2，0，2）， 设平面 EFG 的一个法向量为， 而， 所以，不妨令 x1，则 y1，z1， 所以 （1，1，1）， 所以 A1到平面 EFG 的距离为 d1， 点 G 到 EF 的距离为 d2， 所以三棱锥 A1EFG 的体积 19为了更好地刺激经济复苏，增加就
19、业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措某市城管委对所在城市约 6000 个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、玩具、饰品、果蔬等，各类商贩所占比例如图 （1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩中随机抽取 100 家进行政策问询如果按照分层抽样的方式抽取，请问果蔬类、小吃类商贩各抽取多少家？ （2）为了更好的了解商贩的收入情况，工作人员对某果蔬商贩最近 50 天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图所示： （） 请根据频率分布直方图估计该果蔬商贩的日平均收入 （同一组中的数据用该组区间的中间值代替） ； （）若从该果蔬商贩这 50 天中日收入不低于 2
20、50 元的天数中随机抽取 2 天，求这 2 天的日收入至少有一天不低于 300 元的概率 解：（1）由扇形统计图可知，果蔬类商贩所占比例为 15%，故果蔬类商贩抽取 15%10015 家， 小吃类商贩所占比例为 125%15%10%5%5%40%，故小吃类商贩抽取 40%10040 家； （2）（i）估计该果蔬商贩的日平均收入为：（0.00275+0.0056125+0.0064175+0.004225+0.0012275+0.0008325）50173 元； （ii）日收入不低于 250 元的天数为（0.0012+0.0008）50505 天， 日收入不低于 300 元的天数为 0.0008
21、50502 天， 所以这 2 天的日收入至少有一天不低于 300 元的概率为 20已知函数 f（x）+a（x1） （1）若 a0，求 f（x）的单调区间； （2）若 g（x）xf（x），且对任意的 x1，+）有 g（x）0，求 a 的取值范围 解：（1）a0 时，f（x），则 f（x）（x0）， 令 f（x）0，解得 0 xe，令 f（x）0，解得 xe， 故 f（x）在（0，e）递增，在（e，+）递减； （2）g（x）xf（x）lnx+a（x2x）（x1）， 若 g（x）0 在1，+）上恒成立，即 lnx+a（x2x）0 在1，+）上恒成立， 令 h（x）x2x，则 h（x）2x10 在1，
22、+）上恒成立， 故 h（x）在1，+）递增，故 h（x）h（1）0， x1 时，g（1）00 恒成立， x1 时，问题转化为 a在1，+）恒成立， 令 s（x），x1，+），则 s（x）， 令 t（x）x+1+2xlnxlnx（x1）， 则 t（x）1+2lnx，t（x）+0， 故 t（x）在1，+）递增，故 t（x）t（1）0， 故 t（x）在1，+）递增，t（x）t（1）0， 故 s（x）0，s（x）在1，+）递增， 故 s（x）的最小值是 s（1）1， 故 a1，即 a 的取值范围是（，1 21已知抛物线 E：y24x 的焦点为 F，准线为 l，O 为坐标原点，过 F 的直线 m 与抛物
23、线 E 交于 A、B 两点，过 F 且与直线 m 垂直的直线 n 与准线 l 交于点 M （1）若直线 m 的斜率为，求的值； （2）设 AB 的中点为 N，若 O、M、N、F 四点共圆，求直线 m 的方程 解：（1）如图， 由抛物线 y24x，得 F（1，0），则直线 m 的方程为 y， 联立，得 3x210 x+30， 解得：，x23， 不妨设 A 在第一象限，则 xA3， 则|AF|3+14，|BF|， ； （2）设直线 m 的方程为 xty+1，由题意可得 t0， 否则，N 与 F 重合，不存在 O、M、N、F 四点共圆， 把 xty+1 代入 y24x，得 y24ty40 设 A（x
24、1，y1），B（x2，y2），则 y1+y24t，y1y24 ， N（2t2+1，2t） 直线 m 的斜率为，直线 n 的斜率为t，则直线 n 的方程为 yt（x1） 由，解得 M（1，2t） 若 O、M、N、F 四点共圆，再结合 FNFM，得 OMON， 则1（2t2+1）+2t2t2t210，解得 t， 直线 m 的方程为 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选选修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，
25、以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的极坐标方程为 2cos，若极坐标系内异于 O 的三点 A（1，），B（2，+），C（3，） （1，2，30）都在曲线 M 上 （1）求证：2+3； （2）若过 B，C 两点直线的参数方程为（t 为参数），求四边形 OBAC 的面积 【解答】解（1）由 12cos，22cos（+），32cos（），则 2+32cos（+）+2cos（）2cos1； （2）由曲线 M 的普通方程为：x2+y22x0，联立直线 BC 的参数方程得：t20 解得 t10，t2；平面直角坐标为：B（，），C（2，0） 则 21，32，；又得 1 即四
26、边形面积为 SOBAC12sin+13sin为所求 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知实数 a，b，c，满足 a+b+c1 （1）若 a，bR+，c0，求证：（a+）2+（b+）2； （2）设 abc，a2+b2+c21，求证：a+b1 【解答】证明：（1）c0 时，a+b1， （a+）2+（b+）2 ， a，bR+，a+b1， ， 从而：（a+）2+（b+）2 当且仅当，即 ab时取等号； （2）假设 a+b1，则由 a+b+c1，知 c0，故 abc0， 又由（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+abc+2ac1， 得 ab+bc+ac0， 但由 abc0，知 ab+bc+ac0，矛盾， 故假设 a+b1 不成立，则 a+b1
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